循环平稳过程
第五讲-平稳随机过程
2.3 平稳随机过程
R X (0)
R X (τ )
σ
2 X
2 mX
τ
0
相关函数示意图
2.3 平稳随机过程
已知平稳随机过程X(t) X(t)的自相关函数为 例 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
RX (τ ) = 36 + 4 1 + 5τ 2
求X(t)的均值和方差。 X(t)的均值和方差。 的均值和方差 解、
RX (τ ) = 100 cos10τ + (100e −10|τ | + 100)
= R X 1 (τ ) + R X 2 (τ )
R X 1 (τ ) ⇔ 10 2 cos(10t + φ )
2 mX 2 = RX 2 (∞) = 100
2 2 σ X = RX (0) − m X = 200
而相关理论之所以重要是因为在实际中一二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标比如如果随机过程如果代表噪声电压信号那么在相关理论范围内就可以给出直流分量交流分量平均功率及功率在频域上的分布我们将在后面讨论功率谱密度等
2.3 平稳随机过程
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易 得多, 而且在电子系统中, 得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的 主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段 时间后, 温度变化趋于稳定, 时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可 以认为是平稳的。 以认为是平稳的。
通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
8.5循环过程 卡诺循环
p
2 Q1 3 O V2 V3
4 Q2
1
V1 V
③ 3 → 4 。燃料燃烧完毕 后，不再获取热量，气体靠 惯性继续膨胀并对外界做功 （绝热膨胀降温降压）；
④ 4 → 1 。排出做功后的 废气并再次吸入新的空气， 准备进行下一次循环（等体 放热降温降压）。
Q1 Cp (T3 T2 ) Q2 CV (T4 T1)
T1
1
1 ( 1)
1
由于 1, 1，所以在 相同的情况下，狄赛尔循环
的效率比奥托循环的效率要低。不过狄赛尔循环不受压缩
比不能大于 10 的限制，一般可取在 15～20 之间，所以实 际柴油机的效率要大于汽油机的效率。
3. 蒸汽动力机循环 蒸汽动力机包括蒸汽机和蒸汽轮机两种，它们进行的循环
热泵型空调将两只热交换器分别置于室内和室外，并借助 一个四通阀对流出压缩机的高压气体流向进行切换。
8.5.4 卡诺循环
1. 卡诺循环 19世纪初，虽然热机的使用已经相当广泛，但那时热机的
效率非常低，仅为3％～5％，绝大部分热量都没有得到充分 利用。1824年，法国青年工程师卡诺（1796～1832）设计出 一种理想的正循环 —— 卡诺循环，并从理论（ 卡诺定理 ） )
Q2 CV (T4 T1)
1 Q2 1 T4 T1
Q1
T3 T2
应用绝热过程方程：
1
T3 T4
T2 T1
V1 V2
1
T3 T4
T2 T1
T3 T2 T4 T1
V1 V2
平稳过程的条件
平稳过程的条件平稳过程的条件一、引言在统计学中，平稳过程是指随机过程的统计性质不随时间的变化而改变。
例如，如果一个时间序列的均值和方差不随时间变化，则该序列是平稳的。
平稳过程是许多统计学方法的基础，因此了解什么是平稳过程以及如何识别它们非常重要。
二、什么是平稳过程？平稳过程是指随机过程在统计上具有不变性。
具体来说，如果一个时间序列的均值、方差和自协方差函数不随时间变化，则该序列被认为是弱平稳的；如果自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，则该序列被认为是强平稳的。
三、如何判断一个时间序列是否为平稳过程？1. 观察图形通过绘制时序图、自相关图和偏自相关图进行观察。
如果时序图呈现出明显的趋势或周期性，则该序列不是平稳的。
自相关图和偏自相关图可以帮助我们确定是否存在任何显著的自相关或偏自相关。
2. 统计检验使用单位根检验（ADF检验）等方法对时间序列进行统计检验。
如果序列的单位根检验的p值小于0.05，则说明该序列不是平稳的。
3. 模型拟合使用ARIMA模型等方法对时间序列进行拟合。
如果模型的残差具有自相关性，则说明该序列不是平稳的。
四、平稳过程的条件1. 均值不变性平稳过程在时间上保持均值不变性，即随机过程在任何时刻t的均值都相同。
这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的均值相同。
2. 方差不变性平稳过程在时间上保持方差不变性，即随机过程在任何时刻t的方差都相同。
这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的方差相同。
3. 自协方差函数只依赖于时间间隔自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Cov(X_t,X_{t+h})=Cov(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。
4. 自相关系数只依赖于时间间隔自相关系数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Corr(X_t,X_{t+h})=Corr(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。
平稳随机过程与各态历经过程
平稳序列 各态历经序列
12、随机过程的试验研究方法 随机过程的试验研究方法 讲了几个估计方法：均值估计、方差估计、自相关函数的 估计 ，不做重点讲解了。
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7遍历过程的两个判别定理a均值遍历判别定理平稳过程xt的均值具有遍历性的充要条件b自相关函数遍历判别定理平稳过程xt的自相关函数具有遍历性充要条件8联合平稳随机过程联合宽平稳两个随机过程xt和yt如果
我是来自通信专业的戴蓉 学号：11720790
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1
平稳随机过程与各态历经过程
本节重点 1、严平稳的定义： 如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 n 维概率密度满足：
∆
[
2
] = E[ X + jY −(m + jm ) ] = E[ X − m + j(Y − m ) ]
2 X Y
2
2 2 = E( X −mX ) +(Y −m ) = DX + DY Y
[
X
]
Y
注：ⅰ)复随机过程的方差等于它的实部与虚部的方差之和；ⅱ) 复随机过程的方差为非负的实数。 b：两个复随机变量的独立、不相关、正交 1）统计独立 2）不相关 3）正交
1
= 0
8、联合平稳随机过程 联合宽平稳 两个随机过程X(t)和Y(t)，如果：a）X(t)和Y(t)分别宽平稳；b） 互相关函数仅为时间差τ的函数，与时间t无关 即
RXY(t1,t2) =RXY(τ)
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τ = t 2 − t1
5
则称X(t)Y(t)联合宽平稳或宽平稳相依。 9、联合宽遍历 联合宽遍历
10、复随机过程 a：数字特征：
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随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程3
证明 由定义X的均值具有各态历经性的充要条件是
P( Xt mX ) 1
上式成立的充要条件是 D[ Xt ] 0
又
D[
Xt
]
D[l . i . m T
1 2T
T
T Xtdt]
lim D[ 1 T 2T
T
T Xt dt]
由方差定义
D[ 1 2T
T
T X tdt]
E
1 2T
T T
X t dt
T
T CX (s,t)dsdt
1 4T
2
T T
T
T CX (t s)dsdt
1 4T
2
CX (u)
D
J
dudv
新 积 分 区 域 D （ 先 v后 u积 分 ）
1 4T 2
1[ 2
0
du
2T
2T u
2T u CX (u)dv
令
u v
t t
s s
,
则
s t
1 2
1 2
(v (v
u) u)
2uT（) RY
(u)
RX
( )
2 )du
0
注意： ➢设X={Xt,t∈R},以及对任意固定的τ,Y= {Yt,t∈R},均为
实平稳过程,则X的相关函数具有各态历经性的充要条 件是
lim 1
T T
2T 0
(1
2uT（) RY
(u)
RX2
(
))du
0
➢ 对t≥0的平稳过程X相关函数具有各态历经性的充要条件是
与t无关，仅与u有关. Y为平稳过程
又 CY (u) RY (u) mY2
得
第四章、平稳过程
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随机过程(西电版）
二、平稳过程相关函数的性质
§4 平稳过程
1、相关函数的性质 、 设{ X (t ), t ∈ T } 是平稳过程，其相关函数为 RX (τ ), 则 是平稳过程， (1) RX (0) = E[ X (t ) ] ≥ m X
2 2
≥ 0;
(2) RX (τ ) = RX (−τ ); (3) RX (τ ) ≤ RX (0); (4) RX (τ ) 具有非负定性，即 ∀n ≥ 1, t1 , t 2 ,⋅ ⋅ ⋅, t n ∈ T 及复数 具有非负定性，
随机过程(西电版）
§4 平稳过程
§4 平稳过程
一、平稳过程的概念 二、平稳过程相关函数的性质 三、平稳过程 的各态历经性 四、平稳过程的谱密度 五、线性系统中的平稳过程
2011-6-8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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随机过程(西电版）
一、平稳过程的概念
§4 平稳过程
1、严平稳过程 、 若对于任意的n和任意的 设随机过程 { X (t ), t ∈ T }, 若对于任意的 和任意的 有 t1 , t 2 ,⋅ ⋅ ⋅, t n ∈ T , ∀τ , t1 + τ , t 2 + τ ,⋅ ⋅ ⋅, t n + τ ∈ T
4、联合平稳过程的互相关函数及其性质 、 为两个平稳过程， （1）定义：设 { X (t ), t ∈ T }, {Y (t ), t ∈ T }为两个平稳过程， ）定义： 若对于任意 t , s ∈ T , R XY ( s, t ) = R XY (t − s ), 则称这两个过程为联合平稳过程。 则称这两个过程为联合平稳过程。 记 R XY (t , s ) = R XY (t − s ) = R XY (τ ),τ = t − s.