【精选】人教版八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.取一副三角板按图()1拼接,固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=,将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ,图()2所示.试问:
()1当a 为多少时,能使得图()2中//AB CD ?说出理由,
()2连接BD ,假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ,当00)45(a ≤≤时,探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况,并给出你的证明.
【答案】(1)15°;(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=,即可求出a ;
(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠,30C ∠=︒, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, 45M ∠=︒,即可利用三角形内角和求出答案.
【详解】 ()1当a 为15时,//AB CD ,
理由:由图()2,若//AB CD ,则30
BAC C ∠=∠=, 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒,
所以,当a 为15时,//AB CD .
注意:学生可能会出现两种解法:
第一种:把//AB CD 当做条件求出a 为15,
第二种:把a 为15当做条件证出//AB CD ,
这两种解法都是正确的.
()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒
证明: ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,
30FEM CAM ∴∠=∠+︒,
EFM BDC DBM ∠=∠+∠,
DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,
180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,
3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,
1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,
所以,DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105.
【点睛】
此题考查旋转的性质,平行线的性质,三角形的外角定理,三角形的内角和,(2)中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.
2.已知OP 平分∠AOB ,∠DCE 的顶点C 在射线OP 上,射线CD 交射线OA 于点F ,射线CE 交射线OB 于点G .
(1)如图1,若CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,请直接写出线段CF 与CG 的数量关系;
(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC ,试判断线段CF 与CG 的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)CF=CG ;(2)CF=CG ,见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.
(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解:(1)结论:CF=CG;
证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,
∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);
(2)CF=CG.理由如下:如图,
过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,
∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,
∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),
∵∠DCE=∠AOC,
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,
∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,
∴∠MCN=30º+30º=60º,
∴∠MCN=∠DCE,
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,
∴∠MCF=∠NCG,
在△MCF和△NCG中,
CMF CNG
CM CN
MCF NCG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△MCF≌△NCG(ASA),
∴CF=CG(全等三角形对应边相等);
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.
3.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠FAE=135°;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得
△ABC≌△ADE;
(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得
∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得
AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.
【详解】
(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
AB AD
BAC DAE
AC AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,