2020年10月江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性联考检测数学试题(解析版)
江苏省苏州中学园区校2021届高三数学上学期初第一次模拟考试
3 的直线与双曲 3
()
√
21
13
5
A. 2
B.
C.
D.
3
3
3
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. 随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人オ的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温。某大 学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表：
性别 男 女
a1 和 a2, 半焦距分别为 c1 和 c2, 离心率分别为 e1, e2, 则下列结论正确的是
A. a1 + c1 > 2(a2 + c2)
B. a1 − c1 = a2 − c2
C. a1c2 > a2c1
D.
e1
=
e2
+1 2
()
12. 已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, +∞)，导函数为 y = f′(x)，若 xf′(x) − f(x) = x ln x，且 f( 1 ) = 1 ，则 ( )
(2)
√ 若函数 g(x) = 2f(−x) + 1 − x2 + 1，求证：g(x2 − x) ⩽
5 .
4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12 分）已知 f(x) = x3 + 3ax2 + bx + a2(a > 1) 在 x = −1 时有极值 0. (1) 求常数 a,b 的值; (2) 求函数 y = f(x) 在区间 [−4, 0] 上的最值．
.
16. 已知数 f(x) = x2 + 2ax, g(x) = 4a2 ln x + b，设两曲线 y = (x), y = g(x) 有公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当
江苏省2020届高三上学期八校联考数学试题 Word版含解析
江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考数学试卷2019．10一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B ＝ ． 答案：{1，5} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，所以A U B ＝{1，5}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：11考点：算法初步（伪代码） 解析：第一步：S ＝1＋1＝2 第二步：S ＝2＋2＝4第三步：S ＝4＋3＝7 第四步：S ＝7＋4＝114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：1000考点：频率分布直方图S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S解析：100÷(0.004×25)＝10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：14考点：古典概型解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝14． 6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x ，5)，得22cos 35x α==-+，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．7．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y ＝1sin()23y x π=-，将所得的图像向左平移3π个单位得11sin[()]sin(2332y x x ππ=+-=)6π-．8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：7考点：指对数函数解析：当a ＞3时，2log (1)3a +=，得a ＝7；当a ≤3时，3213a -+=，解得a ＝4＞3（舍）；所以a 的值为7．9．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ． 答案：23考点：基本不等式解析：由224549a ab b -+=得24()913a b ab +-=，由基本不等式得2()2a b ab +≤，则可发现224()9()132a b a b +-+≤，解得a b +≤a ＋b最大值为 10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．考点：三角恒等变换解析：因为θ∈[0，4π]，所以2θ∈[0，π]，所以sin20θ≥，因为1cos43θ=-，即2112sin 23θ-=-，所以sin 2θ=442222sin ()sin ()[sin ()sin ()][sin ()sin ()]444444ππππππθθθθθθ+--=++-+--＝1cos(2)1cos(2)1cos(2)1cos(2)2222[][]2222ππππθθθθ-+---+--+- ＝1sin 21sin 21sin 21sin 2()()sin 22222θθθθθ+-+-+-== 11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB ＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r，则AE EB⋅u u u r u u u r＝ ．答案：14考点：平面向量数量积解析：以O 为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，，C(6，0)，D(3，，E(1，所以AE =u u u r (1)，EB =u u u r (﹣1，)，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝﹣1＋15＝14．12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ．答案：211考点：函数奇偶性与周期性解析：根据(1)(1)f x f x -=+，()f x 是奇函数，可得()f x 是周期为4的函数，所以(2019)(50541)(1)(1)(1)f a f a f a f a f a -=⨯--=--=-+=-- 因为0＜a ＜1，所以0＜1﹣a ＜1，所以2(1)lg1af a a ---=-=-，解得211a =． 13．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e考点：导数的几何意义，导数与切线解析：因为()x f x ae =，()ln g x ea x b =+，所以()x f x ae '=，()ea g x x'=， 设曲线()y f x =和()y g x =的切点坐标分别为(1x ，1xae )，(2x ，2ln ea x b +)，则112122(ln )x x ae ea x b eaae x x x -+==-，可得122ln 1ln e x x x ==-，代入上式可得：222(1)ln e x x be a x -=-，构造函数2222(1)ln ()e x x h x x -=，求得最小 值为0，所以222(1)ln e x x be a x -=-的最大值为e ． 14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．答案：0a <或1a = 考点：函数与方程解析：原方程可转化为2(2)2(2)0x x x e a x e a ⎡⎤---+=⎣⎦，令(2)xt x e =-，当方程220t at a -+=有且只有一个根时，0a =或1a =，发现1a =符合题意， 当方程220t at a -+=有且只有两个根时，此时1a >或0a <，且两根1t ∈(0，e )，2t ∈(-∞，0)，此时2020a e ae a <⎧⎨-+>⎩，解得0a <，综上实数a 的取值范围是0a <e或1a =．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b＝，求a的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． (6)分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分所以314sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C =+=+=+⨯=----12分由正弦定理，4sin sin a b a A B =⇒=⇒=+------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x xx f x x x +==+∀∈+∞--且12x x < 21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。
江苏省苏州市2021届高三第一学期开学调研数学试卷
江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．421(2)x x-的展开式中x 的系数为 A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.65．在△ABC 中，AB+AC=2AD ，AE+2DE=0，若EB=XAB+YAC ，则 A ．y ＝2x B ．y ＝﹣2x C ．x ＝2y D ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Qlog 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为 A ．1800 B ．2700 C ．7290 D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1 C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 1外接球半径为3 8．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b++ A ．有最小值为4B ．有最小值为221+ C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()Ry f t ==sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．()y f x =的图象不经过第三象限 B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点 12．数列{}n a 为等比数列 A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝． 16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2＝3S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC 中，a ＝()3f π，且，求2b ＋c 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前 3项．（1）求{}n a ，{}n b ； （2）设1(1)n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求二面角D —EF —S 的正弦值．20．（本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，2σ)，令Y μησ-=，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k )取得最大值时k 的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85． 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两个端点分别为A ，B ，P(0x ，0y )(0y ＞0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb (k ＞0)，PD 交AB 于 E ，PC 交AB 于F ．（1）若k ＝1，△PCD 的最大面积为12，离心率为3，求椭圆方程； （2）若AE ，EF ，FB 成等比数列，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln sin 1f x x x x =-++．（1）求证：()f x 的导函数()f x '在(0，π)上存在一零点； （2）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点．。
江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期初调研数学试题
12．已知点 是圆 上任意两点，且满足 .点 是圆 上任意一点，则 的取值范围是______.
13．设实数 ，若不等式 ，对任意的实数 恒成立，则满足条件的实数 的取值范围是_____.
14．在 中，若 ，则 的最大值为_____.
二、解答题
15．如图，在直三棱柱 中， ，点 是棱 的中点.
江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期初调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____.
2．如果复数 的实部与虚部互为相反数，则 等于_____.
3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望 ．
25．设集合 ，集合 ，集合 中满足条件 “ ”的元素个数记为 .
（1）求 和 的值；
(2)当 时，求证： .
参考答案
1．
【分析】
根据并集的运算即可求解.
【详解】
集合 ， ，
由并集的运算可得 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了并集的简单运算，属于基础题.
，
，
所以输出的 ，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而 ，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
∵双曲线 ( )的两条渐近线方程是y＝±2x，
∴ ，即b＝2a，∴ ，∴ ．
2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试卷及答案解析(苏教)
最新高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B I = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中 从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？6318．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r =. ①求证：1214k k =-； ②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++L 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-L .（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=u u u r u u u r. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥L ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}1-2.3. 3104. 175. 176. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22- 14. 1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分 所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. ………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分（2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[6x π+∈，即()[2]f x ∈. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1A C 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . ..............4分 又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ............6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以BC ⊥面11ACC A . .............8分 而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11A C AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =I ， 所以1AC ⊥面1A BC . .............12分 又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . .............14分 17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ..............2分 设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ..............6分所以点P 到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分所以当234x =，即x =h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =PB =. ...........14分 解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. .......2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则=化简得，222(17)15(0)x y y -+=>， ...............10分 即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ............14分 18．解：（1）因为椭圆C右焦点的坐标为0)，所以圆心M的坐标为1)2±， .......2分从而圆M的方程为2211(()24x y +±=. …………4分 （2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， ………6分 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， ………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …10分②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， ……12分同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分 221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52. ……16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =，所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分 （3）结论是12()02x x g +'<. …………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-，即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. …………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2ii A =，12i i B +=，所以1222i i ii r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B <可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,,1i m =-L ，所以{}n a 单调递增， ……7分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-. ………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21. A 、解：因为CD 与O e 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， ……2分又因为AB 为O e 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆:，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. ………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ==， ……… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分 B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C 、解：点A 的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， ………6分 则点A 到圆心E的距离4d r ==>=，所以点A 在圆E 外. ………10分D、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， (6)分又1a b c d +++=，所以224≤，≤ ………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C ………2分 （1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-u u u u r ，11(0,4,0)AC =u u u u r ，1(1,2,2)A D =-u u u u r ，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r 则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =u r，又111111cos ,||||DB n DB n DB n ⋅<>===u u u u r u r u u u u r u r u u u u r u r ， 所以直线1DB 与平面11AC D…………6分 （2）BD DC λ=u u u r u u u r Q ，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=u u u u r ，124(,,2)11A D λλλ=-++u u u u r ， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+u r . …………8分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r ，由题意得121|cos ,|2n n <>=u r u u r ，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分 下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立；②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=， 而当集合M 从{}1,2,3,,k L 变为{}1,2,3,,,1k k +L 时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-L 3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=， 即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立. 综上所述，猜想成立. ……………10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。
江苏省盱眙中学2021届高三上学期八省联考模拟考试(一)数学试题 Word版含答案
江苏省盱眙中学2020至2021学年高三年级八省联考模拟考试（一）数学试题注意事项：1.考试时间：120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号、班级用黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上的相应位置。
并在指定位置贴上条形码，作答选择题时，请将答案填涂在答题卡的相应位置。
作答非选择题时，请将答案写在答题卡的相应题号区域内。
3.考试结束时，将答题卡上交。
一、单项选择题：(本大题共8题，每小题5分，共40分。
)1．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ▲ ） AB．C．D．2．3k >是方程22134x y k k+=--表示椭圆的（ ▲ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ▲ ） A ．2 B ．4C ．23D ．454．若偶函数满足，，则（ ▲ ）A ．B ．1010C ．1010D ．20205．某产品的宣传费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程，则宣传费用为6万元时，销售额最接近（ ▲ ） A ．55万元B ．60万元C ．62万元D ．65万元6.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两()(1)2020f x f x ⋅+=(2)1f -=-(2021)f =2020--9y x a =+个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．7.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ▲ ） A ．B ．C ．D ．8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ▲ ）A ．30B ．C ．33D ．二、多项选择题：(本大题共4题，每小题5分，不全对得3分，有选错得0分，共20分。
江苏省2021届高三上学期八省联考模拟考试(二)数学试题 (含答案)
江苏省2020至2021学年高三年级八省联考模拟考试（二）数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的）1．已知双曲线方程为2213y x -=，则该双曲线的渐近线方程为A．33x =± B ．3x =± C ．33y x =± D ．3y x =±2．据记载，欧拉公式i cos isin ()x e x x x =+∈R 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉 为“数学中的天桥”．特别是当πx =时，得到一个令人着迷的优美恒等式πi 10e +=， 这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的 单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式， 若复数z =2πi3e ，则复数z 在复平面内对应的点在第几象限 A ．一B ．二C ．三D ．四3．数列{}n a 的通项公式22n n a n =+，若该数列的第k 项k a 满足4070k a <<，则k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．64．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今 五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图 所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发跳动五次到达点B ，每次向右或向 下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达 的概率为A ．15B ．110C ．116D ．1325．已知向量(sin 2)(1cos )a b θθ=-=，，，，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为A ．1B ．2C ．12D ．36．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程222a x ky -=（0k >，10k a ≠≠，）表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P 向 长轴AB （异于A ，B 两点）引垂线，垂足为Q ，则2PQ AQ BQ⋅为常数．据此推断，此常数的值为A ．椭圆的离心率B ．椭圆离心率的平方C ．短轴长与长轴长的比D ．短轴长与长轴长比的平方 7．已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．()20,2eB ．(2e 0,2⎤⎥⎦C ．()2e 0,3D ．(2e 0,3⎤⎥⎦8．在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为 A ．574B ．578C ．42D ．22二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9． 将()2sin 22cos 21f x x x =-+的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到 函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法正确的是 A ．函数()y g x =的最小正周期是2π B ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间π5π,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的为 A ．三棱锥P QEF 的体积 B ．直线1A E 与PQ 所成的角 C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角 D ．二面角1P EF A --的余弦值11．已知圆M ：22(2)1x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是A ．四边形P AMB周长的最小值为B ．AB 的最大值为2C ．若P (1，0)，则三角形P AB 的面积为85D．若)Q，则CQ 的最大值为9412．已知数列{}n a 满足：()111112n n na a a a +=+≥，．下列说法正确的是 A. 存在1a ，使得{}n a 为常数数列 B ．1n n a a +≤ C ．212n n n a a a +++≤ D ．()11111nii i a a a +=--∑≤三. 填空题（ 本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在4()()x y x y -+展开式中，32x y 的系数为 ▲ ．14． 2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位、多层次、复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元、自主、平衡、可持续的发展．为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有 ▲ 种不同的方案．15． 在三棱锥P ABC -中，满足P A =BC =2，PB =AC ，PC =AB ，且9PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -外接球表面积的最小值为 ▲ ．16．已知椭圆方程为22143y x +=，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P 点为椭圆上任意一点（异于左、右顶点），直线BP 交直线4x =-于点M ．设AP ，AM 的斜率分别为12k k ，， 若直线AP 平分BAM ∠，则12k k +的值为 ▲ ．四. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）在①442(1)S a =+②221n n a a =+③22222645a a a a +=+中任选两．个．，补充在横线上，并回答下面问题．已知公差不为0的等差数列{}n a ，且___________.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 为梯形，//ED BC ，且12ED BC =，ABC △ 是边长为2的正三角形，顶点D 在AC 边上的射影为F ，且1DF =，2CD =，2BD =． （1）证明：AC BD ⊥；（2）求二面角E AB D --的余弦值．19．（本题满分12分）如图，在三角形ABC 中，已知1AB =，3AC =， D 为BC 的三等分点（靠近点B ）， 且30BAD ∠=︒．（1）求sin CAD ∠的值； （2）求△ABC 的面积．20．（本题满分12分）探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天(第18题图)ABCDEF事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中 国智慧、中国方案、中国力量．（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品 的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量， 抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x 百件产品中，得到次 品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示，且y （单位：件）与x （单位：百件）线 性相关：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有 生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人 出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟，如果有人10分钟内不能完成任 务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有n 个人可派，工作人员123n a a a a ⋅⋅⋅，，各自在10分钟内能完成任务的概率都为12，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X ，X 的数学期望为E (X )， 证明：E (X )<2．（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆybx a =+的系数公式 1122211()()=ˆ()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bxnx x x ====-⋅--=--∑∑∑∑;ˆa y bx=-.） （参考数据：515220143524403550404530i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222215203540505750ii x==++++=∑.）21．（本题满分12分）已知函数()(48)ln f x ax x bx =-+()a b ∈，R ．（1）若102a b ==，，求函数()f x 的单调区间；（2）若a ∈Z ，1b =-，满足()0f x ≤对任意()0x +∈∞，恒成立，求出所有满足条件的a 的值．22．（本题满分12分）如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，且离心率为12，抛物线22:2(0)C y px p =>．点()31,2P 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点．（1）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（2）过点P 作斜率为(0)k k <的直线1l 交椭圆1C 于点A ，交抛物线2C 于点B （A ，B 异于点P ）．① 若3PB PA =，求直线1l 的方程；② 过点P 作与直线1l 的的的的的的的的的2l ，且的的2l 交抛物线2C 于点C ，交椭圆1C 于点D （C ，D 异于点P ）．记PAC △的面积为1S ，PBD △的面积为2S ．若 ()12132111S S ∈，，求k 的取值范围．江苏省盱眙中学2020至2021学年高三年级八省联考模拟考试（二）数学参考答案及评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的）二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)三. 填空题（ 本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．150 15．11π 16．94四. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①442(1)S a =+②221n n a a =+③22222645a a a a +=+中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题．已知公差不为0的等差数列{}n a ，且___________. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）选①②因为{}n a 是等差数列，且442(1)S a =+，221n n a a =+，所以11214342(31)221a d a d a a ⨯⎧+=++⎪⎨⎪=+⎩，解得112a d ==，，所以21n a n =-． ··························································································· 4分选①③因为{}n a 是等差数列，且442(1)S a =+，22222645a a a a +=+，所以11114342(31)2(29)2(24)a d a d d a d d a d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+=+⎩，解得112a d ==，，所以21n a n =-． ··························································································· 4分选②③因为{}n a 是等差数列，且221n n a a =+，22222645a a a a +=+ 所以211121(29)2(24)a a d a d d a d =+⎧⎨+=+⎩，解得112a d ==，，所以21n a n =-． ··························································································· 4分 （2）因为21n a n =-，所以()111121(23)42123n b n n n n ==--+-+（) ························································ 7分 所以113(21)(23)n n S n n +=-++． ·········································································· 10分 18．如图，在四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 为梯形，//ED BC ，且12ED BC =，ABC △ 是边长为2的正三角形，顶点D 在AC 边上的射影为F ，且1DF =，2CD =． （1）证明：AC BD ⊥；（2）求二面角E AB D --的余弦值． 证明：（1）连结BF ．由顶点D 在AC 上投影为点F ，可知，DF AC ⊥． 在Rt FGC △中，1DF =，2CD =，所以1CF =，所以点F 为AC 的中点． ························ 2分 又因为ABC △是边长为2的正三角形，所以BF AC ⊥． ···························· 3分 因为DF AC ⊥，BF AC ⊥，BF DF F =所以AC ⊥平面BDF ．4分(第18题图)A BCDEF又BC ⊂平面BDF ，所以AC BD ⊥． ····························································· 5分 （2）以F 点为坐标原点，以BF 所在直线为x 轴，FC 所在直线为y 轴，FD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．所以()010A -，，，)00B ，()010C ，，，()001D ，，，112E ⎫⎪⎭-，． 设平面ABE ，ABD 的法向量分别为12n n ，，则110n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()110n =，， ···················· 7分 2200n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()2333n =-，， ··················· 9分所以12122cos n n n n θ⋅==所以二面角E AB D --． ··················12分 19．如图，在三角形ABC 中，已知1AB =，3AC =， D 为BC 的三等分点（靠近点B ）， 且30BAD ∠=．（1）求sin CAD ∠的值； （2）求三角形ABC 的面积．解：（1）在三角形ABD 中，由正弦定理得，1sin sin30BD ADB =∠， ①在三角形ACD 中，由正弦定理得，3sin sin CD ADC DAC=∠∠，② 又180ADB ADC ∠+∠=，故sin sin ADB ADC ∠=∠， ············································· 2分 因为D 为BC 的三等分点（靠点B ），所以2BD DC =，由①②得，1sin 3CAD ∠=． ············································································· 5分（2）由（1）知，1sin3CAD ∠=，所以cos CAD ∠==，若cos CAD ∠=()sin sin 30BAC CAD ∠=+∠sin30cos cos30sin CAD CAD=∠+∠1123=⨯0=<（舍去）； ············································································· 8分故cos CAD ∠=，同理，得sin BAC∠= ········································· 10分所以，三角形ABC 的面积S =1sin 2AB AC BAC⋅⋅∠1132=⨯⨯= 所以△ABC． ····································································· 12分 20．探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中 国智慧、中国方案、中国力量．（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x （单位：百件）件产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示，且y （单位：件）与x （单位：百件）线性相关：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断能否完成任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10钟，如果有人10分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有n 个人可派，工作人员123n a a a a ⋅⋅⋅，，各自在10分钟内能完成任务的概率分别依次为123,,,,n p p p p ，且12312n P P P P n *===⋅⋅⋅==∈，N ，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X ，X 的数学期望为()E X ，证明：()2E X <． （参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆybx a =+的系数公式 1122211()()=ˆ()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bxnx x x ====-⋅--=--∑∑∑∑;ˆa y bx=-.）（参考数据：515220143524403550404530i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222215203540505750i i x ==++++=∑.）解：（1）由已知可得：520354050305x ++++==；214243540235y ++++==；又因为522222215203540505750i i x ==++++=∑；515220143524403550404530i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑；由回归直线的系数公式知：51522222222154530530231080ˆ0.864(520354050)53012505i i i ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯====++++-⨯-∑∑， ···················· 2分ˆ230.86430 2.92a y bx=-=-⨯=- 所以ˆˆ0.864 2.92ybx a x =+=-， ······································································ 4分 当100x =（百件）时，864100 2.92083.4890.y ⨯-=<=，符合有关要求． 所以按照公司的现有生产技术设备情况， 可以安排一小时试生产10000件的任务．5分 （2）由题意知：1,2,3,,X n =，1111()(1)222k k P X k -==-⨯=，1,2,3,,1k n =-；1111()(1)22n n P X n --==-=所以2321123221() (22222)n n n n E X ----=+++++ ·························································· 8分 2341()123221 (222222)n n E X n n ---=+++++ 两式相减得：2321()1111121 (2222222)n n n E X n n --+-=+++++- 211111...2222n n -=++++ 112n =- ······································································ 11分 故11()222n E X -=-<． ··················································································· 12分 21．已知函数()(48)ln f x ax x bx =-+()a b ∈，R ．（1）若102a b ==，，求函数()f x 的单调区间；（2）若a ∈Z ，1b =-，满足()0f x ≤对任意()0x +∈∞，恒成立，求出所有满足条件的a 的值．解（1）因为102a b ==，，所以()4(1)ln f x x x =-， 所以1()4(1ln )f x x x '=--，令1()4(1ln )g x x x=--，所以211()4()0g x x x'=--<，所以函数()g x 单调递减， ············································· 2分 又因为(1)0g =，所以当()01x ∈，时，()0g x >；()1x ∈+∞，时，()0g x < 所以函数的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，． ·································· 4分 （2）因为1b =-，所以()(48)ln f x ax x x =--．因为()0f x ≤对任意()0x +∈∞，恒成立，所以()(e)010ef f ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，得4e 4e 18e 8a -+≤≤，又因为a ∈Z ，所以1a =．···················································· 7分 当1a =时，()(48)ln f x x x x =--．当()()1012x ∈+∞，，时，(48)ln 0x x -<，所以()0f x <，当()112x ∈，时，因为1ln 1x x >-， 所以211()(48)ln (48)(1)(32)0f x x x x x x x x x =--<---=--≤， ······························· 11分所以所有符合条件的a 的值为1． ······································································· 12分22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，且离心率为12，抛物线22:2(0)C y px p =>．点()31,2P 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点．（1）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（2）过点P 作斜率为(0)k k <的直线1l 交椭圆1C 于点A ，交抛物线2C 于点B （A ，B 异于点P ）．① 若3PB PA =，求直线1l 的方程；② 过点P 作与直线1l 的的的的的的的的的2l ，且的的2l 交抛物线2C 于点C ，交椭圆1C 于点D （C ，D 异于点P ）．记PAC △的面积为1S ，PBD △的面积为2S ．若 ()11132111S S ∈，，求k 的取值范围． 解：（1）因为曲线2C 过()312P ，，代入得98p =，所以曲线2C 的方程为294y x =． ······································································ 1分因为曲线1C 过()312P ，，且离心率为12，所以229141a b +=，12c a =．又因为222a b c =+，所以2243a b ==，，则曲线1C 的方程为22143x y +=． ····································································· 2分（2）①设()11A x y ，，()22B x y ，． 由题意，直线l 的方程为()312y k x =-+． 将()22312143y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩联立，得()()2224+343241230k x k k x k k +-+--=， 所以212412314+3k k x k --⋅=，21241234+3k k x k --=．将()231294y k x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立，得()22299323044k x k k x k k ⎡⎤+--+-+=⎢⎥⎣⎦，所以222412914k k x k -+⋅=，22241294k k x k -+=． ···················································· 4分因为3PB PA ==))2111x x -=-，即22129126=344+3k k k k -+--⋅， ································ 6分 化简得()223(1663)0k k k +-+=，且12k <-．解得32k =-，所以直线l 1的方程为3260x y +-=．·············································· 7分②设()33C x y ，，()44D x y ，． 因为的的l 2与直线l 1的倾斜角互补，所以的的l 2的方程为()312y k x =--+．同理可得：23241294k k x k ++=，24241234+3k k x k +-=，22129612==443k kPC PD k k ---+，． 又因为0PC >，所以34k <-． ········································································ 9分因为()12132111S S ∈，，故()1sin 13212111sin 2PC PA APC PD PB DPB ∠∈∠，， 即()132111PC PA PD PB∈，， 所以()()()()()21431321432111k k k k ++∈--，，所以()()332,1,816k ∈----． ······························· 11分 又因为34k <-，所以()2,1k ∈--． ·························································································· 12分。
2021届高三苏州数学起初试卷参考答案
故
x
~
B(800, 0.788)
，
P(x
=
k)
=
Ck 800
0.7ห้องสมุดไป่ตู้8k
(1-0.788)800-k
．
由
ìïïíïïîPP((xx
= =
k k
) )
P(x P(x
= =
k k
-1), +1),
高二数学参考答案 第 3 页 共 6 页
即
ìïïíïïîCC88kk0000
0.788k 0.788k
根据条件得
P( X
= 0)
=
C50C53 C130
=
10 120
=1 12
，
P( X
= 1)
=
C51C52 C130
= 50 120
=5 12
，
P( X
= 2) =
C52C51 C130
= 50 120
=5 12
P( X
= 3) =
C53C50 C130
= 10 120
=1 12
，
…………………… 2 分
=1
．又直线 PD 方程为
y
y0
y0 kb (x x0 a
x0 ) ，令
y
=
0
，
解得
xE
x0
y0 (x0 a) y0 kb
，同理可得
xF
x0
y0 (x0 a) y0 kb
，
…… 6 分
所以
AE
xE
(a)
x0
y0 (x0 a) y0 kb
a
kb(x0 a) y0 kb
，……………………
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2020年10月
一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个
选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝11N2162xx,B＝240xxxm,若1AB,则A B
＝
A．{1,2,3} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}
答案：D
解析：∵若1AB,∴B＝{1,3},
又∵A＝11N2162xx＝{0,1,2},∴AB＝{0,1,2,3},故选D．
2．命题“x(0,1),20xx”的否定是
A．0x(0,1),2000xx B．0x(0,1),2000xx
C．0x(0,1),2000xx D．0x(0,1),2000xx
答案：B
解析：全称量词命题的否定,首先全称量词变存在量词,同时否定结论,故选B．
3．()1cosxfxx的部分图象大致是
2
答案：A
解析：首先可判断函数()fx是奇函数,其次可判断x≠0,当x＞0时,()fx＞0,综
上,选A．
4．函数2(ln1)yxx在x＝1处的切线方程为
A．42yx B．24yx C．42yx D．24yx
答案：C
解析：设切线斜率为k,首先求得切点是(1,2),2ln4yx,故k＝4,根据点斜式
得,y﹣2＝4(x﹣1),即42yx,故选C．
5．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cos2B＋2sinAsinC＝1,则
B的 最大值为
A．6 B．4 C．3 D．2
答案：C
解析：由cos2B＋2sinAsinC＝1,得sinAsinC＝sin2B,即ac＝b2,
∴cosB＝2221122222acbacacca,则B的最大值为3,故选C．
6．如图直角坐标系中,角(0＜＜2)、角(02)的终边分别交单位圆
于A,B两点,若B点的纵坐标为513,且满足S△AOB＝34,则
1
sin(3cossin)2222
的值为