对数函数图象及其性质知识点及例题解析

第1页 共8页 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________． 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1． 又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．

（1）y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x． 解析： 序号 是否 理由 (1) ×

真数是x，不是自变量x

(2) × 对数式后加2

(3) × 真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1

(4) × 底数是自变量x，不是常数

(5) √ 底数是6，真数是x

题型二 底数对图象的影响

【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，43，35，110中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为( )

A．3，43，35，110 B．3，43，110，35 C．43，3，35，110 D．43，3，110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1

的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，43，35，110．答案：A

点技巧 作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解

(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； ⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 第2页 共8页

【例3】求下列函数的定义域． (1)y＝log5(1－x)； (2)y＝log(2x－1)(5x－4)； (3)0.5log(43)yx． 分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，故函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．

(2) 要使函数有意义，则54>0,21>0,211,xxx解得x＞45且x≠1，

故函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是4,15(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,xx解得34＜x≤1， 故函数0.5log(43)yx的定义域是3<14xx． 题型四 对数型函数的值域的求解 方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法． 方法二、对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 方法三、对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域． 注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论． (2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围． 【例4】求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝212log(32)xx＋－．

解：(1)∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2． ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4． 又y＝12logu在(0，＋∞)上为减函数，∴12logu≥－2．

∴函数y＝212log(32)xx＋－的值域为[－2，＋∞)．

【例4－1】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值． 分析：先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值． 解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]． 令t＝log3x(x[1,3])． ∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1． 第3页 共8页

从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数， ∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13． 综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13． 题型五 对数函数的图象变换及定点问题

(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0． 这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键． 对于函数y＝b＋klogaf(x)(k，b均为常数，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点(m，b)．方程f(x)＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数． (2)对数函数的图象变换的问题

①函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------→向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1) ②函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――---------------→向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度函数y＝logax＋b(a＞0，且a≠1) ③函数y＝logax(a＞0，且a≠1)―----------------―→当x>0时，两函数图象相同当x<0时，将x>0时的图象关于y轴对称函数y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)

④函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------------------------------→保留x轴上方的图象同时将x轴下方的图象作关于x轴的对称变换函数y＝|logax|(a＞0，且a≠1) 【例5】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________． 解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c． 又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2．∴loga(3＋b)＝0． ∴b＝－2．答案：－2,2 【例5－1】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y＝log2x的图象，如图①； (第二步)将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象，如图②； (第三步)将函数y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③； (第四步)将函数y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④． 第4页 共8页

题型六 利用对数函数的单调性比较大小 两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．(2)底数不同，真数相同． (3)底数不同，真数也不同．(4)对于多个对数式的大小比较 注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．

【例6】比较下列各组中两个值的大小． (1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141． 分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围． 解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32． (2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32． (3)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ

＞loga3.141； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数， 则有logaπ＜loga3.141． 综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141．

【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较logaab，logbba，logba，logab的大小． 分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．

解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴logaab＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb， 即0＜logba＜1．

由于1＜ba＜b，∴0＜logbba＜1．由logba－logbba＝2logbab，

∵a2＞b＞1，∴2ab＞1．∴2logbab＞0，即logba＞logbba． ∴logab＞logba＞logbba＞logaab．