浙江省2020学年高一数学联考试卷

三校联盟高一数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．）

1．已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的子集的个数为（ ） A ．16

B ．15

C ．8

D ．7

2．若a b c >>，则一定成立的不等式是（ ） A ．a c b c > B ．a c b c ->- C ．ab ac >

D ．

111a b c

<< 3．若直线220mx y +-=与直线()120x m y +-+=平行，则m 的值为（ ） A ．-1

B ．1

C ．2或-1

D ．2

4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2

314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则

1

3

S S 的值为（ ） A ．

49

B ．49

-

C ．

29

D ．29

-

5．函数()3πsin ln 2f x x x ⎛⎫

=+

⋅ ⎪⎝

⎭

的图像可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知函数()cos f x x =与()()()sin 30πg x x ϕϕ=+≤<，它们的图象有一个横坐标为π

6

的交点，将函数()g x 的图象向左平移π

9

个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π3

x =

B ．π4x =

C ．π2x =

D ．π

6

x =

7．已知π1sin 63

α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24π7πcos cos 36αα⎛⎫⎛⎫

-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．

1

3 B ．

23

C ．

19

D ．

59

8．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与x

轴都有

交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列函数中，不存在．．．“界点”的是（ ） A ．()2

1f x x bx =-++

B ．()12f x x =+-

C ．()sin f x x x =-

D ．()2

2x

f x x =-

9．已知平面向量a ，b ，c ，满足

3

a b c a

b

c

+

=，且22a b c ++=，则()

c a b ⋅+的最大值为（

）

A ．2

B

C

D ．1

10．已知数列{}n a 满足：12a =，()2

110n n n a S S ++-=，()

*n N ∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任

意的n 均有()()()212111n S S S kn +⋅+⋅⋅+≥恒成立，则整数k 的最大值为（ ）

A ．

15

8

B ．2

C ．

178

D ．3

二、填空题（本大题共7小题，第11－14题，每题6分，第15

－17题每题4分，共36分．）

11．已知直线1310l y +-=，2:1l ax y -=，若12l l ⊥，则1l 的倾斜角为__________，此时，原点到

2l 的距离为__________．

12．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主

曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿__________斗栗，羊主人应偿还__________斗栗．

13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，

b ，

c ，已知3a =，b =，3πC A +=，则cos A =

__________． 14．已知函数()2

241,0

22,0

x x f x x ax x ⎧--+>⎪=⎨

-+-≤⎪⎩，当1a =时，21log 2f ⎛

⎫= ⎪⎝

⎭__________；若函数()f x 的最大

值为1a +，则实数a 的值为__________． 15．已知0a >，0b >，且

12

1a b

+=，则a b +的最小值是__________． 16．若关于x 的方程2

4sin sin 10x m x -+=在()0,π内有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为

__________．

17．已知平面向量

b ，

c 满足(

b c t t ==>

，且0b c ⋅=．若存在实数λ和单位向量a ，使不等式

()

()()

1

122

a b b c c b c λλ-+-+

+--≤成立，则实数t 的最大值为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分14分）

已知函数()f x m n =⋅，向量()

cos sin m x x x =+，()cos sin ,cos n x x x =-，在锐角．．ABC

中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求π4f B ⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

的取值范围． 19．（本小题满分15分）

已知直线:120l kx y k -+-=．

（Ⅰ）若已知直线l 不经过．．．

第二象限，求k 的取值范围； （Ⅱ）已知点()0,1A ，()1,5B ，若点A 、B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 20．（本小题满分15分）

如图，在ABC 中，已知2AB =，3AC =，90A ∠=︒，

E ，

F 分别是线段AB ，AC 上的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中(),0,1λμ∈，M ，N 分别是线段EF ，BC 的中点．

（Ⅰ）求证：()

1

2

MN FB FC =

+； （Ⅱ）若21λμ+=，求MN 的最小值．

21．（本小题满分15分）

已知数列{}n a 满足16a =，212a =，372a =，()

*12n n n b a a n +=+∈N ，且{}n b 是等比数列． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）①求证：14n n a ⎧⎫

-⎨

⎬⎩⎭

为等比数列；