立体几何证明方法汇总
立体几何证明方法总结 5
一、空间中的平行
1、证明两条直线平行的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
在同一平面内不相交的两条直线
②传递性（公理4）
平行于同一直线的两直线平行；
③利用直线和平面平行的性质
（线//面线//线）
线面平行，经过此线的平面与原平面的交线与此线平行
④利用两个平面平行的性质
两平面平行，被第三平面截得的两交线互相平行；
3、证明两个平面垂直的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
相交成直二面角的两平面垂直；
②判定定理
一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面垂直
初中特殊图形的性质：
1、等腰三角形：
2、平行四边形：
3、菱形：
4、正方形：
5、梯形：
6、矩形
7、圆：
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①判定定理
一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则此二平面平行
②判定定理的推论
一个平面内两条相交线平行于另一个平面内两条直线
③利用线面垂直
垂直于同一直线的两平面平行
二、空间中的垂直
1、证明两条直线的垂直
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
夹角是直角的两直线垂直；
②利用线面垂直
⑤利用直线与平面垂直Biblioteka 性质垂直于同一平面的两直线平行
2、证明直线和平面平行的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①判定定理
（线//线面//面)
平面外的一直线与平面内的一直线平行，则它与此平面平行
立体几何证明
立体几何证明
立体几何证明是指通过几何推理和定理证明立体几何问题的方法。
常见的立体几何证明包括证明两个立体图形是否全等、相似，以
及证明立体图形的性质等。
在立体几何证明中，常常使用的方法有以下几种：
1. 使用平行投影：通过平行投影将立体图形映射到二维平面上，
简化问题的处理。
例如，证明两个立方体全等时，可以将它们分
别投影到一个平面上，然后比较二维平面上的对应边和角是否相等。
2. 使用剖分方法：通过将立体图形剖分成若干个简单的形状，例
如三角形、矩形等，然后证明这些简单形状的性质，最终得出整
个立体图形的性质。
例如，证明一个四面体的四个侧面都是等边
三角形时，可以将四面体剖分成四个等边三角形，然后证明每个
等边三角形的性质。
3. 使用向量分析：通过使用向量的性质和运算，证明立体图形的
性质。
例如，证明两个平行六面体的面中心连线垂直时，可以使
用向量的内积来证明两个向量垂直。
4. 使用几何推理：通过运用几何定理，例如平行线定理、垂直定
理等，进行证明。
例如，证明两个平行四面体相似时，可以运用
平行线定理来证明它们的对应边与对应面的关系。
需要注意的是，在立体几何证明中，使用准确的定义和恰当的假
设是非常重要的，同时还需要运用合适的定理和推理方法进行证明。
此外，需要有一定的空间想象力和几何直觉，以便更好地理
解和分析立体图形的性质。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法立体几何中的平行证明题常见的模型和方法有很多。
下面我将介绍一些常见的模型和方法，以帮助你更好地理解和应用立体几何的平行证明。
一、常见模型1.平面与平面的平行证明：常见的模型有两条平行线或两个平行四边形，通过证明平面与平面内对应的直线或四边形是平行的，即可得证。
2.直线与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形和交叉角等，通过证明两直线间的对应角相等或同位角互补，即可得证。
3.平面与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形的一对对角线、三角形的高、垂足、垂线等，通过证明直线与平面内的直线或线段互相垂直，即可得证。
4.空间中的平面与平面的平行证明：常见的模型有两个平行四边形的高度等、点到平面的垂直距离等，通过证明两个平面内的垂直线的相互平行性，即可得证。
二、常见方法1.剪影法：利用平行关系特殊的剪影形状进行证明。
例如，通过剪影的形状可以直观地判断两根线段平行。
2.联立法：通过建立适当的方程组，将待证的平行条件与已知条件进行联立，最终得到结论。
常见的方法有正投影、平行投影等。
3.直角法：利用直角关系进行证明。
通过找到合适的垂线、垂足等直角线段，可以推导出平行关系。
4.反证法：假设不平行，然后找到与之矛盾的证据，从而推出平行的结论。
5.三角形法：构造适当的三角形，通过三角形的性质和形状关系进行证明。
6.同增减法：通过分析多个角度相应的同增减性质，推导出平行的结论。
7.通道法：利用另一个已经知道的已知命题，构造合适的通道来推导出平行的结论。
以上仅是常见的模型和方法，实际的平行证明题在解题过程中可能会遇到各种不同的情况和策略。
解决此类问题的关键是要有良好的几何直观和分析能力，熟练掌握几何定理和性质，并能够合理运用不同的方法解决问题。
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
立体几何证明8条定理
立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支，研究的是在三维空间中的图形和体的性质。
在立体几何中有许多定理，其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。
下面将详细讨论这些定理：1.平行线定理：如果两条平行线被一组平行线截断，那么它们的对应线段成比例。
这个定理可以用于证明两条线平行。
2.垂直线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交处的四个角都是直角。
这个定理可以用于证明两条线垂直。
3.欧拉定理：在任意一个凸多面体中，顶点数、棱数和面数之间存在一个关系：顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。
4.等角定理：如果两条线分别与一条平行线相交，且其中一对内错角（相对于平行线的两条线之间的两个角）或一个内错角和一个外错角（与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角）相等，那么这两条线是平行线。
这个定理可以用于证明平行线。
5.切线定理：给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线，那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。
这个定理可以用于证明圆的性质。
6.割线定理：给定一个圆和一个与圆相交的直线，那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。
这个定理也可以用于证明圆的性质。
7.同位角定理：如果两条平行线被一条截线截断，那么同位角（相对于平行线的两条线的每一对内角）相等。
这个定理可以用于证明平行线。
8.三角形内角和定理：三角形的三个内角的度数之和等于180度。
这个定理是三角形的基本性质，可以用于证明其他三角形的性质。
这些定理是立体几何中的一些基本定理，通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。
这些定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。
立体几何证明四点共面的方法
要证明四点共面，可以使用以下几何方法之一：
1. 平面法向量法：
-对于给定的四个点，可以计算出它们所在平面的法向量。
-如果这四个点在同一个平面上，则它们所在平面的法向量应该相等或成比例。
-因此，通过计算并比较这四个点所在平面的法向量，可以确定它们是否共面。
2. 三角形法：
-选择任意三个点，并构建以这三个点为顶点的三角形。
-然后，将第四个点与这个三角形的三个顶点连接起来，形成一个新的三角形。
-如果这个新的三角形是一个平面内的三角形（即没有形成扭曲或重叠），则可以得出结论这四个点共面。
3. 向量法：
-将每个点表示为一个坐标向量。
-选择其中三个点，构建两个向量分别连接这三个点。
-计算这两个向量的叉乘。
-如果这两个向量的叉乘为零向量（长度为零），则可以推断这四个点共面。
以上方法中的任何一个都可以用于证明四个点是否共面。
若要确保结果的准确性，请根据具体情况选择合适的方法并进行计算。
立体几何证明中点的方法
立体几何证明中点的方法
立体几何证明中点的方法是指在几何图形的证明过程中，如何证明一个点存在于几何体中、两条直线的交点或者三条平面的交点。
在立体几何证明中，有多种方法可以用来证明点的存在性。
其中一种常用的方法是通过证明两个或三个几何体之间的关系来证明点的存在性。
例如，可以证明两条直线的交点在空间中存在，可以证明三条平面的交点在空间中存在，也可以证明一个点存在于某个几何体内。
这些关系可以使用各种定理来证明，例如，可以使用“交线定理”证明两条直线的交点在空间中存在，使用“三角形定理”证明三条平面的交点在空间中存在，也可以使用“圆定理”证明某个点存在于某个几何体内。
另外，可以使用几何体的对称性来证明点的存在性。
如果某个几何体具有对称性，则可以通过对称性来证明特定的点存在于该几何体中。
例如，在一个正八面体中，可以通过它的对称性来证明中心点在空间中存在。
此外，还可以使用“边角定理”来证明点的存在性。
即，若在一个几何体中的三条边角均已知，则可以根据边角定理证明该几何体中的一个内部点也存在于该几何体中。
最后，还可以使用几何体的投影来证明点的存在性。
投影是指将几何体从一个平面投射到另一个平面上，而原几何体中的点在投影后也会保持原有的位置。
如果可以证明投影后的点在原几何体中存在，则可以证明原几何体中的点也存在。
总之，立体几何证明中点的方法有很多，上述只是其中一些常用的方法。
只要能够正确地使用这些方法，就可以证明几何体中的点的存在性。
立体几何垂直的证明方法【线线垂直+线面垂直+面面垂直】【20210210】
空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
立体几何证明主要步骤
立体几何证明主要步骤1.明确问题：首先需要明确待证明的问题是什么，明确目标是证明一些定理还是推导一些结论。
2.给出已知条件：给出已知的条件和信息，这是证明过程中的基础。
有时候需要通过已知条件使用一些已知定理或公式，进而推导出要证明的结论。
3.建立几何图形：根据已知条件，建立几何图形，使其符合题目要求。
对于一些特殊的问题，需要利用特殊的几何图形，例如平行四边形、正方体、正六面体等，从而更方便地推导证明。
4.根据图形特点和定理等运用逻辑：运用几何图形的特点、已知定理或定义，利用推理和逻辑，按照严密的证明思路，逐步推导出结论。
5.运用代数和几何方法：有时证明过程中需要运用代数方法，例如方程、向量等。
可以适当地将几何问题转化为代数问题，从而更容易推导证明。
6.合理使用辅助线和构造方法：为了更好地推导证明，有时需要引入辅助线或添加一些构造，使问题更好处理。
辅助线的引入可以分离角度、切分图形，构造方法可以帮助建立一些平行线、相似三角形等。
7.利用图形的对称性和比例关系：图形的对称性和比例关系可以提供一些有用的信息，可以将不易证明的问题化简为易证明的问题。
8.反证法和归谬法：有时证明过程中可以采用反证法，假设结论不成立，通过推理和推导，推出矛盾，从而证明结论的成立。
归谬法是证明过程中用到的一种常见的推理方式。
9.写出完整的证明过程：在证明的最后，需要将整个推导过程进行总结和归纳，确保对证明过程的论证逻辑完整和严密。
10.列出原则和定理：最后，可以总结出在证明过程中使用的原则和定理，这些原则和定理是对几何问题研究的基础和规律。
以上是立体几何证明的主要步骤，通过严密的逻辑推导和推理，可以得出准确的结论。
在实际应用中，常需要通过几何证明来解决复杂的空间关系问题。
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立体几何证明方法汇总 ① 中 位 线 定 理
E 例题：已知如图：平行四边形 ABCD中， BC 6 ，正方形
ADEF H G
所在平面与平面 ABCD垂直， G，H分别是 DF， BE的中点．
（１）求证： GH∥平面 CDE； D C B （２）若 CD 2, DB 4 2 ，求四棱锥
F-ABCD的体积．
练习： 1、以下列图所示：在直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC=3， BC=4，AB=5，AA1=4，
点 D是 AB的中点。 1 1 求证： AC∥平面 CDB；
D 1
2. 如图， ABCD A1 B1 C 1 D 1 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边 A
1
长为 2，E 是棱 BC的中点。（ 1）求证： BD 1 // 平面 C 1 DE ；（ 2） D
求三棱锥 D D1 BC 的体积 .
A
3、如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧 棱 PD 底面 ABCD ， PD 4, DC 3 ， E 是 PC
的中点。
（ 1）证明： PA // 平面 BDE ； （ 2）求 PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 例 2、 如图 , 在矩形 ABCD 中 , AB 2BC , P, Q 分别为线段 AB, CD 的中点 , EP ⊥平面 ABCD.求证 : AQ ∥平面 CEP ；（利用平行四边形）
练习：①如图， PA垂直于矩形 ABCD所在的平面， E、F 分别是 AB、PD的中 P
F A
C 1
B 1
C E B
点。求证： AF∥平面 PCE； ②如图，已知 P 是矩形 ABCD所在平面外一点， PD 平面 ABCD ，M，N分别是 AB， PC中点。求证： MN // 平面 PAD
F G
A D ③ 如图，已知 AB平面 ACD，DE求证：AFA1 B1 C1 D1 O ABCD 证：C1O // E
E
面 AB1 D1 ． B
B C
A 立体几何证明方法汇总 C F D 立体几何证明方法汇总
③比率关系 例题 3、P 是平行四边形 ABCD平面外一点， M、N分别是 PB、BC上的点，且 BM BN ,
PM NC
求 证 ： E
F
A D M B C
MNABCD EA ABCD EF//AB AB = 4, AE = 2, EF =1 Ⅱ）若点 M 在线段 AC
上，且知足
1 求证： EM// 平面 FBC ； CMCA ,
4
④面面平行 - 线面平行
例题 4、如图 , 矩形 ABCD和梯形 BEFC所在平 C1
D
面 互 相 垂 直 ， A C A1
B F E C
E
F A
BE 90 3 P ABCD ABCD PD ABCD PD AB 2 E F G PC PD BC
PA // 面 EFG P EFG ABC A1B1C1 ACB 900 E, F , G AA1, AC, BB1 CG C1G ( Ⅰ) 求证： CG // 平面 BEF ；
3 、 如 图 所 示 , 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ,
AD CD , AB // CD , CD 2 AB 2 AD . 在 EC 上找一点 M , 使得 BM // 平面 ADEF , 请
确立 M 点的地点 , 并给出证明． E
4、（ 2012 山东文）如图，几何体 E
ABCD 是四棱锥， △ ABD
F
M
D N
A B
B1
G B
C 立体几何证明方法汇总 为正三角形， CB CD, EC BD . ( Ⅰ ) 求证： BE DE
；
( Ⅱ ) 若∠ BCD 120 ，M为线段 AE的中点， 求证： DM ∥平面 BEC .
例题： 如图，已知四棱锥 P ABCD 。 若底面 ABCD 为平行四 边形， E 为 PC 的
中点，在 DE 上取点 F ，过 AP 和点 F 的平面与 平面 BDE 的交线为 FG ，求证：
AP// FG 。 证明：连 AC与 BD，设交点为 O，连 OE。
练习： 1、如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60 ，N 是 PB 中点，过 A、N、D三点的平面交 PC 于 M ．求证： AD // MN ；
2、（2012 浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面
的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中，AD∥ BC，AD⊥ AB，
P M
D C
N AB= 2 1 1 的中点， F 是平
。AD=2，BC=4,AA=2，E 是 DD A
B
面 B CE 与直线 AA 的交点。（ 1）证明： EF ∥A D ；
1 1 1 1 1
3. 如图，四边形 ABCD是矩形，平面 ABCD 平 面 BCE，
BE EC. （ 1） 求证：平面 AEC 平面 ABE； ( 面面垂直性质 )
（ 2） 点 F 在 BE 上，若 DEBF 1 ABCD A1 B1C1D1 E F G AB AD C1D1 求证：平
BE 2
面 D1EF ∥平面 BDG .
练习：以下图，在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中， E、 F、 G、 H分别是 BC、CC1、 C1 D1、 A1A 的中点 . 求证： （ 1） EG∥平面 BB1 D1 D；（ 2）平面 BDF∥平面 B1D1H. 立体几何证明方法汇总 例题：已知在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1 中， E,F 分别是 C1 D1和D1 A1 上的点，点 P 在
正方体外，平面 PEF与正方体订交于 AC，求证： EF / /平面
ABCD
①菱形的对角线相互垂直： D1
例题。已知 E， F 分别是正方形 ABCD边 AD， AB的 A1
中点， EF交 AC于 M，GC垂直于 ABCD所 G
D
在平面。 求证： EF⊥平面 GMC． D C
E M A 练习：如图 ABCD- 是底面为正方形的长方
A B
A1 B1C1 D1 F
体，求证：（ 1）BD 平面 ACC 1 A
（ 2）
BD AC
1
D
A P B
②等腰三角形底边的中线垂直底边
例 1、 如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC 2， ACB
90 ，
A D
B C
B AP BP AB ， PC AC ．求证： PC AB ； A
P 练习： 1、在三棱锥 A-BCD中， AB=AC,BD=DC,求证： BC AD
③圆的直径所对的圆周角为直角 A D
例题 3、如图 AB是圆 O的直径，C 是圆周上异于 A、B 的随意一点， PA 平面 ABC，
C （ 1）图中共有多少个直角三角形（ 2）若 AH PC , 且 AH 与
PC交于 H，求证： AH 平面 PBC. P
④利用勾股定理 H
例 4、在长方体 ABCD A1 B1 C1 D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正 O
方形，侧棱 AA 1 2 ，E 是侧棱 BB 1 的中点。求证：AE 平面 A1 D1E ； A
D1
证明： ABCD A1 B1 C 1 D 1 为长方体，
A1 C
练 习 ： 如 图， 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 边长 为 1 的 正方 形 ，
P
D
C1 B1
C B
C C
B
C1 B
B1
E C
A D