初中数学1——二次函数平移与对成
初中数学 一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标有什么关系
初中数学一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标有什么关系一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标之间存在一定的关系。
本文将详细解释一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标的关系，并探讨它们之间的联系。
首先，让我们回顾一下一元二次方程和二次函数的定义和性质。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它的一般解法是使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
一元二次方程的根可以有三种情况：两个实根、一个实根或者两个复根。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它的图像是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
接下来，我们来探讨一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标的关系。
1. 对称轴的定义：二次函数的图像存在一个对称轴，它是抛物线的轴线，将图像分为两个对称的部分。
对称轴的方程可以通过求二次函数的顶点的x坐标来确定，即x = -b / (2a)。
2. 与一元二次方程的根的关系：一元二次方程的根与二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标之间存在紧密的联系。
具体来说，一元二次方程的根可以用来确定二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果它有两个实根x1和x2，或者一个实根x，那么可以通过以下方式确定二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标：-当有两个实根x1和x2时，对称点的x坐标即为对称轴的x坐标（-b / (2a)）。
对称点的y 坐标可以通过将对称点的x坐标代入二次函数的表达式来计算：y = ax^2 + bx + c。
-当有一个实根x时，对称点的x坐标仍然是对称轴的x坐标（-b / (2a)）。
初中数学二次函数知识点归纳
初中数学二次函数知识点归纳二次函数是中学数学中一个重要的内容，也是初中阶段的数学学习的重点之一。
掌握二次函数的基本概念、性质及解题方法对于学生提高数学学习水平以及应对中考具有重要意义。
下面将对初中数学二次函数的知识点进行归纳和总结。
一、二次函数的定义及图像特点1. 二次函数的定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是实数，且 a 不等于 0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像一般为开口向上或开口向下的抛物线。
当a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 顶点坐标：二次函数抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
4. 判别式的作用：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 提供了解二次函数方程的相关信息，包括方程的根的情况和图像与 x 轴的交点等。
二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于其顶点对称。
2. 单调性：当二次函数 a > 0 时，函数图像开口向上，单调递增；当 a < 0 时，函数图像开口向下，单调递减（除去顶点）。
3. 零点及方程的根：二次函数的零点即为方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
可以使用求根公式或配方法来解二次方程。
三、二次函数与图像的应用1. 最值问题：通过二次函数的顶点及对称性，可以求得二次函数在定义域范围内的最值。
2. 解析几何：二次函数的图像可用于解释和求解平面几何问题。
例如，通过二次函数的图像可以确定抛物线的焦点、顶点、对称轴等。
3. 时间、距离、高度问题：二次函数可以用来描述物体在空间中的运动问题，如抛体运动中的时间、高度、距离等。
四、解题方法与技巧1. 求解方程：对于二次函数的解析式，可以使用求根公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 来解方程。
2. 求函数的最值：通过求二次函数的顶点和判别式的符号，可以迅速判断二次函数的最值情况。
初中数学二次函数知识点全面梳理
初中数学二次函数知识点全面梳理二次函数是中学数学中比较重要的概念之一，它是一种关于自变量的二次多项式函数。
在初中阶段，学生需要通过系统学习来掌握二次函数的各种知识点。
本文将对初中数学二次函数的基本定义、图像特征、性质以及解题方法进行全面梳理。
一、基本定义二次函数的基本定义是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵坐标偏移量。
二、图像特征1. 开口方向和开口大小：- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，称之为“凹”型；- 当a < 0时，二次函数的图像开口向下，称之为“凸”型。
同时，a的绝对值越大，开口越大；a的绝对值越小，开口越小。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，可通过以下公式求得：x = -b / (2a)。
3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过对称轴的x坐标带入函数得到： ( -b / (2a), f(-b / (2a)) )。
其中，f(-b / (2a))表示将(-b / (2a))带入函数得到的纵坐标值，即为顶点的纵坐标。
4. 零点：零点是指二次函数与x轴相交的点，可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
零点的个数与二次方程的判别式有关： - 当判别式D = b^2 - 4ac > 0时，二次函数与x轴有两个交点，即有两个零点；- 当判别式D = b^2 - 4ac = 0时，二次函数与x轴有一个交点，即有一个零点；- 当判别式D = b^2 - 4ac < 0时，二次函数与x轴没有交点，即没有零点。
三、性质1. 对称性：二次函数关于对称轴具有对称性，即对称轴上任意一点的函数值与对称轴两侧对应点的函数值相等。
2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
初中数学二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
二次函数图象的平移与轴对称变换
二次函数图象的平移与轴对称变换
张传进
【期刊名称】《新课程学习：上》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】抛物线的平移与轴对称变换是初中数学的重要内容,也是中考热点内容之一,结合最新的中考试题,举例说明解题时应抓住要点,在理解与比较的基础上学会解题方法。
【总页数】1页(P137-137)
【作者】张传进
【作者单位】江苏省赣榆县宋庄中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.二次函数图象的平移与轴对称变换 [J], 张传进
2.二次函数图象平移有妙法 [J], 华瑞芬
3.对二次函数图象平移的几点看法 [J], 黄启忠
4.基于APOS理论和RMI原则的二次函数图象平移教学实验研究 [J], 江春莲;胡玲
5.借力实验教学落实数学探究--以“二次函数图象的平移”为例 [J], 霍锐泉;何梦圆
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
初中数学二次函数知识总结
初中数学二次函数知识总结二次函数是中学数学中的重要内容，它在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
初中阶段，学生首次接触到二次函数，因此需要对二次函数的相关知识进行总结和掌握。
本文将对初中数学二次函数的知识进行系统总结，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、二次函数的基本定义和图像特征1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征(1) 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定。
- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上；- 当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
(2) 最值：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，若a>0，则f(x)的最小值为c，该函数没有最大值；若a<0，则f(x)的最大值为c，该函数没有最小值。
(3) 对称轴和顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴上的点称为顶点。
- 当a > 0时，顶点为最小值点；- 当a < 0时，顶点为最大值点。
二、二次函数图像的平移和伸缩变换1. 平移变换：二次函数图像的平移是在x轴和y轴方向上的移动。
(1) 左右平移：f(x)平移了h个单位长度，得到f(x-h)。
若h > 0，则图像向右平移；若h < 0，则图像向左平移。
(2) 上下平移：f(x)上下平移了k个单位长度，得到f(x)+k。
若k > 0，则图像向上平移；若k < 0，则图像向下平移。
2. 伸缩变换：二次函数图像的伸缩是在x轴和y轴方向上的变化。
(1) 横向伸缩：f(x)横向伸缩为f(px)。
当0 < p < 1时，图像在x轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在x轴方向上被拉伸。
(2) 纵向伸缩：f(x)纵向伸缩为pf(x)。
当0 < p < 1时，图像在y轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在y轴方向上被拉伸。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结二次函数是一个常见的数学概念，涵盖了许多基础知识点和重要的数学原理。
在初中阶段，学生们需要掌握二次函数的基本概念和性质，以及使用相关的数学方法和技巧解决问题。
以下是初中数学二次函数的知识点总结：1. 二次函数的定义和图像二次函数是一个一次项和一个二次项组成的代数表达式，其标准形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其形态和位置由 a、b、c 决定。
2. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
对称轴是抛物线的中心轴，其方程为 x = -b/2a。
3. 二次函数的开口方向和参数若 a > 0，则二次函数的图像开口朝上；若 a < 0，则图像开口朝下。
二次函数的参数 a 称为开口方向参数，其绝对值越大，图像越瘦长；绝对值越小，图像越圆。
二次函数的零点是使函数等于零的 x 值，其解法为用求根公式 x = (-b ±√(b^2-4ac)) / 2a。
二次函数的交点是与 x 轴、y 轴或其他曲线相交的点。
5. 二次函数的最值和解析式二次函数的最大值或最小值即为顶点的 y 坐标，其解析式为 f(x) = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点坐标。
最大值和最小值的判定依据开口方向和系数 a 的正负，当 a > 0 时，最小值为 k；当 a < 0 时，最大值为 k。
二次函数的图像可以通过平移和缩放的操作进行变形。
平移是指将图像向左、右、上、下移动若干单位，其导致顶点坐标的变化。
缩放是指将图像在 x、y 方向进行拉伸或压缩，其导致开口方向参数、顶点坐标和图像形状的变化。
二次函数在实际应用中具有广泛的应用场景，例如模拟抛物运动的轨迹、求解最优解问题的函数模型、确定生产成本与产量之间的关系等等。
初中数学二次函数知识点汇总(史上最全)
小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴 x b 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就 2a
y=a(x-h)2+k
2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，
上加下减”．
第- 2 -页 共 31页
方法 2： ⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ） ⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。