数学建模期末考试2018A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模

考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟

学号姓名年级专业

题号一二三四五六七八总

分得

分

评

阅人

得

分

一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从

河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能

在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将

它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为

i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x1.x2.x3.x4）表示。该

问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。

(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）

(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）

(3) 写出该问题的状态转移率。（3分）

(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）

解

：

(1)

S

={

(1,

1,1

,1),

(1,

1,1

,0),

(1,

1,0

,1),

(1,

0,1

,1),

(1,

0,1

,0)

}

及

他

们

的

5

个

反

状

（

3

分

）

(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）

(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）

(4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.

带白菜过去.然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回

来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分）

得

分

1、二、(满分12分)在举重比赛中.运动员在高度和体重方面差别很大.

请就下面两种假设.建立一个举重能力和体重之间关系的模型：

（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分

（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关.请给出一个改进模型。6分

解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）

（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例.所以 y I S

设h 为个人身高.又横截面积正比于身高的平方.则S h

2

再体重正比于身高的三次方.则w h 3

故举重能力和体重之间关系的模型为：

（6分）

（2） 体重中与成年人尺寸无关的重量

为a, 则一个最粗略的模型为

( 12分)

三、(满分14分) 某学校规定.运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门

数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么.毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?

课程编号

课程名称 学分 所属类别 先修课要求 1 微积分 5 数学 2 线性代数 4 数学 3 最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线

性代数

4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程

5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线

性代数

6 计算机模拟

3 计算机；运筹学 计算机编程

7 计算机编程

2 计算机

8 预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 运筹学；计算机 微积分；线

性代数

记i=1.2.….9表示9门课程的编号。设i 表示第i 门课程选修.i 表示第i 门课程不选, 建立数学规划模型 (1) 写出问题的目标函数(4分)

(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件? (5分)

(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件? (5分)

解

(1) 91

min i i Z x ==∑ (4分) (2) 123452x x x x x ++++≥

356893x x x x x ++++≥ (9分)

得分

2

3y kw =2

3

()y k w a =-

46792x x x x +++≥

(3) 2313,x x x x ≤≤

47x x ≤

5152,x x x x ≤≤

67x x ≤

9192,x x x x ≤≤

85x x ≤ (14分)

四、(满分10分) 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有

关.其中粘滞系数的量纲[μ]=11

L MT -- 1.用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为 [v ]=LM 0T -1.

[ρ]=L -3MT 0.

[μ]=1

1

L MT --

[g ]=LM 0T -2,其中L.M.T 是基本量纲. (3分) 量纲矩阵为

A=)

()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 .即

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分) 由量纲PI 定理 得 g v μρπ1

3

--=. 3ρ

μλg

v =∴.其中λ是无量纲常数. (10分)

五、(满分12分)设某种群t 时刻的数量为()x t ,初始数量为0x ,

(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;

(2) 设容许的资源环境最大数量为N , 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic),