全国高中数学随机变量分布列知识点

第二章随机变量及其分布

内容提要：

一、随机变量的定义

设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数

与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。矚慫润厲钐瘗睞枥

庑赖。

二、分布函数的概念和性质 1．分布函数的定义

设是随机变量，称定义在上的实值函数

为随机变量的分布函数。

2．分布函数的性质

（1），

（2）单调不减性：，

（3）

（4）右连续性：。

注：上述 4 个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书

上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

（5）

注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、离散型随机变量

1．离散型随机变量的定义

若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。2．离散型随机变量的分布律

（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称

为离散型随机变量的分布律，表示为

或用表格表示：

x1 x2 ⋯x n ⋯

p k P1 p2 ⋯p n ⋯

或记为

2）性质：

注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

其中

注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的分布函数

，它是右连续的阶梯状函数。4．常见的离散型分布

1）两点分布（ 0—1 分布）：其分布律为

0 1

p 1–

p

p

（2）二项分布

（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

（ⅱ）二项分布的定义

设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为

，，

称随机变量服从参数为的二项分布，记作。

注：即为两点分布。

3）泊松分布：若随机变量的分布律为

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。

A. 一枚是 3 点 ，一枚是 1 点

B. 两枚都是 2 点

C. 两枚都是 4 点

D. 一枚是 3 点，一枚是 1 点或两枚都是 2 点 8、设随机变量 X 的分布列为 P X k 2 k

k 1,2,3, ,n, ，则 的值为(

高中数学系列 2—3 练习题( 2.1 )

一、选择题：

1、如果 X 是一个离散型随机变量，则假命题是 ( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数； B. X 取所有可能值的概率之和为 1；

C. X 取某几个值 的概率等于分别取其中每个值的概率之和；

D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 X ；②在 (0,1) 区间内随机的取一个数 X ；③某超市

天中的顾客量 X 其中的 X 是离散型随机变量的是( A ．①；

B ．②；

C ．③；

D ．①③

3、设离散型随机变量 的概率分布如下 ，则 a 的值为( )

1

1

1

A ． 1；

B ． ；

C ． ；

D ．

2

3

4

1

5、已知随机变量 X 的分布列为： p X k k ，k 1,2,3, ，则 p 2 X 4 =( 3 1 1 5

A. B. C. D.

16 4

16 16

6 、设随机变量 X 等可能取 1、2、 3.. . n 值，如果

p(X 4) 0.4 ,则n 值为(

)

D. 无法确定 彈贸摄尔霁毙

X ，那么 X 4 表示的随机实验结果是( )

1

6 C

．

1

3

D

．

1

4

A. 4

B. 6

C. 10

攬砖卤庑。

)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 A ． 1

24、设随机变量 的分布列为

P X k k 1,2,3, ,n, ，则 的 值为(

7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为 A ．1；

1

C ． 1

3；

D

． 1

21

④ P X k n ,k 1,2,3, ,n ⑤ P X k , k 2,3,4,5,

2 1 k

10、已知Y 2X为离散型随机变量，Y的取值为1,2,3, ,10，则X的取值为

11、一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5现从该袋内随机取出

3 只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

三、解答题：

12、某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4km，则按 10 元的标准收租车费若行驶路程超出 4km，则按每超出 lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足 1km

的部分按 lkm 计) ．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常

驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，

由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程 ( 这个城市规定，每停车 5 分钟按 lkm 路程计费 ) ，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随

机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

(1) 求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式；

(2) 已知某旅客实付租车费 38 元，而出租汽车实际行驶了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟 ?鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得－ 1 分，试写出从该盒中取出一球所得分数

X 的分布列．籟丛妈羥为贍

偾蛏练淨。

分析：欲写出ξ 的分布列，要先求出ξ 的所有取值，以及ξ 取每一值时的概率．

14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，

而随机终止．设分裂n 次终止的概率是1n( n

⋯ ) ．记X 为原物体在分裂终止后

=1,2,3,