圆锥曲线(1)《韦达定理》

第一部分：15分钟限时训练

1. 已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .

（1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛

⎫

≥

⎪⎝⎭

，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB

的距离d 的取值范围. 【解析】(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

，则()3,0,D p FD +的中点坐标为

33,024p ⎛⎫

+ ⎪

⎝⎭

，则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，

由20

4{y x x my x ==+消去x ，得220001

440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，

121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则

()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以

()()21210P P x x y y x x -+-=，即

()()2

21212211221211244

P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以

12

04P y y x x =

=-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()

1222

12114

y y y y +=-，所以()2

1212124,416y y y y y y -=∴+-=，即

22000161616,1,1m x

m x x +==-

<，又因为01

2

x ≥，所以

01

1,2x d ≤<===，令

()2

2

0224,2,2t t x t d t t t -⎛=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦

上是减函数，所以2d ⎫

∈⎪⎪⎣⎭

. 第二部分：《韦达定理》

例1.（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，

且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P 、

C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.

练习：已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三

个顶点，点1)2

P 在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；

（2）设不过原点O 且斜率为1

2 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点

为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．

例2.（2015卷2）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点,3m m ⎛⎫

⎪⎝⎭，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？

若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.

练习：（2013湖南）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l 与E 相交于点,A B ，2l 与E 相交于点,C D .以,AB CD 为直径的圆M ,圆N （,M N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l . （Ⅰ）若120,0k k >>，证明：22FM FN p ⋅<； （Ⅱ）若点M 到直线l 75

，求抛物线E 的方程.

第三部分：小题专练

1. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的右顶点为A ，抛物线2

:8C y ax =的焦点为

F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）

A. ()1,2

B. 321,4⎛⎤

⎥ ⎝⎦

C. 32,4⎡⎫

+∞⎪⎢⎪⎣⎭

D. ()2,+∞ 【答案】B

【解析】由题意得， ()(),0,2,0A a F a ，设00,

b P x x a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，由AP FP ⊥，得22

20020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即

22

2

2222932

9420988c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则

32

1e <≤

，故选B. 2. 已知抛物线2

1:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛

物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ： 22

221x y a b

-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，

则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

3. 已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ， P 为抛物线上的动点， PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭