第十八届北京市大学生数学竞赛试题

,第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

（2007年10月14日 下午2：30--5：00）

注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题

一、 填空题（每小题2分，共20分）

.

3.______,111,1.11

==-+++-→-m m x x

x m

x m 解则的等价无穷小是时设当 .

)

1()1()1(.

________)1(,)

()2)(1()

()2)(1()(.21

+-='='+++---=-n n f f n x x x n x x x x f n 解

则设 .

)]1

1(1[lim .

_____)]1

1(1[lim ,1)0,1()(.3e n

f n

f y x f y n n n n =++=++-=∞→∞→解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.

1.______lim .41

1-==∑

=∞

→+

e e n

k n

k

n k

n 原式解

π.

4.

_________d )cos 1(sin .

52π2

π2

2-==++⎰

-原式解x x x

x .

0232___.

__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中

),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22=--+=+=+++=+=z y x y x f z y x o y x y x f y x f z 切平面方程为解方程，域内可ρρ.

1旋转转曲面方程.

_____________为轴旋转的旋转曲面方程绕1

1

1101线.7222=-+-=-=-z y x z z y x 解直.

0.

____d )cos(d 1||||.822==+-=++⎰

原式解的正向一周，则为封闭曲线设L

y y x x y x y x x L .

3

22

.

______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223==∂∂

-=--=原式解的方向导数方向处沿

在点则其散度设向量场M M z y x z y x z y x A l

l A k j i A

.

14.

_______,)1(.102222222=++=++=+'+''++=γβαγβαγβα解则

的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y

.

0)0,0()0,0(),(.)0,0(),(),,(||),()10(=-=ϕϕϕ件是点处可微的充分必要条在试证明函数的一个邻域内连续在点其中设二元函数分、二y x f y x y x y x y x f .

)0,0(),(.0)

,(||lim ,

2|||

|||,),(||)0,0()0,0()0,0(),(.0)0,0(,0)0,0(,0)0,0()(.

0)0,0(),0,0()0,(||lim ),0,0()0,(||lim ,

)

0,(||lim )0,0()0,(lim )0,0(.

)0,0(),0,0(,)0,0(),()(2

20

02

2

222222220000点处可微在由定义所以又因为则可知若充分性故有且

由于存在则点处可微在设必要性证y x f y x y x y x y

x y y x x y x y x y x y x y x y x y f x f f y x f f f x

x x x x x x

x x x f x f f f f y x f y x y x y x x x x x x y x =+-≤++

+≤+-+-=+'-'--='='==-===-='''→→→→→→-+

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.)0(2)

1()1(6)(),1,1(,]1,1[)()10(f f f f x f '---='''-∈-ξξ使得

存在实数证明上三次可微在区间设分三、

.)0(2)

1()1(6)()].()([2

1

)(),,()].

()([61

)0(2)1()1(,

!3)

(!2)0()0()0()1(,!3)

(!2)0()0()0()1(21212121f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f '---=''''''+'''='''∈'''+'''+'=--'''-''+'-=-'''+''+

'+=ξξξξξξξξξξξ于是

使得实数由导数的介值性知存在证

.

d ,),(,1),(,),(,),(),(),(,1:),(),,()10(22⎰⎰∙

≡≡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=≤+D

y y x v y x u D y v x v y u x u y x y x u y x v y x y x D y x v y x u σg f

j i g j i f 求的边界上有

且在又上有一阶连续偏导数在闭区域设函数分四、

.

,1:π,d )cos sin sin (d d d d d )()(d ,)

()(22π

20

2正向解=+-=+-=

+=+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=∴

∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

∙∙

y x L y

y x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D D

θθθθσσg f g f