求函数极限的方法

求函数极限的方法

1. 预备知识

1.1 函数极限的定义

定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞

=或()()f x A x →→+∞．

定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0

lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．

定义 3 设函数f 在()0

0;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任

给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有

()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0

x +（或0x -

）时的右（左）极限．记作： ()()00lim lim x x x x f x A f x A +

-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭

或()()()()()

00f x A x x f x A x x +-→→→→． 1.2 函数极限的性质

性质1（唯一性） 若极限()0

lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．

性质2（局部有界性） 若()0

lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．

性质3（局部保号性） 若()0

lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或

r A <-）

，存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）． 性质4（保不等式性） 设()0

lim x x f x →与()0

lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内

有()()f x g x <，则()()0

lim lim x x x x f x g x →→≤．

性质5（迫敛性）设()()0

lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有

()()()f x h x g x ≤≤，则()0

lim x x h x A →=．

性质6（四则运算法则） 若极限()0

lim x x f x →与()0

lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅，

当0x x →时极限也存在，且

1. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦；

2. ()()()()000lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅⎡⎤⎣⎦； 又若()0

lim 0x x g x →≠，则f

g

当0x x →时极限存在，且有

3. ()()()()

000

lim lim lim x x

x x x x f x f x g x g x →→→=．

２.求函数极限的若干方法

2.1 利用定义求极限

例１ 证明()()

211lim 212x x x x →-=--．

分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211

122x x x x x

-+=

---，于是有 ()()

231

11332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----，

取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有

()()

21

212x x x ---- 61x <-，取26

ε

δ=

即可．

证明 对于0ε∀>，取1min ,26εδ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

，于是当01x δ<-<时，有

()()

21

26112x x x x ε--<-<--，

由定义知()()

211

lim 212x x x x →-=--成立．

注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．

2.2 利用函数的连续性求极限 例2 求()4

lim tan x x x π

π→

-．

解 ()4

3lim tan tan 444x x x ππππππ→⎛

⎫-=-= ⎪⎝⎭ ．

此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4

x π

=处连

续，所以可把4

x π

=

直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．

2.3 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式

（1）0sin lim 1x x x →=； （2）1lim 1x

x e x →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

．

例3 求极限sin sin lim

x a x a

x a

→--．

解 cos sin sin

sin sin 222cos 222

x a x a x a x a x a x a x a x a +----+=

=⋅---， 于是有

sin

sin sin 2lim limcos 2

2

x a x a x a x a x a x a x a →→--+=⋅-- sin

2limcos lim 22

x a x a x a x a x a

→→-+=⋅- cos a =．

先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim

1x x

x →=，

必须使函数中出现此类型的式子，如当x a →时

02

x a -→，此时sin

2lim 12

x a x a x a →-=-，再进行求解． 例 4 求极限()10lim 1x

x x α→+（α为给定实数）．

解 ()

()1

1

lim 1lim 1x

x x x x x e α

αααα→→⎡⎤

+=+=⎢⎥⎣⎦

．