运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法共31页文档
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（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'jxj, j1
i1,2,m
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
Z Z0 jxj j1
m
j cj zj cj cniai'j i1
（2）最优性判别定理
若 X(0)(0,0,,0,b1 ',b2 ',,bm ' ) 是对应于基B的基本
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3x2 x3 x4 x5 63x2 6x3 x4
代表两个约束条件： x1x2 x3x4 3 3x2 6x3x4 x5 6
x2对应的系数列向量P2=（1，3）T， 设：当前的换入变量是 X2，按最小比
值原则确定换出变量：
要求： xx1536x32x2x36 x3x4x400
（ 1 ） 类 型 一 ： 目 标 要 求 是 “ Max” ， 约 束条件是“≤”类型——左边加上非负松 弛变量变成等式约束（约束条件标准 化），将引入的松弛变量作为初始基变 量，则初始可行基是一个单位阵，用原 始单纯形法求解。
（2）类型二：目标要求是“Max”，约 束条件是“=”类型——左边引入非负的 人工变量，并将引入的人工变量作为初 始基变量，则初始可行基是一个单位阵， 然后用大M法或两阶段法求解。
可行解，
j
是非基变量
x
(0 j
)
的检验数，若对
于一切非基变量的角指标j，均有 j ≤0，则
X(0)为最优解。
（3）无“有限最优解”的判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b1 ',b2 ', ,bm ' )为一基本可行解，有 一非基变量xk,其检验数 k 0 , 而对于 i=1,2,…，m，均有 ai'k 0 ，则该线性规划问题 没有“有限最优解”。
按照主元素进行矩阵的初等行变换——把 主元素变成1，主元列的其他元素变成0 （即主元列变为单位向量）
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
例1.8的表格单纯形法计算过程：
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变 量，使约束条件化为等式，并且约束方程组的 系数阵中有一个单位阵。
讨论
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎麽办？
构造“不完全的人造基”！
②为什麽初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，检验数行 和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，
因此称b列为解答列
（2）写出初始基本可行解——
根据“用非基变量表示基变量的表达式”， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。
a22 x2
a2n xn
xn2
b2
a m1 x1 a m 2 x2 a mn xn xnm bm
x1 , x2 , , xnm 0
非基变量
基变量
初始可行基 ：
1 0 0
B(0)
(Pn1,Pn2,,Pnm)
0010
0 1
初始基本可行解：
X (0 )(0 ,0 , ,0 ,b 1,b 2, ,b m )T
2、建立判别准则：
（1）两个基本表达式的一般形式
LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述：
此时LP的标准型为
n
nm
MaxZ c j x j 0 x j
j 1
j n 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn xn1 b1
s.t.a21 x1
（1）选择进基变量——原则：正检验数（或 最大正检验数）所对应的变量进基，目的是 使目标函数得到改善（较快增大）；
进基变量对应的系数列称为主元列。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确 定出基变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。
主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
4、主元变换（旋转运算或枢运算）
于是： x x2 2 3 6//1 3 x2mi3n /1,6/3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
xx15
3x2x3x4 0 60x26x3x4 0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
3、进行基变换
线性规划限制条件都是“≥”或“=” 类型的约束——
先将约束条件标准化，再引入非负 的人工变量， 以人工变量作为初始基变 量，其对应的系数列向量构成单位阵， 称为“人造基”；
然后用大M法或两阶段法求解；
等式约束左端引入人工变量的目的
使约束方程的系数矩阵中出现一个
单位阵，用单位阵的每一个列向量对应
的决策变量作为“基变量”，这样，出 现在单纯形表格中的B(i)列（即约束方 程的右边常数）值正好就是基变量的取 值。 (注意:用非基变量表示基变量的表达式)
完成一次迭代，得到新的基本可行解 和相应的目标函数值
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
依据：最优性检验的两个定理
最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理
五、各种类型线性规划的处理
1、分类及处理原则：
（3）类型三：目标要求是“Max”，约 束条件是“≥”类型——约束条件标准 化，左边减去非负的剩余变量，变成等 式约束，化为类型二。
2、处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。
第三步：基变换
选择（最大）正检验数对应的系数列 为主元列，主元列对应的非基变量为换 入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行 对应Fra Baidu bibliotek基变量为换出变量。
确定进基变量和出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵的初等行变换把主元列变成单 位向量，主元素变为1，进基变量对应的 检验数变成0，从而得到一张新的单纯形 表，返回第二步。
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'jxj, j1
i1,2,m
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
Z Z0 jxj j1
m
j cj zj cj cniai'j i1
（2）最优性判别定理
若 X(0)(0,0,,0,b1 ',b2 ',,bm ' ) 是对应于基B的基本
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3x2 x3 x4 x5 63x2 6x3 x4
代表两个约束条件： x1x2 x3x4 3 3x2 6x3x4 x5 6
x2对应的系数列向量P2=（1，3）T， 设：当前的换入变量是 X2，按最小比
值原则确定换出变量：
要求： xx1536x32x2x36 x3x4x400
（ 1 ） 类 型 一 ： 目 标 要 求 是 “ Max” ， 约 束条件是“≤”类型——左边加上非负松 弛变量变成等式约束（约束条件标准 化），将引入的松弛变量作为初始基变 量，则初始可行基是一个单位阵，用原 始单纯形法求解。
（2）类型二：目标要求是“Max”，约 束条件是“=”类型——左边引入非负的 人工变量，并将引入的人工变量作为初 始基变量，则初始可行基是一个单位阵， 然后用大M法或两阶段法求解。
可行解，
j
是非基变量
x
(0 j
)
的检验数，若对
于一切非基变量的角指标j，均有 j ≤0，则
X(0)为最优解。
（3）无“有限最优解”的判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b1 ',b2 ', ,bm ' )为一基本可行解，有 一非基变量xk,其检验数 k 0 , 而对于 i=1,2,…，m，均有 ai'k 0 ，则该线性规划问题 没有“有限最优解”。
按照主元素进行矩阵的初等行变换——把 主元素变成1，主元列的其他元素变成0 （即主元列变为单位向量）
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
例1.8的表格单纯形法计算过程：
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变 量，使约束条件化为等式，并且约束方程组的 系数阵中有一个单位阵。
讨论
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎麽办？
构造“不完全的人造基”！
②为什麽初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，检验数行 和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，
因此称b列为解答列
（2）写出初始基本可行解——
根据“用非基变量表示基变量的表达式”， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。
a22 x2
a2n xn
xn2
b2
a m1 x1 a m 2 x2 a mn xn xnm bm
x1 , x2 , , xnm 0
非基变量
基变量
初始可行基 ：
1 0 0
B(0)
(Pn1,Pn2,,Pnm)
0010
0 1
初始基本可行解：
X (0 )(0 ,0 , ,0 ,b 1,b 2, ,b m )T
2、建立判别准则：
（1）两个基本表达式的一般形式
LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述：
此时LP的标准型为
n
nm
MaxZ c j x j 0 x j
j 1
j n 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn xn1 b1
s.t.a21 x1
（1）选择进基变量——原则：正检验数（或 最大正检验数）所对应的变量进基，目的是 使目标函数得到改善（较快增大）；
进基变量对应的系数列称为主元列。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确 定出基变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。
主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
4、主元变换（旋转运算或枢运算）
于是： x x2 2 3 6//1 3 x2mi3n /1,6/3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
xx15
3x2x3x4 0 60x26x3x4 0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
3、进行基变换
线性规划限制条件都是“≥”或“=” 类型的约束——
先将约束条件标准化，再引入非负 的人工变量， 以人工变量作为初始基变 量，其对应的系数列向量构成单位阵， 称为“人造基”；
然后用大M法或两阶段法求解；
等式约束左端引入人工变量的目的
使约束方程的系数矩阵中出现一个
单位阵，用单位阵的每一个列向量对应
的决策变量作为“基变量”，这样，出 现在单纯形表格中的B(i)列（即约束方 程的右边常数）值正好就是基变量的取 值。 (注意:用非基变量表示基变量的表达式)
完成一次迭代，得到新的基本可行解 和相应的目标函数值
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
依据：最优性检验的两个定理
最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理
五、各种类型线性规划的处理
1、分类及处理原则：
（3）类型三：目标要求是“Max”，约 束条件是“≥”类型——约束条件标准 化，左边减去非负的剩余变量，变成等 式约束，化为类型二。
2、处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。
第三步：基变换
选择（最大）正检验数对应的系数列 为主元列，主元列对应的非基变量为换 入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行 对应Fra Baidu bibliotek基变量为换出变量。
确定进基变量和出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵的初等行变换把主元列变成单 位向量，主元素变为1，进基变量对应的 检验数变成0，从而得到一张新的单纯形 表，返回第二步。