大学物理第二章

i F外 d t d p
i

t2
t1
F外 d t p2 p1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外 力的冲量.
（三）动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系统 内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。 这就是动量守恒定律。 n 即： Fi 0, mi i =常矢量
dx 1 a x 2 ln c 2 a x 2a a x
1 k g ln T t 2 t 2T T m T
2g
T
e
T
2g
t
1
e t 1 1 e t 设m＝70 kg， T＝54 m· s－1，则k＝0.24 N2· m2· s－1. 可得到如图所示的(t)函数曲线.
则:
F＝k ＝2 000×4＝8×103 (N)
例、飞机以300
ms1的速度飞行，撞到一只质量为2.0kg的鸟，
鸟的长度为0.3m，假定鸟撞上飞机后跟飞机一起运动，试估算它
们相撞的冲力平均值。
解：
以地面为参照系，沿飞机的运动方向建坐标轴，把鸟看做 质点，由动量定理得：
mv2 mv1
而
Ft
结论 (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行 经的路径无关。 (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变 形增大时，弹性力作负功。
保守力
F dr 0
l
一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时， 它们之间的保守力做的功必然是零。 保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
（二）牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的 大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反 比；加速度的方向与合外力F的方向相同 。公式表 示如下：
F ma
分解:
直角坐标系中：
d x Fx max m dt d y Fy ma y m dt
d 自然坐标系中： F ma m dt （对圆周运动）
(1)乒乓球得到的冲量: m=2.5g, 1=10m/s, 2=20m/s I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s
(2) 若t=0.01s
Fx 6.1N Fy 0.7 N F F F 6.14 N
2 x 2 y
例: 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推 挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和 30o，求：(1)乒乓球得到的冲量；(2) 若撞击时间为 0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。 解：取挡板和球为研究对象
y
2
30o n 45o x
作用时间很短，忽略重力影响。
则有： I F dt m 2 m1
设挡板对球的冲力为 F
0
1
取坐标如图示
I y Fydt m 2 sin 30 m1 sin 45 Fy t
I x Fx dt m 2 cos 30 ( m1 cos 45 ) Fx t
m相对于斜面向下的加速度为 a2
1

y a2 x a1
m相对于地的加速度为
a a1 a2
N
(3) 分析受力 m受力如图
mg
(4)列出方程 对m应用牛顿定律列方程： x方向: mgsin ＝m(a2－a1sin) y方向: N－mgcos ＝ma1cos
y a2 x a1
（四）牛顿定律的应用
解题思路: （1）选取对象 （2）分析运动（轨迹、速度、加速度） （3）分析受力（隔离物体、画受力图） （4）列出方程（标明坐标的正方向； 从运动关系上补方程） （5）讨论结果
例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.设滑轮 和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加 速度以及悬挂滑轮的绳中张力. 解：选取对象 a m1、m2及滑轮 m1 分析运动 m2 m1，以加速度a1向上运动 m2，以加速度a2向下运动 T' T
(5)讨论结果 当 ＝ 0时 , N′=N=m(g＋a1). 当＝0时， 无水平滑动，l=0 , t=0
例: 跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速 度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那 样增大.当空气阻力增大到与重力相等时，跳伞员就达 到其下落的最大速度，称为终极速度.一般在跳离飞机 大约10 s，下落300～400 m时，就会达到此速度(约50 m· s－1).设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气阻力为 F＝k2(k为常量)，如图所示.试求跳伞在任一时刻的下 落速度. F 解：设向下为y轴正向 0 跳伞运动员受力如图 由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律知： T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T， 有 讨论: (1) (2)
T / 2T 4m2 m1 g m1 m2
T/ ＜(m1＋m2)g. m1=m2: a1＝a2＝0;
T=2m1 g
例: 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾 角为.当升降机以匀加速度a1竖直上升时，质量为m的 物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图所示.已知斜面 长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底 部所需的时间. a 解: (1)选取对象 以物体m为研究对象. (2) 分析运动
dW F dr
dr
力沿路径 l 的线积分 b b W F dr F cosds
a a

F
a
dr dxi dyj dzk
直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k
W
b a x1 y1
x2 y2 z2 F dr Fx dx Fydy Fz dz
ji
pi
i
fij
f ji
j
对质点系:
d t d pi ( Fi f ij）
i
由牛顿第三定律有: 所以有:
i
fij 0
i ji
i
ji
i
( Fi ) d t d pi
令 则有：
Fi F外 ， pi p
1
分析受力 隔离体受力如图所示. 列出方程 取a1向上为正方向，则有 T1－m1g＝m1a1
a1
T2
a2
m1g
m2g
T1/ T2/
①
以a2向下为正方向，则有 m2g－T2＝m2a2. ② 根据题意有 T1＝T2＝T， a1＝a2＝a. 联立①和②两式得
a m2 m1 g m1 m2
2m2 m1 T g m1 m2
z1
功值的图示法
Fcosθ
dW 0
说明：
a
b
s
(1)功是标量，有正、负之分。
(2)功是过程量，与初末位置及运动路径有关。 2.功率 单位时间内所作的功称为功率
dW dr P F F dt dt
功率的单位：在SI制中为瓦特（w）
3.保守力的功 重力的功 物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐 z 标原点.
mg k 2 m d 0 dt d dt
T
mg k
mg
y
时,终极速度
运动方程写为
2 T 2
m d k dt
d k dt 2 2 T m
因t＝0时，＝0；并设t时，速度为 . 取定积分 则有



0
t k d dt 2 2 0 T m
d z Fz maz m dt
v Fn man m r
2
（三）牛顿第三定律
当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定 同时以力F2作用在物体A上.F1和F2大小相等，方向 相反，且力的作用线在同一直线上.
F1 F2
作用力与反作用力： ①总是成对出现，一一对应的. ②不是一对平衡力. ③是属于同一性质的力.
W mg dr a b (mgk ).(d xi d yj dzk )
b
a
z2 a x z1 y
b
0
mg

z2
z1
mgdz
W mgz2 mgz1
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。 结论 (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经 的路径无关。
T
t
T
1 e


2g
T
2g t
t
T
二、动量 动量守恒定律
（一）质点的动量定理
1.冲量:
力的元冲量 力的冲量
dI Fdt
t I F dt
t0
2.质点动量定理： 若一个质点，所受合外力为 F
d (m ) dp F ma dt dt
=
（ 1）
0.3 s t v = 300
10
-3
将 m 2kg、v2 300 m s 1、v1 0、 t = 10- 3 代入（1）
求得：
F 6 105 ( N )
三、 功 动能 势能 机械能守恒定律 （一）功 功率
1.功：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的 乘积. b
i 1
i
说明: 1. 守恒条件是

i 1
n
Fi 0 而不是

t2
t1
( Fi )dt 0