物理竞赛光学试题

例2、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面
两侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平
行光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为
无像差曲面，已知OF = - n’，结果如何？
=
f，求曲线所满足的方C 程。如果
n’
解：
Y A
B
分析－－解本题可用折
射定律求曲面法线方程的
扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内
为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮 点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可
不计它对光线产生折射的影响）
（第13届全国中学生物理竞赛予赛题）
解：
D
在液面上折射时，所
解: 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点 Y
为切线在水平方向时的切点处。 a0
沿Y 方向分割成一系列薄层，
X
应用折射定律。 q0 O
a
n0 sin a0 nsin a
由初始条件 求出a0:
sin 30o n0 sin 90o a0
OF f
C’
CC’曲线方程： n'2 n2 x2 n'2 y2 2n'n n' fx 0
n’ = - n’ 时：y2 4 fx
抛物型反射镜
椭圆方程
2
例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发
光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如
图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发 生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全 国中学生物理竞赛题）
有光线都发生全反射时，
q
则光线出不来。
n
n’ = 1
A
C
B
6
全反射条件：g C

arcsin
1 n
只要 g 的最小值小于临界角，
sin a nsin b
F D
则总会有光线出来
g
b
三角几何关系 E点和F点法线的夹角 n
q aE
＝
DB和水平方向的夹角：
g b q
n’ = 1
A
C
B
2
g 最小 b 最大
r
sin iE sin EOP
r
EP
sin iF sin FOP sin EOP
r
FP
FP
i max
F
arcsin r R
EP FP

不发生全反射: iF max
ic
arcsin 1 n
R nr 5
例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部
板沿 X 方向切成一系列薄片，对
每层薄片应用折射定律。 d
折射定律决定光线在每一点的
方向，从而确定光线的轨迹； O
X
折射定律的级联形式：
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin b1 nx sin bx nA sin b A
8
n0 n1 sin b1 nx sin bx nA sin b A
对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国
中学生物理预赛题）
L1
a
L2
解：
Ff
y
S
n=?
S’
分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理， 因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边
11
L1
a b
L2
i1
i2 i3
i4
Ff
y
S
n=?
S’
选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线
A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交
4
第二步：数学推导
P
EO区内E点光线的入射角
iE最大，同样FO区内F点的
R
光线的入射角iF最大;
E
iE iF
n Or F
如果 P 点在右半边，则有 iF > iE , P 点在左边,则反之;
求 F点光线的最大入射角
sin
iF

sin
OFP R
C点发出光线 CD的a 最大
tanq n2 1 1
a max


2
q
7
例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，
若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A
点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的Hale Waihona Puke Baidu置和平板的厚度。
解：
Y
a
介质折射率连续变化，可将平
bx
A
X
方法，再结合已知条件， O
fF
可求得CC’曲线方程。
n n’
用等光程原理求解本题更简单
C’
1
选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴入射 的光线;
Y
C
A
B (x, y)
等光程：
X
n AB n'BF n'OF O
fF
几何关系： AB x
n n’
BF f x2 y2
解： 第一步：全反射条件
R n
ic

arcsin
1 n

发光区 O
3
第二步：反射光的几何性质 考察任意一点 A 发出的 光线在球面上任意一点P 反 射后的光线
P 点的法线沿 PO 方向
P’
A
O
P
B B’
反射线、折射线、法线三者共面
因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上
sin a
和
sin
b
A

n0 nA
结论：d

yA

sin a
2n0q
和
sin 2 a
xA 4n02q
nA
n02

sin
2
a 9
例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地
降低：ny n0 qy ，在xoy 平面内有一光线以入射角
qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
几何关系：
i1 i4
i2 i3
i1 i2 b i2 i3 a
tan b y
f
计算得： n sin i1 1.65
ny n0 qy
n0 ymax
n02

1 4
q
10
例5、图示三棱镜的顶角 a ＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距
均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面 上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S’ 与 S
P点光线的方向由bx 决定:
sin
bx

n0 nx

1 1 4qx
Y
nx n0 1 4qx
a
P点光线的切线斜率 kp :
k p tan b x
1 4qx d
bx
A
P(x, y)
曲线 y = f(x)与斜率 kp：k p
光线轨迹方程：y2 x

dy dx
O
X
q
A点的条件：nA sin 90o bA