2013年上海高考理科数学

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2013上海高考数学

2013上海高考数学引言2013年上海高考数学试卷是一份备受关注的试卷。

该试卷涵盖了许多重要的数学概念和技巧，对于高中生和备考高考的学生来说，是一份非常有价值的参考资料。

本文将介绍2013上海高考数学试卷的各个部分和题目类型，并对其中的一些难点进行解析和讲解。

第一部分选择题2013上海高考数学试卷的第一部分为选择题，共计20小题。

这些选择题主要涵盖了数学基础知识和基本运算技巧。

比较常见的题型有填空题、选择题和判断题。

其中，填空题要求考生填写正确的数字或运算结果；选择题要求考生从给定的选项中选择一个正确的答案；判断题则要求考生判断给定的陈述是否正确。

对于高考数学来说，选择题是考察学生基础能力的重要手段。

第二部分解答题2013上海高考数学试卷的第二部分为解答题，共计5道大题。

这些大题涉及的数学概念更加深入和复杂，要求考生能够灵活运用所学的数学原理和方法。

常见的题型有证明题、计算题和应用题。

其中，证明题要求考生证明一个给定的数学命题；计算题要求考生进行一系列的计算和运算；应用题则要求考生将数学知识应用到实际问题中。

解答题是考察学生综合能力和思考能力的重要环节。

难点分析在2013上海高考数学试卷中，有一些难点值得我们注意和关注。

其中，涉及到概率、函数和立体几何的题目较为复杂和有挑战性。

这些难点题目要求考生能够运用所学的数学知识和技巧解决复杂的问题。

在备考过程中，我们应该重点理解和掌握这些难点，提升解题能力。

解题技巧为了在2013上海高考数学试卷中获得良好的成绩，考生可以采取以下几个解题技巧：1.题目分类：将试卷中的题目按照题型和知识点进行分类，制定针对性的备考计划。

2.基础知识复习：巩固基础知识是解题的前提条件，要有系统地进行基础知识的复习和掌握。

3.解题思路：在解题过程中，要理清思路，善于分析题目的要求和限制条件，灵活运用所学的数学方法。

4.留出时间检查：完成试卷后，要有足够的时间检查和修改答案，确保答案的准确性和完整性。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)5：平面向量

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<D ．【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，A(3,4)AB =-，所以||5AB =，所以同方向的单位向量是134(,)555AB =-，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P00∙≥∙.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =D以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB=4，C （a ，b ），P （x ，0）则BP 0=1，A （﹣2，0），B （2，0），P 0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x ，0），=（a ﹣x ，b ），=（a ﹣1，b ）因为恒有所以（2﹣x ）（a ﹣x ）≥a ﹣1恒成立整理可得x 2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a 2≤0所以a=0，即C 在AB 的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC 为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A B ．C ．5D ．10C由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ． D1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A .在本题中，32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅.建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

13年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载

列 a1, a2 , a3,满足 an1 f (an ), n N * 。⑴若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；⑵求证：对任意 n N ， an1 an c ；⑶是否存在 a1 ，使得 a1, a2 ,an , 成等差数列？若存在，求出
所有这样的 a1 ，若不存在，说明理由。
厂应该选取何种生产速度?并求最大利润。
21．（6 分+8 分）已知 f x 2sin x，常数 0 ；⑴若 y f x在
1
4, 2 3上单调递增，求的取值范围；⑵令 2 ，将函数 y f x的图像左移
个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y g x的图像，区间a,b( a,b R 且 a b )

别为 a1, a2 , a3, a4 , a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 。若

m, M 分别为 ai a j ak dr ds dt 的最小值、最大值，其中i, j, k 1, 2,3, 4,5，
f 1 2, 4 0,1，若方程 f x x 0 有解 x0 ，则 x0 _____ 。
二．选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
15．设常数 a R ，集合 A x | x 1x a 0， B x | x a 1，若
的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）。
9．设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上，且 CBA ，若 AB 4 ， BC 2 ， 4
则的两个焦点之间的距离为________。
10．设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3,, x19 的公差，随机变量等可能地取值m来自 ________ 。x2

2013年上海高考数学第三轮基础知识疏理(理科)

第三轮疏理数学目录第一部分：集合与函数―――――――――――――――1 第二部分：不等式―――――――――――――――――8 第三部分：三角函数――――――――――――――――11 第四部分：复数――――――――――――――――――16 第五部分：数列与极限―――――――――――――――17 第六部分：排列组合与概率―――――――――――――23 第七部分：向量――――――――――――――――――24 第八部分：空间图形――――――――――――――――28 第九部分：直线与圆锥曲线―――――――――――――35 第十部分：解题技巧与应试心理―――――――――――50上海市七宝中学数学组前言有人说，数学是科学之母；有人说，数学是人类社会活动的工具；有人说，数学是思维的体操；有人说，数学是上帝用来书写宇宙的文字……。

不少爱好数学的人说：数学是一种充满智慧的“游戏”，他从破解数学问题的过程中享受到独有的乐趣。

他把数学中的概念、定理、法则、运算规律等看作是这种“游戏”的规则，数学问题的解决就要遵循这些“游戏规则”，而解决数学问题的方法则是对这些规则的深刻理解与灵活运用。

为了使同学们经过两轮系统复习后在高考前对“数学游戏”的规则有一个更为系统的掌握与规范而灵活地运用，因此有了这本《第三轮疏理――数学》。

《第三轮疏理――数学》不是知识的简单梳理，而是对高中数学中的主要知识点进行了“疏通”与“整理”，对同学们平时考试中容易出错的地方进行了点评与剖析，对容易混淆的概念与相近公式进行了鉴别，在解题方法与技巧上给予指导。

配制的例题都给出了分析与解题过程，可减少读者的阅读难度。

《第三轮疏理――数学》由朱兆和老师策划并执笔编写，在成书过程中得到了许多同志的帮助与支持。

孙晔、蔡青、李世廷、王国伟、俞志钢、朱逸、林星芳、葛赪、胡琼、陈莉、姚勤等老师参加了校对工作，我校专家视导室的特级教师孙兆桂、柴志洪、刘汉标老师对本书提出了宝贵意见。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编19：变换与矩阵、极限Word版含答案

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 19：变换与矩阵、极限一、选择题1 ．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）睁开式为ad-bc 的队列式是（）a bacadbaA ．dcB ．b dC ．b cD ．dc【答案】 B二、填空题2 ．（ 2013 年高考上海卷（理））若x2y 2x xy ______1y, 则 x1 y【答案】 xy 0 .三、解答题（每题10 分，共 30 分）3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换已知直线 l : ax y1 在矩阵 A1 2l ': x by 1.0 对应的变换作用下变成直线1( Ⅰ ) 务实数 a, b 的值 ;( Ⅱ ) 若点 p( x 0 , y 0 ) 在直线上 , 且 Ax 0 x 0 , 求点 p 的坐标 .y 0 y 0【答案】解:( Ⅰ) 设直线 l : ax y 1上随意一点 M ( x, y) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M (x , y )x 1 2 x x 2 y, 得x x 2 y由1 yyyyy又点 M (x , y ) 在 l 上 , 因此 x by1, 即 x (b 2) y 1a 1a 1依题意2, 解得1b 1 b(Ⅱ)由 Ax 0x 0 , 得 xx 0 2 y 0解得 y 0y 0y 0y 0y 0又点 P( x 0 , y 0 ) 在直线上 , 因此 x 0 1故点 P 的坐标为 (1,0)4 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题））B. [ 选修 4-2: 矩阵与变换 ] 本小题满分10 分 .已知矩阵 A1 0 12 ,求矩阵 A1B ., B0 62【答案】B 解: 设矩阵A ab , 则1 0 a b =1 0 , 即的逆矩阵为d0 2cd0 1ca b 1 02c2d=,11∴矩阵 A 的逆矩阵为 A110 故 a=-1,b=0,c=0,d=1 ,22∴A 1B =1 0 1 212 0 1 =2 0 6 035 ．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 )）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn 2 n,n数列 { b n } 知足 b n 2a n , 求 lim （b 1b 2 b n ）.n【答案】 [ 解 ] 当 n2 时 , a n s n s n 1n 2n(n 1)2 (n 1)2n 2 .且a 1s 1 0, 因此 a n2n 2 .由于 b n2 2n2(1 ) n 1 , 因此数列 { b n } 是首项为1、公比为1的无量等比数列 .4 1 4 .4故 lim （bb b ）n12n1314。

三角函数n个零点问题

三角函数n个零点问题2013年上海高考数学理科试卷出现了一道解答题，既出乎意外，又在意料之中，值得同学们认真思考。

我把这个题目在这里给大家进行一下解析，希望同学们可以理解。

对于第一个小问以及第二小问求y=g(x)的解析式问题，不难，属于中规中矩的问题，这里不再赘述，重点讲解的是30个零点问题的思考角度。

我们很容易得到g(x)= 2sin[2(x+π/6)]+1= 2sin(2x+π/3)+1，但是在区间[a,b]上至少有30个零点，且求b-a的最小值，对于这个问，大家需要解析出以下几点：其一要理解“y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点”，这里给定了一个区间[a,b],在这个区间内方程g(x)＝0有30个根；其二理解“b-a”，这里指所给区间的宽度；其三理解“b－a的最小值”，这里指最小宽度.令g(x)＝0，即sin(2 x+π/3)=-1/2，得x=kπ-π/4，或x=kπ-7π/12 (k∈Z)，在数轴上g(x)的零点分布如下图所示：可知g(x)的零点之间的间隔依次为π/3和2π/3，那么，要求区间[a,b]的最小宽度，首先要从某1个零点算起到恰好第30个零点结束，否则就不是最小宽度了；其次，要从间隔2π/3的两个零点的左边那个零点算起，直到间隔π/3的两个零点的右边那个零点结束，这样才是最小的宽度.例如从零点-5π/4算起，每相隔2π/3的区间贡献1个零点（算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，接着每相隔π/3的区间贡献1个零点（也算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，此时共有28个零点，最后一个相隔π/3的区间贡献2个零点（左边右边都算在内），于是凑齐了30个零点.再计算区间[a,b]的宽度为：14×2π/3+15×π/3＝43π/3.比如说，我们给一个例子，大家可以思考一下在上图中，在E,F点之间含4个零点，F-E=(4/2)*π/3+(4-2)/2*2π/3=4π/3类似的题目还有很多，大家可以思考以下几个题目。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

高考真题----理科数学(上海卷)解析版含答案

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab bc c a b ab++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=，又0ρ≥． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2446,233b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，2222222(981019)30||19d D d ξ=+++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC D C AD ===，故132AD C S ∆=所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有C 11A34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；（2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)19：变换与矩阵、极限含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）19：变换与矩阵、极限一、选择题1 ．(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）展开式为ad-bc 的行列式是（）A ．a b d cB ．a c b dC ．a d b cD ．b ad cB2 ．在数列{}na 中，21n na=-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i ji j i j aa a a a =⋅++，(1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ）(A ）18 (B)28 (C)48 （D)63,21i j i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．二、填空题3 ．(2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--，则______x y +=0x y +=。

2220x y xy x y +=-⇒+=．4 ．（2013年高考上海卷（理）)计算:20lim ______313n n n →∞+=+根据极限运算法则,201lim 3133n n n →∞+=+．三、解答题（每题10分，共30分）5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题(纯WORD 版））矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.（Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)若点0(,)p x y 在直线上,且0000x x A yy ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标。

解:(Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x yy y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A yy ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点0(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)6 ．(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题））B. ［选修4—2:矩阵与变换］本小题满分10分.已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版含答案

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理））在数列 { a n } 中, a n2n 1 , 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 a i , j a i a ja i a j ,( i 1,2,,7; j 1,2,,12 ) 则该矩阵元素能取到的不一样数值的个数为 ( )(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正））已知数列a n 知足 3a n 1 a n 0,a 24的前 10, 则 a n项和等于3(A)61 310(B)1 1 3 10(C)3 13 10(D)3 1+3 10【答案】 C93 ．（ 2013 年高考新课标1（理））设A nB nC n 的三边长分别为 a n , b n ,c n , A n B n C n 的面积为S n , n 1,2,3,, 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1a n ,b n1c na n, c n 1b n an, 则 ( )A.{ S n } 为递减数列B.{ S n } 为递加数列 22C.{ S 2n-1 } 为递加数列 ,{ S 2n } 为递减数列D.{ S 2n-1 } 为递减数列 ,{ S 2n } 为递加数列【答案】 B4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数 y=f (x) 的图像以下图 , 在区间a,b 上可找到 n(n2) 个不一样的数 x 1,x 2...,x n , 使得f (x 1 )f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 ==,x 2 x n(A) 3,4(B)2,3,4 (C)3,4,5(D)2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列 { a n }的公比为 q, 记 b nam( n 1) 1 a m( n 1) 2...am (n 1) m ,c n am(n 1) 1am( n 1) 2... am (n 1)m (m, nN * ), 则以下结论必定正确的选项是( )A. 数列{b n}为等差数列, 公差为q mB.数列 { b n} 为等比数列,公比为 q2mC.数列{ c n}为等比数列, 公比为q m2D.数列 { c n } 为等比数列,公比为 q m m【答案】 C6 （． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等比数列a n的前 n 项和为 S ,已知 S a210a , a9 ,则a1n3151(B)111(A)3(C)(D)399【答案】 C7 （． 2013年高考新课标1（理））设等差数列a的前 n 项和为 S n , S m 12, S m 0, S m 1 3,n则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））下边是对于公差d0的等差数列a n的四个命题:p1 : 数列a n是递加数列；p2 : 数列na n是递加数列；p3: 数列a nn是递加数列；p4 : 数列a n3nd是递加数列；此中的真命题为(A) p1, p2(B)p3 , p4(C)p2 , p3(D)p1 , p4【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2a18 ,且 a4为 a2和 a3的等比中项,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和.【答案】解 : 设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知,可得2a1 2d8, a12a1 d a1 8d . 3d所以 a1d4,d d 3a10 ,解得 a14, d0 ,或 a11,d 3 ,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和 s n 4n 或 s n 3n2n211（． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列a n 的前 n 项和为 S n,已知 S100, S1525 ,则 nS n的最小值为________.【答案】4912．（ 2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为n n 11 n21n .记第 n 个 k边形数为222N n,k k 3 ,以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式:三角形数N n,3 1 n2 1 n22正方形数N n,4n2五边形数N n,53n21n22六边形数N n,62n2n能够推断 N n,k 的表达式,由此计算 N 10,24___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））在正项等比数列{ a n} 中,a51, a6a7 3 ,则知足 a1a2a n a1a2a n的最大2正整数 n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设S n为数列a n的前 n 项和 , S n( 1)n a n1,n N , 则n2(1) a3_____; (2)S1S2S100___________.【答案】1;1 (10011)163215．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））当x R, x1时,有以下表达式 :1x x2...x n...11 . x111111两边同时积分得 :21dx2 xdx2 x2dx ...2 x n dx ...2dx.000001x进而获得以低等式 : 11 1 (1)2 1 (1)3 (1)1( 1 )n 1...ln 2.22232n2请依据以下资料所包含的数学思想方法,计算 :0 1 111212131n1n 1C n22 C n( 2)3 C n(2)...n1C n(2)_____【答案】n 1 [( 3)n 11] 1216．（ 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 a n是等差数列,a1 1 ,公差 d0, S n为其前n项和 , 若a1, a2, a5成等比数列 ,则 S8_____【答案】6417．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前6项和为23,前9项和为 57,则数列的前 n 项和 S n = __________.【答案】5n27 n 6618．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））在等差数列a n中,已知a3a810,则3a5a7_____.【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理））察看以下等式: 1211222322261231222324210照此规律 ,2- 2232-n -1n2 （- 1)n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1) ____.【答案】222（n -1 2（ -1)n 1(1)1- 23-）n n - 12n20．（ 2013 年高考新课标2a n1,则数列{a n}的通项1（理））若数列{a n}的前n项和为S n=33公式是 a n=______.【答案】a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图 , 互不 - 同样的点 A 1 , A 2 , X n , 和 B 1, B 2 , B n , 分别在角 O 的两条边上 , 全部 A n B n 互相平行 , 且全部梯形 A n B n B n 1A n 1 的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a 1 1,a 22, 则数列 a n 的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理））若等比数列 { a n } 知足 a 2+a 4=20, a 3+a 5=40, 则公比 q =_______;前 n 项和 S n =___________.【答案】 2, 2n 1223．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（ WORD 版））已知等比数列a n 是递增数列 , S n 是a的前 n 项和 , 若 a 1， a 3 是方程 x 25x 4 0 的两个根 , 则nS 6 ____________.【答案】 63 三、解答题24．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22nf n (x)1 xx 2 x 2 x2 (x R, n Nn ) , 证明 :2 3n( Ⅰ) 对每个( Ⅱ) 对随意nN n, 存在独一的 x n [ 2,1] , 知足 f n ( x n ) 0 ;31pN n , 由 ( Ⅰ ) 中x n 构成的数列x n 知足 0x nxn p.n【答案】解:( Ⅰ)x nx 2x 3x 4x n当 x 0时， y2 是单一递加的 f n ( x)1 x 222 2 是 x 的n2 34 n单一递加函数 , 也是 n 的单一递加函数 .且 f n (0)1 0, f n (1)1 10 .存在独一 x n (0,1], 知足 f n ( x n ) 0，且 1 x 1 x 2x 3 x n 0当 x(0,1).时, f n ( x)1 xx2x3x4xn22 22 22 220 f n ( x n )x n21(x n2)(3x n1 x nx n4 1综上 , 对每个 n N n, 存在独一的 x n[ 2,1] , 知足 f n ( x n )31x 21 x n 1x 21x1 1 x1 x4x 4 2) 0x n[2,1]30;( 证毕)(Ⅱ) 由题知 1x nxn p0, f n ( x n )1 x nx n 2 x n 3x n 4 x n n 022324 2n 2234nn 1npf n p ( x n p ) 1 x n pxn pxn pxn pxn pxn pxn p223242n2(n 1)2(n p)2上式相减:x n2x n3x n4x nn2xn p 3xn p 4 xn p n xn p n 1n pxn pxn pxn px n23242n 22232 42 n 2( n 1) 2( n p) 22223344nnn 1n px n - x n p （x n p- x nx n p - x nx n p - x nx n p - x n ）（ x n px n p）2 23 24 2n 2(n 1) 2(n p) 21 1 1 x n - x n p1 . n n p nn法二 :25．（2013 年高考上海卷（理））(3分 +6分 +9分 ) 给定常数c0,定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |,数列 a1 , a2 , a3 ,知足 a n 1 f (a n ), n N *.(1)若 a1 c 2 ,求 a2及 a3;(2)求证 : 对随意n N * ,a n1 a n c ,;(3)能否存在 a1,使得 a1 , a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出全部这样的a1,若不存在,说明原因 .【答案】 :(1)因为 c0 ,a1(c2) ,故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10(2)要证明原命题 , 只要证明f ( x)x c 对随意x R都建立,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只要证明 2 | x c 4 | | x c | + xc若 x c 0 , 明显有 2 | x c 4 | | x c | + x c=0 建立 ;若 xc 0 , 则 2 | x c4 | | xc | + x cx c 4x c 明显建立综上 , f ( x) x c 恒建立 , 即对随意的 nN * , a n1a nc(3) 由 (2) 知, 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无穷增大时 , 总有 a n 0此时 , a n 1f (a n ) 2(a n c 4) (a nc) a n c8即 d c 8故 a 2 f (a 1 ) 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8,即 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1c 8,当a 1 c0 时 , 等式建立 , 且 n 2 时 , a n 0 , 此时 { a n } 为等差数列 , 知足题意 ; 若 a 1 c 0 , 则 | a 1 c 4 | 4 a 1c 8 ,此时 , a 20, a 3 c 8, , a n(n 2)(c 8) 也知足题意 ;综上 , 知足题意的 a 1 的取值范围是 [ c,) { c 8} .26．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD 版含附带题））本小题满分 10 分 .k 个设数列：1， 2，2,3，,3,，3 ，4 ， 4，，4（ k- 1 k - 1,即当a n -- -）4，，（）- - - - 1 k - 1k（）（） k 1k 1 k n k k 1k N时, an （- ）记S n a 1a 2a n n N,对221 k ,于 lN , 定义会合 P ln S n 是a n 的整数倍， n N ，且1 nl(1) 求会合 P 11 中元素的个数 ; (2)求会合 P 2000 中元素的个数 .【答案】此题主要观察会合. 数列的观点与运算 . 计数原理等基础知识, 观察研究能力及运用数学概括法剖析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数列a n的定义得 : a 1 1, a 22 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a9 4 ,a10 4 , a115∴ S11, S21, S33, S40, S53, S66, S72, S82, S9 6 , S1010 , S115∴ S1 1 a1, S40 a4,S5 1 a5, S6 2 a6, S11 1 a11∴会合 P11中元素的个数为5(2) 证明 : 用数学概括法先证Si ( 2i1)i (2i1)事实上 ,①当 i 1时,Si( 2i 1)S31(21)3故原式建立②假定当 i m 时,等式建立,即S m(2 m 1)m(2m1)故原式建立则: i m 1,时,S( m1)[ 2( m 1) 1}S( m1)(2 m3}Sm(2m1)(2m1)2( 2m2)2m(2m1) ( 2m1)2(2m 2) 2( 2m25m 3)(m1)(2m 3)综合①②得 : S i ( 2i 1)i (2i1) 于是S( i 1)[ 2i1}Si ( 2i1}(2i1)2i (2i1)(2i 1)2(2i1)(i1)由上可知 : S i ( 2i1}是 ( 2i1) 的倍数而a( i 1)( 2i1}j2i1( j1,2, ,2i1) ,所以 S i (2i 1)j Si( 2i 1)j (2i1) 是a(i 1)( 2 i1}j( j1,2,,2i1)的倍数又S( i 1)[ 2i1}(i1)(2i1) 不是2i2的倍数 ,而a( i 1)( 2i1}j( 2i2)( j1,2,,2i2)所以S( i 1)( 2 i 1) j S(i 1)( 2 i 1)j(22) (2 1)(i1)j(22)不是i i ia(i 1)( 2 i1}j ( j1,2,,2i2)的倍数故当 l i(2i1) 时,会合 P l中元素的个数为 1 3（2i - 1） i 2于是当 l i( 2i1)j（1j2i1）时,会合 P l中元素的个数为 i 2j又 2000 31 （2 31 1） 47故会合 P2000中元素的个数为31247 100827．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为d的等差数列 { a n } 中,已知 a110 ,且 a1 ,2a22,5a3成等比数列.(1) 求d, a n ; (2)若d0 ,求| a1|| a2 | | a3 || a n | .【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得:(2a22)25a a4(a d1)250(a2d )(11d)225(5 d )131112122d d 212525d d23d 4 0d4或d1a n a n4n611 n;(Ⅱ)由(1)知 , 当d0时 , a11n ,n①当 1n11时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a n n(10 11n)n(21 n)22②当12n 时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a11(a12a13a n )2( a1a2 a3a11 ) (a1 a2 a3a n ) 211(21 11)n(21n) n221n 220 222n(21n),(1 n 11)所以 , 综上所述 : | a || a || a || a2; |123n n221n2202,( n12) 28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n知足 : a2a310 , a1a2 a3125 .(I)求数列 a n的通项公式;(II) 能否存在正整数m ,使得111 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说a1a2a m明原因 .【答案】解 :(I)由已知条件得 :a2 5 ,又 a2 q 1 10 , q1或3,所以数列a n的通项或 a n 53n 2(II)若 q1,1111或 0 ,不存在这样的正整数m ;a1a2a m5m9, 不存在这样的正整数若 q3,111911m .a1a2a m1031029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列a n的前n 项和为S n , 且S44S2, a2 n2a n1.( Ⅰ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n前 n 项和为Tn且 T na n1令cnb2n*. 求数,2n( 为常数 ).(n N )列 c n的前n项和R n.【答案】解:( Ⅰ) 设等差数列a n的首项为a1,公差为d,由S44S2,a2n2an1得4a16d 8a14da1(2 n 1) 2a12( n 1)d1,解得,a11, d2所以a n2n 1 ( n N * )T nn( Ⅱ) 由题意知 :2n1b n T n T n1n n 1所以 n 2 时,2n 12n 22n21n 1故,c n b2 n22n 1( n 1)(4)( n N * )所以R n0 (1)0 1 (1)1 2 (1)2 3 (1)3(n 1) (1)n 1, 444441R n 0 (1)11 (1)22 (1)3(n 2) ( 1)n 1( n 1) ( 1)n则 4444443R n(1)1 ( 1)2 (1)3( 1)n 1(n 1) ( 1) n两式相减得4444441 ( 1 )n14 4(n) n11)(144R n1 3n 1(44 n 1 ) 整理得9的前 n 项和R n1 3n 1所以数列数列c n 9 (44n 1)30．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD 版含附带题））本小题满分16 分 . 设 { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d0) , S n 是其前 n 项和 . 记b nnS n , n N * , 此中 c 为实数 .n 2 c(1) 若 c 0 , 且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 , 证明 :Snkn 2S k ( k,nN * );(2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c0 .【答案】证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d 0) , S n 是其前 n 项和∴S nna n(n 1) d2(1) ∵ c0 ∴ b nS nan 1 dn2∵b 1， b 2， b 4 成等比数列∴ b 2 2b 1b 4 ∴ (a 1 d )2a(a 3 d )22∴1ad 1 d 20 ∴ 1 d( a1d ) 0 ∵ d 0 ∴ a1d ∴ d 2a2 4222∴ S nna n(n 1) d nan(n 1)2a n 2 a22∴左侧 = S nk(nk) 2 a n 2 k 2a右侧 = n 2 S kn 2 k 2a∴左侧 =右侧∴原式建立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为d 1 , ∴ b n b 1 (n1)d 1 带入 b nnS n 得:n 2cb 1 (n 1) d 1nS n 1 3(b 1 d 11 d ) n2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2 c∴ ( d 1d ) na22nN 恒建立d 11 d2∴ b 1d 1a 1 d 02 cd 1 0c(d 1b 1 ) 0由①式得 :d 11 d ∵ d 0 ∴ d 12 由③式得 :c法二 : 证 :(1) 若 c0 , 则 a n a(n 1) d , S nn[( n 1)d 2a], b n(n 1)d 2a22 .当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22b 1b 4 ,d 23d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d0 , 故 d 2a .22由此 : S n n 2a ,Snk( nk) 2 a n 2 k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d2a(2)b n2,n2cn2cn 2 (n 1)d 2ac (n1) d 2ac (n1)d 2a 2n 2 2 2c (n 1)d2a c (n 1) d 2a2 .( ※)2n 2c若 { b } 是等差数列 , 则 bn An Bn 型.n察看 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,(n 1) d 2a故有 : c 20 , 即 c (n 1)d 2a0 ( n 1)d2a≠0,n2c2, 而2故 c 0 .经查验 , 当 c0 时 {b n } 是等差数列 .31．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））等差数列a n的前n 项和为S n,已知S3 =a22, 且S1,S2, S4成等比数列, 求a n的通项式.【答案】32．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为3 的等比2数列 {a n }不是递减数列 ,其前335544成等差数n 项和为S n( n N*) ,且 S + a ,S+ a ,S +a列.( Ⅰ)求数列 { a n} 的通项公式 ;( Ⅱ )设 T n S n 1( n N*),求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n【答案】33 ．（2013年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和 {a n}满足: s n2(n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 a n;(2) 令b nn12, 数列 {b} 的前n项和为T n . 证明 : 对于随意的n*5 2n N, 都有T n(n2)a64【答案】 (1) 解 : 由S n2(n2n1)S n(n2n)0, 得S n(n2n)(S n1) 0.因为 a是正项数列 , 所以S n0, S n n2n .n于是 a1S12, n 2 时, a n S n S n 1n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n的通项 a n2n .(2) 证明 : 因为a n2n, b nn1. (n2)2 a n2则 b nn1111.16 n2(n2)24n2 (n 2)2111111⋯1111T n122423252(n 1)2(n 1)2n2(n 2)2 16321 11111 1516 2 22(n 2) 2(1 2 ).(n 1)16 26434．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设数列a n 的前 n项和为 S n . 已知 a 11, 2S na n12n2, n N *n 13 n3 .( Ⅰ) 求 a 2 的值 ;( Ⅱ) 求数列 a的通项公式 ;n( Ⅲ) 证明 : 对全部正整数n , 有 111 7 .a 1 a 2a n 4【答案】 .(1)解 :2S nan 11 2 n2 , nN .nn33当 n1 时 , 2a 1 2S 1 a 21 1 2a 2233又 a 1 1, a 2 4(2) 解:2S na n 1 1 n 2 n 2 , n N .n3 32S n na n 11 n 3 n 22n na n 1 n n 1n 2①333当 n 2 时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由① — ②, 得 2S n 2S n 1 na n 1n 1 a n n n 12a n 2S n 2S n 12a n na n 1n 1 a nn n 1a n 1 a n 1数列 a n 是以首项为a 11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 nn1a n 1 1 n 1 n, a n n 2 n 2n当 n1 时 , 上式明显建立 .a nn 2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n 2 , n N *①当 n1时 , 11 7 原不等式建立 .,a 14②当 n2 时 , 11 117 , 原不等式亦建立 .a 1 a 24 4③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 11n 1n 2n 111 1 1 11 11111a 1a 2a n1222n21 32 4 n 2 n n 1 n 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1132 2 42 3 52 n 2 n2 n 1 n 12 11 1 11 11 11 1 1 1132435n 2 n n 1 n 12 11 11 1 17111712 n n 14 2n n 142 1当 n3 时 ,,原不等式亦建立 .综上 , 对全部正整数 n , 有11 1 7 .a 1a 2a n 435．（ 2013 年高考北京卷（理））已知 { a n } 是由非负整数构成的无量数列 , 该数列前 n 项的最大值记为 n , 第n 项以后各项an 1 ,an 2 , 的最小值记为n,n= n -n .AB d A B(I) 若{ a } 为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列 ( 即对随意*a n 4 a n ), 写出∈N ,nd 1, d 2 , d 3, d 4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : d n =- d ( n =1,2,3) 的充足必需条件为 { a n } 为公差为 d 的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a 1=2, d =1( =1,2,3,), 则 { a } 的项只好是 1 或许 2, 且有无量多项为 1.nn【答案】 (I) d 1 d 2 1,d 3 d 4 3.(II)( 充足性 ) 因为 a n 是公差为 d 的等差数列 , 且 d 0 , 所以 a 1 a 2a n.所以 A na n , B n a n 1 , d n a na n1d (n 1,2,3, ) .( 必需性 ) 因为 d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .又因为 a nA n , a n 1B n , 所以 a n a n 1 . 于是 A n a n , B n a n 1 .所以 a n 1 a n B n A nd nd , 即 a n 是公差为 d 的等差数列 .(III)因为 a12, d11,所以 A1a1 2 , B1A1d11.故对随意 n 1,a n B11.假定a n ( n 2) 中存在大于 2 的项 .设 m 为知足 a n 2 的最小正整数,则m2, 而且对随意1 k m, a k 2 ,.又因为 a1 2 ,所以 A m 1 2 ,且 A m a m2.于是 B m A m d m211,B min a , B 2 .m 1mm故 d m 1Am 1Bm 1 2 20 ,与 d m 11矛盾.所以对于随意 n1,有a n 2 ,即非负整数列a n的各项只好为1或2.所以对随意 n 1,a n2a1,所以 A n2.故 B n A n d n21 1 .所以对于随意正整数n ,存在 m 知足 m n ,且 a m 1,即数列 a 有无量多项为 1.n36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为q的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前n项和公式 ;( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列 { a n1} 不是等比数列 .【答案】解:( Ⅰ) 分两种状况议论 .①当 q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当 q1时， S n a1a2an 1a n qS n qa1 qa2qa n 1 qa n.上面两式错位相减:（1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3S n a1qa n.a1(1 qn).1 - q1- qna1 ,③综上 ,S n a1 (1q n )1,q ( Ⅱ)使用反证法.qa2 )(a n qa n 1 ) qa n a1qa n .(q 1)(q 1)设 { a n } 是公比q≠1的等比数列 , 假定数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当 n N *，使得 a n 1 =0建立,则{ a n1}不是等比数列 .②当 n*，使得 a n1a n11a1q n1恒为常数N0建立,则1 a q n 11a n1a1q n1a1 q n 11当 a10时, q1.这与题目条件q≠1矛盾 .③综上两种状况 , 假定数列 { a n1}是等比数列均不建立 , 所以当q≠1时,数列 { a n1} 不是等比数列 .。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科
一、填空题
1．计算：20lim______313nnn
2．设mR，222(1)immm是纯虚数，其中i是虚数单位，则________m

3．若2211xxxyyy，则______xy
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc，
则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

5．设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则______a
6．方程1313313xx的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为__________
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这
两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA，若AB=4，2BC，则的
两个焦点之间的距离为________
10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值

12319
,,,,xxxx
，则方差_______D

11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy，则sin()________xy

12．设a为实常数，()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()97afxxx，
若()1fxa对一切0x成立，则a的取值范围为________
13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、
两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周
而成的几何体为，过(0,)(||1yy作的水平截面，所得截面面积为
2
418y

，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值

为__________

14．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI，已知定义域为
[0,3]
的函数()yfx有反函数1()yfx，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff，若方
程()0fxx有解0x，则0_____x
二、选择题
15．设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa，若ABR，
则a的取值范围为（）
(A) (,2) (B) (,2] (C) (2,) (D) [2,)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

17．在数列{}na中，21nna，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

,ijijij
aaaaa
，（1,2,7;1,2,12ij）则该矩阵元素能取到的不同数值

的个数为（）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345
,,,,ddddd

.若
,mM

分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中
{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst,则,mM
满足（）.

(A) 0,0mM (B) 0,0mM (C) 0,0mM (D)
0,0mM
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC
1

平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

D
1

C
1

B
1

A
1

D
C

B
A

20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
110x
），每小时可获得利润是3100(51)xx元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最
大利润.

21．（6分+8分）已知函数()2sin()fxx，其中常数0；

（1）若()yfx在2[,]43上单调递增，求的取值范围；
（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得
到函数()ygx的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx在[,]ab上至
少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba的最小值．

22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12xCy，曲线2:||||1Cyx，P是平面
上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一
条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“C1—C2型点”；

(3)求证：圆2212xy内的点都不是“C1—C2型点”．
23．（3 分+6分+9分）给定常数0c，定义函数()2|4|||fxxcxc，数列

123
,,,aaa
满足*1(),nnafanN.

（1）若12ac，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac，；
（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不
存在，说明理由.