高考数学归纳法知识点精华总结

数学归纳法

(1)数学归纳法的基本形式

设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)

2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立 典型题例示范讲解

例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12

)

1(+n n (an 2+bn +c ) 解 假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，

这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪

⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧++=++=++=10

113 3970)24(2122)(614c b a c

b a

c b a c b a

于是，对n =1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n (n +1)2=

)10113(12

)

1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2

设n =k 时上式成立，即S k =12)

1(+k k (3k 2+11k +10)

那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2

)

1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2

=12

)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)

=12

)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］

也就是说，等式对n =k +1也成立

综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立

学生巩固练习

1 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )

A 30

B 26

C 36

D 6

2 用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *

3 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+

n

b 1

)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与

3

1

log a b n +1的大小，并证明你的结论 4 设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足 a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果

lim ∞

→n S 2n ＜3,求q 的取值范围

参考答案

1 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除 证明 n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k

=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －

2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除

∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 答案 C

2 证明 (1)当n =1时，42×

1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)

∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立

由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除 3 (1)解 设数列{b n }的公差为d ,

由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+=311452)

110(10101

111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明 由b n =3n －2知

S n =log a (1+1)+log a (1+

41)+…+log a (1+231

-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 2

31

-n )］

而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与3

1

log a b n +1

的大小

⇔比较(1+1)(1+

41)…(1+2

31-n )与313+n 的大小 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)4

1+⨯=>>

推测 (1+1)(1+

41)…(1+2

31-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立

②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+2

31

-k )＞313+k

则当n =k +1时，

)1

31

1(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k

3

131

323+++=

k k k

333

2

2233

333

1)1(343)23(1

31

30)

13(49)13()13)(43()23()43()131

323(

++=+>+++∴

>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1

31

1)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,

即当n =k +1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立

于是，当a ＞1时，S n ＞31

log a b n +1,

当 0＜a ＜1时，S n ＜3

1

log a b n +1

4 解 ∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,

∴q ≠0,a 2=－2

9

,

∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1

两式相除，得

q

a a n n 1

2=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想 a 2n +1=－

2

1q n

(n =1,2,3,…)