立体几何证明方法汇总

① 中位线定理

E

例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC 6，正方形

ADEF

H

G 所在平面与平面ABCD垂直， G，H分别是 DF， BE的中点．

（１）求证： GH∥平面 CDE；

D

C B

（２）若 CD2, DB 4 2 ，求四棱锥F-ABCD的体积．

练习： 1、以下列图所示：在直三棱

柱ABC— A1B1C1中， AC=3， BC=4，AB=5，AA1=4，点 D是 AB的中点。

11

求证： AC∥平面CDB；

D 1

2. 如图，ABCD A1 B1 C 1 D 1是正四棱柱侧棱长为1，底面边 A 1

长为 2，E 是棱 BC的中点。（ 1）求证：BD1//平面C1DE；

（ 2）D

求三棱锥 D D1 BC 的体积.A

3、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧

棱 PD底面ABCD，PD4, DC 3 ，E是PC的中点。

（1）证明：PA //平面BDE；

（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。

例 2、如图 , 在矩形ABCD中 , AB 2BC , P, Q分别为线段AB, CD的中点 , EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）

练习：①如图， PA垂直于矩形ABCD所在的平面， E、F 分别是 AB、PD的中P

F

A

C 1 B1

C

E

B

点。求证： AF∥平面 PCE；

②如图，已知 P 是矩形 ABCD所在平面外一点，PD平面ABCD，M，N分别是 AB， PC中点。求证：MN //平面PAD

F

G

A D

③如图，已知 AB平面 ACD，DE求证：AF A1B1C1D1O ABCD 证：C1O //E

E

面AB

1

D

1 ．

B

B

C

A

C F D

③比率关系

例题 3、P 是平行四边形 ABCD平面外一点， M、N分别是 PB、BC上的点，且

BM BN ,

PM NC

求证：E

F

A D

M

B C

MN ABCD EA ABCD EF//AB AB = 4, AE = 2, EF =1 Ⅱ）若点M在线段AC上，且知足

1

求证： EM// 平面 FBC ；

CM CA ,

4

④面面平行 - 线面平行

例题 4、如图 , 矩形 ABCD和梯形 BEFC所在平

C1 D

面互相垂直，A

C

A1

B

F

E C

E

F

A

BE90 3 P ABCD ABCD PD ABCD PD AB 2 E F G PC PD BC

PA // 面 EFG P EFG ABC A1B1C1 ACB900 E, F , G AA1, AC, BB1 CG C1G (Ⅰ)求证： CG // 平面 BEF ；

3 、如图所示 , 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直 ,

AD CD , AB // CD , CD 2 AB 2 AD

.在 EC 上找一点 M ,使得 BM // 平面 ADEF ,请

确立M

点的地点 , 并给出证明．

E

4、（ 2012 山东文）如图，几何体E ABCD 是四棱锥，△ ABD F

M

D

N

A

B

B1

G

B

C

立体几何证明方法汇总

为正三角形，

CB CD, EC

BD .

( Ⅰ ) 求证： BE DE ；

( Ⅱ ) 若∠ BCD 120 ，M 为线段 AE 的中点，

求证： DM ∥平面 BEC .

例题： 如图，已知四棱锥 P ABCD 。 若底面 ABCD 为平行四

边形， E 为 PC 的

中点，在 DE 上取点 F ，过 AP 和点 F 的平面与

平面 BDE 的交线为 FG ，求证：

AP// FG 。

证明：连 AC 与 BD ，设交点为 O ，连 OE 。

练习： 1、如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60 ，N 是 PB 中点，过 A 、N 、D 三点的平面交 PC 于 M ．求证： AD // MN ；

2、（2012 浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面

的四棱锥 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AD ∥ BC ，AD ⊥ AB ，

P

M

D

C

N

AB=

2

1

1 的中点，

F 是平

。AD=2，BC=4,AA=2，E 是 DD

A

B

面 B CE 与直线 AA 的交点。（ 1）证明： EF

∥A D ；

1

1

1

1

1

3. 如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD 平

面 BCE ，

BE

EC.

（ 1） 求证：平面 AEC 平面 ABE ； ( 面面垂直性质 )

（ 2） 点 F 在 BE 上，若 DE

BF

1 ABCD A 1 B 1C 1D 1 E F G AB AD C 1D 1 求证：平 BE

2

面 D 1EF ∥平面 BDG .

练习：以下图，在正方体

ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 BC 、CC 1、 C 1 D 1、

A 1A 的中点 . 求证：

（ 1） EG ∥平面 BB 1 D 1 D ；（ 2）平面 BDF ∥平面 B 1D 1H.

例题：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F 分别是C1D1和D1A1上的点，点P 在正方体外，平面PEF与正方体订交于AC，求证：EF / /平面ABCD

①菱形的对角线相互垂直：D1

例题。已知 E， F 分别是正方形 ABCD边 AD， AB的A1

中点， EF交 AC于 M，GC垂直于 ABCD 所G

D

在平面。求证： EF⊥平面 GMC．D C

E M A

练习：如图 ABCD-是底面为正方形的长方

A B

A1 B1C1 D1F

体，求证：（ 1）BD 平面ACC1A（ 2）BD AC1

D

A P B

②等腰三角形底边的中线垂直底边

例 1、如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC2，ACB90 ，A D

B

C

B

AP BP AB ， PC AC ．求证： PC AB ；A

P

练习： 1、在三棱锥 A-BCD中， AB=AC,BD=DC,求证：

BC AD

③圆的直径所对的圆周角为直角A

D

例题 3、如图 AB是圆 O的直径，C 是圆周上异于 A、B 的随意一点，PA平面 ABC，

C （ 1）图中共有多少个直角三角形（2）若AH PC ,且AH与

PC交于 H，求证： AH平面 PBC.P

④利用勾股定理H

例 4、在长方体ABCD A1 B1 C1 D1中，底面ABCD是边长为1的正O 方形，侧棱 AA 1 2 ，E是侧棱 BB 1的中点。求证：AE平面 A1 D1E ；A D1

证明： ABCD A1 B1 C 1 D 1为长方体，A1C

练习：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1的正方形，

P

D

C1 B1

C B

C

C

B

C

1B B1

E

C

A D

A B

PA CD, PA 1, PD 2 ,求证：（1）PA平面ABCD

（2）求四棱锥 P-ABCD的体积 .

⑤间接法，用线面垂直的性质定理（l b, b l b ）p

例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，

DAB 60 ，AB 2 AD , PD底面 ABCD ，证明：PA BD ;D C

a

练习 1：如图，在直三棱柱ABC A B C 中，=3，=4，=5，

A2a B

1 11AC BC AB

AA1 4 ，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证： AC BC1；

练习 2：如图，四边形ABCD为矩形，BC平面 ABE ， F 为CE上的点，且 BF 平面 ACE .求证： AE BE ；

证明：由于 BC平面 ABE ， AE平面 ABE ，D C

例 1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不一样于A F，B的

任

意一点，求证：平面PAC⊥平面 PBC.A

B

练习 1：如图，棱柱

ABC A1B1C1的侧面

BCC1 B1是菱形， B1C

E

A1B

2、如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，E、F分别是 A1 B 、 A1C 的

中点，点 D 在B1C1上，A1D B1C。

求证：（ 1）EF∥平面 ABC；（ 2）平面A1FD平面 BB1C1C .

s

3、如图，是正方形， SA⊥平面，BK⊥ SC于 K，连接

ABCD ABCD

K

DK，

求证（ 1）平面SBC⊥平面KBD

C

D

A

例 1：如图，在四棱锥P— ABCD中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA＝PD, O 为 AD 中点 . ，求证 : PO⊥平面ABCD；

例 2：如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形，

侧面 PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面 ABCD ．

（ 1）若G为AD的中点，求证：BG 平面 PAD ；

（ 2）求证：AD PB；

练习： 1、如图 AB是圆 O的直径， C 是圆周上异于 A、B 的随意一

点， PA 平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形（2）若AH PC ,且AH 与 PC交于 H，求证：平面 PAC平面 PBC.(3) AH平面 PBC

H

O

A B

C P

2、在四棱锥P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，

AB=AD，∠ BAD=60°， E、F 分别是 AP、 AD的中点 .E

求证：平面 BEF⊥平面 PAD A F 3、如图，正方形 ABCD所在平面与以 AB为直径的半圆 O所在平面 ABEF相互垂直，

P 为半圆周上异于 A，B 两点的任一点，求证：○ 1 直线AP⊥平面 PBC。②平面

B PBC

⊥平面 APC D C

4、如图，三角形 ABC 中，AC=BC= 2

AB ，ABED

E

D

2

是边长为 a 的正方形，平面 ABED ⊥底面 ABC ， D 1

C 1

且，若 G 、F 分别是 EC 、BD 的中点，（Ⅰ）求

F

证：

A 1

B 1

G

D

A

C B

A

E

C

B

GF A ，B ， C ，D △ ABC AB 2， AC BC 2

ADB AB ADB ABC CD 如图， ABCD A 1 B 1C 1 D 1 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边

长为 2， E 是棱 BC 的中点。

（ 1）求证： BD 1 // 平面 C 1 DE ； （ 2）求三棱锥 D D 1 BC 的体积 .

练习 1：三棱锥 P

ABC 中， PAC 和 PBC 都是边长为

2 的等边三角形， AB

2 ，

O 、 D 分别是 AB 、PB 的中点．

P

（ 1）求证： OD / / 平面 PAC （ 2）求证：平面 PAB ⊥平面 ABC ；

（ 3）求三棱锥 A PBC 的体积．

D

2、如图 , 长方体 ABCD

A 1

B 1

C 1

D 1 中， AB AA 1 1, AD

2 , E 是

A

C

O

BC 的中点 .

B

(I) 求证：平面 A 1 AE

平面 D 1 DE ； (II) 求三棱锥 A A 1 DE 的体积 .

A

D

1

1

B

P

1

C

3、如图，在四棱锥

P-ABCD 中，

1

A

D

E

底面 ABCD

PD 垂直于底面 ABCD ，

D

C

B

E

C

是

直

角 梯 形

，

A

B

DC // AB, BAD

90o , 且 AB 2AD

2DC

2PD

4 （单位： cm ），Ｅ为ＰＡ的中点。

（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面

积；（２）证明： DE // 平面 PBC ；

立体几何证明方法汇总

4、已知某几何体的直观图( 图 1) 与它的三视图 ( 图 2) ，此中俯视图为正三角形，

其余两个视图是矩形. 已知D是这个几何体的棱

C1

A1 C1上的中点。D

A

1

（Ⅰ）求出该几何体的体积；（ 3 3 ）

（Ⅱ）求证：直线 BC1/ /平面 AB1 D ；

C

( Ⅲ) 求证 : 平面AB1D平面 AA1 D .

A

5、3已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），依据图中标出的数据，

（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为 ABCD A1B1C1 D1，此中A1 B1 BA 为正方形.（i）求证： A1 B平面 AB1C1 D ；（ii）求证：P为棱 A1 B1上一点，求 AP PC1的最小值.

六 : 等体积法求高（距离）：h

如：三棱锥 V F BEC

1= V

B EF

C 1

1

S BEC1h

3

1

=S EFC1 BE

例题（ 2010 广东文数）如图，弧 AEC是半径为a的半圆， AC为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三平分点，平面 AEC外一点 F 知足 FC 平面BED,FB= 5a

（ 1）证明： EB FD（2）求点B到平面FED的距离.

练习1：已知ABC―A1 B1 C1是正三棱柱，棱长均为 5 ，E、

F 分别是AC、 A1 C1的中点，

（1）求证：平面 AB F ∥平面 BEC

1

1 （ 2）求点 A 到平面 BEC 间的距离

1

F

P

A1

C1

ABCD 中， PD 平

2 、 如 图 ， 在 四 棱 锥

P

B1

E

面 ABCD ；四边形 ABCD 是

菱形，边长为

2，D

C

F

BCD

60 ，经过 AC 作与

E PD 平行的平面交

A

B

A C

PB 与点 E ，ABCD 的两对角线交点为

F ．（Ⅰ）求证：

AC

例题

DE ；（Ⅱ）若

B

EF

3 ，求点 D 到平面 PBC 的距离．

3、如图 4，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD

平面 ABCD ， AB ∥ DC ，

△PAD 是等边三角形，已知 BD

2AD 4 ， AB

2DC

2 5 ．

P

（ 1）求证： BD 平面 PAD ；

（ 2）求三棱锥 A PCD 的体积．

D

C

4．如图，己知 BCD 中， BCD 90

A

B

， BC

CD 1, AB

平面 BCD ，

ADB

600

, E, F 分别是 AC,AD 上的动点，且

AE =

AF

= ,(0< <1)

AC

AD

（1）求证：无论

为什么值，总有 EF 平面 ABC;

（2）若 = 1

, 求三棱锥 A-BEF 的体积．

2

5、(2012 广东文数） 如图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB

平面 PAD ， AB / / CD , PD

AD ， E 是 PB 中点，

F 是 DC 上的点，且 DF

1 为 PAD 中 AD 边上的高。

AB ， PH

2

（ 1）证明： PH 平面 ABCD ；

（ 2）若 PH 1, AD 2, FC 1 ，求三棱锥 E BCF 的体积；

（ 3）证明： EF

平面 PAB ．

6、（ 2012 佛山一模）如图，三棱锥P ABC 中，PB底面ABC，BCA90 ，PB BC CA 4 ， E 为PC 的中点，

M 为AB 的中点，点 F 在PA 上，且AF2FP .

（1）求证：BE平面PAC ；

（2）求证：CM / /平面BEF；

（3）求三棱锥F ABE 的体积.

7、以下图四棱锥ABCD 中, AB AD ,P ABCD 中,

BC // AD , PA

PA

AB

底面

BC

ABCD ,

2 , AD

四边形

4 , E 为 PD 的中

点 ,F 为PC 中点.

（1）求四棱锥 P－ ABCD的体积；

（2）求证 : CD平面PAC；

（3）在棱 PC上能否存在点 M（异于点 C），使得 BM∥平面

PAD，

若存在，求的值，若不存在，说明原因。；

8、（惠州市 2013） A 1A 如图 ,在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC ,

AB BC, D 为AC的中点, A1 A AB 2 ,BC3.D

(1)求证： AB1 / / 平面 BC1D ；B1B

(2)求四棱锥 B AA1C1D 的体积.

C1C