分数乘法的巧算

分数乘法的巧算

例1 先计算，再观察每组算式的得数，你能发现什么规律？

（1）21－31= )()( 21×31=)(

)( （2）41－51=)(

)( 41×51=)()( 你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？

分析：先计算（1）、（2）题的答案，计算后可发现：21－31=21×31=61，41－51=41×51=20

1 解答：21－31= 61 21×31=6

1 41－51=201 41×51=20

1 又如：51—61=301 51×61=30

1 191—201=3801 191×201=380

1 结论：两个分数，分子是1，分母是非0的相邻自然数，它们的差等于它们的积，在乘法的简便计算中，经常会遇到这种差与积的变形。

当堂练习：

1．151－161=)(

)( 991—1001=)()( 2．

18171 =)()(—)()(=)()(

例2 计算：1×

21+21×31+31×41+…+91×10

1 分析：受例1的启发，式中的每个积都能够裂项为两个分数的差，裂项后的一些分数有能够互相抵消，从而使计算简便。

解答：1×21+21×31+31×41+…+91×10

1 = 11—21+21—31+31—4

1+…+91—101 = 1—101=10

9 结论：实行分数计算时，常常将一个分数转化为两个或几个分数的差或积，使部分分数互相抵消，此种方法称为“裂项法”，这种方法在分数计算中能使计算十分简便。

当堂练习：

3．计算：51×61+61×71+71×81+…+991×100

1 例3：计算：21+61+121+201+…+2450

1 分析：观察可发现：题中每一个分数的分子都是1，分母依次可变为1×2，2×3，3×4……49×50，即连续两个自然数的积，像这类形式的分数积可使用规律使每个分数裂项为两个分数的差，即像例2那样使裂项后的一些分数互相抵消，使计算简便。 解答：21+61+121+201+…+2450

1 = 1×21+21×31+31×41+41×51+…+491×50

1 = 1—21+21—31+31—41+41—51+…+491—50

1 = 1—501= 50

49

当堂练习：

4．121+201+301+421+561+721+90

1

例4 计算：1×51+51×91+91×131+…+371×41

1 分析：本题与前几题不同，每个积中分母的差不是1，但又都是4，前面介绍的简便方法不可套用，但前一个积的第二个因数是后一个积的第一个因数，11—51=5

4= 4×51，即后面的每一个积拆成对应两个分数的差后都是原积的4倍，要使每个积的大小不变，每个积必须乘以4

1。 解答：1×51+51×91+91×131+…+371×41

1 =41×（1—51）+41×（51—91）+…+41×（371—41

1） =41×（1—411）=41

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结论：像这种每个积中分子都是1，分母的差都相等时，可利用下面的公式使计算简便。

a n n +⨯11=a 1×（a n n +-11）或)(1a n n +=a 1×（a

n n +-11） 当堂练习：

5．计算：1×

41+41×71+71×101+…+251×281

6．计算：1+

211++3211+++43211++++…+1093211+++++