高考数学中解析几何的学习技巧
解析几何知识点总结大全
解析几何知识点总结大全几何学问点总结大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行 9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高相互重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，假如一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051推论任意多边的外角和等于36052平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)2S=Lh83(1)比例的基本性质假如a:b=c:d,那么ad=bc假如ad=bc,那么a:b=c:d84(2)合比性质假如a/b=c/d,那么(ab)/b=(cd)/d85(3)等比性质假如a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88定理假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相像91相像三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相像(ASA) 92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像(SAS) 94判定定理3三边对应成比例，两三角形相像(SSS)95定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像96性质定理1相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比97性质定理2相像三角形周长的比等于相像比98性质定理3相像三角形面积的比等于相像比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的.点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同始终线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119推论3假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d?r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d?r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上135①两圆外离d?R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r?d?R+r(R?r)④两圆内切d=R-r(R?r)⑤两圆内含d?R-r(R?r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=nR/180145扇形面积公式：S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)解析几何方法总结然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素养。
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
高考数学中的解析几何中的运算法则
高考数学中的解析几何中的运算法则解析几何是数学的一个分支，它涉及了空间中的点、直线和平面等几何图形，并且通过坐标系将这些几何图形与代数方程联系起来。
在高考数学考试中，解析几何是一个非常重要的主题，通常会涉及到一些基本的运算法则。
本文将探讨高考数学中的解析几何中的运算法则。
一、向量的加减法解析几何中，向量通常用箭头表示，箭头代表了向量的大小和方向。
向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
向量的加法和减法可以用尾部对齐的方法进行，即让向量的起点重合，然后将向量的终点连成一个新的向量。
例如，向量a和向量b的加法可以用如下公式表示：a +b = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)其中，a1、a2和a3分别代表了向量a的x、y和z分量，b1、b2和b3分别代表了向量b的x、y和z分量。
向量的减法也可以采用类似的方法，只需要让b变成-b即可。
二、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积，通常用符号“·”表示。
向量的数量积的大小等于两个向量长度的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
向量的数量积也可以用向量的分量表示：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的长度。
另外，如果两个向量垂直，则它们的数量积为0，因为它们之间的夹角是90度，cos90度等于0。
三、向量的叉积向量的叉积是指两个向量的乘积，通常用符号“×”表示。
向量的叉积得到的是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量，并且大小等于原来两个向量的大小之积再乘以它们之间的夹角的正弦值。
向量的叉积也可以用向量的分量表示：a×b = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的叉积可以表示为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示向量a和向量b的叉积的大小。
高中数学解析几何专题：解析几何中的设点技巧
解析几何中的设点法与应用1．两点式方程若),(11y x ，),(22y x 是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：121121x x x x y y y y --=--.为使其更具有一般性，若将其化简为12211221)()(y x y x x y y y x x -=-+-①.①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点),(b a 的直线，则只需证明12211221)()(y x y x a y y b x x -=-+-恒成立即可.这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点),(),,(2211y x B y x A ，则1212x x y y k AB --=是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面通过例子予以说明. 2.如何利用点差法构造轮换式1221y x y x ±例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解析：（1）设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA PA k k -=，所以，由得. ② 由得. ③ 12,1222222121=-=-y x y x 112222=-)1(22211111++=--=y x x y k PA )1(22212222++=--=y x x y k QA )1(22212211++-=--y x x y )422()1(221212121--+-=--+x x x x y y y y )1(22211122++=--y x x y )422()1(212211221--+-=--+x x x x y y y y由②-③，得，从而，即l 的斜率为1-.例2.（2020山东卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．解析：（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.（2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线MN 恒过定点. 又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．三．一般性推广设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221ab k k =，则有000,0x y k x -=≠，1221x x y y -=-12121-=--=x x y y k PQ ),(),,(2211y x B y x A 121212211-=--⋅--=⋅x y x y k k BM AM 212121222222-=-=++⋅--a b x y x y 212212211=++⋅--y x x y 2242212122112---+=-y y x x y x y x 2242221211221---+=-y y x x y x y x ),(31)(3212212112x x y y y x y x ---=-)31,32(-H（2）若2221ab k k ≠，则直线AB 过定点，（3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠，（4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点.证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 在第一象限内有一点),(00y x P ，过点P 作两条倾斜角互补的直线PB PA ,分别交椭圆于另一点B A ,，则有02020,0y a x b k y =≠.解析 设),(),,(2211y x B y x A ，其中.所以依题意得，所以，从而 同理，有 两式相减，得所以，证毕.1222222221*********=+=+=+by a x b y a x b y a x 02022202020101220101,y y x x a b x x y y k y y x x a b x x y y k PB PA ++⋅-=--=++⋅-=--=PB PAk k -=0202220101y y x x a b x x y y ++⋅=--)()(202010212202010212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+)()(201020212201020212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+),()(21022102x x x b y y y a -=-02022121y a x b x x y y k AB =--=。
【高考数学复习 解析几何专题】第9讲 巧用同构-解析版
第9讲 巧用同构 知识与方法1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式.如果实数,a b 满足()()0,,,0,f a a b f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩是方程()0f x =的两个根.在解析几何中,变量,a b 常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦(1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程:(1)设()00,P x y 为圆222x y r +=外一点,则切点弦方程为200x x y y r +=;(2)设()00,P x y 为椭圆22221x y a b +=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b +=;(3)设()00,P x y 为双曲线22221x y a b -=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b -=;(4)设()00,P x y 为抛物线22y px =外一点,则切点弦方程为()00y y p x x =+.典型例题【例1】如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内,A B 两点,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【分析】(1)直线l 过定点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可得点,A B 的横、纵坐标的乘积为定值,考虑将12k k +用,A B 的坐标来表示.(2)是“一点双线”的同构模型,可由切线性质d r =得以斜率k 为主元的同构方程.【解析】(1)设4:(0)5l x ty t =->,代人24y x =,得22166440,Δ16055y ty t -+==->,得t >设点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==.()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>所以12k k +的取值范围是()25,∞+. (2)由(1)知1212165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=.2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =. 【点睛】本题主要涉及直线与抛物线的位置关系,直线与圆相切的性质运用.在解决抛物线上两点连线的斜率时,用点的坐标差构建斜率是重要方法;对于双切线的同构模型,以斜率为同构变量是本题处理的自然方式.【例2】双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点,直线y =为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程;(2)过点()0,4P 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点,交x 轴于点Q (点Q 与双曲线C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==,且1283λλ+=-时,求点Q 的坐标.【分析】【例】的核心条件是12PQ QA QB λλ==,变量12,λλ的“地位”是平等的,于是考虑将其坐标化,寻求变量12,λλ的同构方程.此外,从设线的视角,尝试以直线l 的斜率k 为主变元表示12,λλ及点Q 的坐标.【解析】(1)设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.由题意得22844,ba b a+=-==,所以1,a b ==双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不为零.设直线l 的方程为4y kx =+,则可求点4,0Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点()()1122,,,A x y B x y .因为11144,,4,,PQ QA PQ QA x y k k λ⎛⎫⎛⎫==--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以111144,4.x kk y λλ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩所以1111411,4.x k y λλ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩因为点()11,A x y 在双曲线22:13y C x -=上,所以222116116113k λλ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以()222111616321603k k λλ-++-=. 同理可得()222221616321603k k λλ-++-=. 若2160k -=,则4,k l =±过双曲线的顶点,不合题意, 所以2160k -≠,所以12,λλ是一元二次方程()2221616321603k x x k -++-=的两个根, 因为122328163k λλ+==--,验知Δ0>,所以2k =±. 所以点Q 的坐标是()2,0±.【点睛】“设直联曲”是解决本题的基本方法.从几何形式看,同构形态不明显;从代数视角看,才可以发现以12,λλ为同构变量. 【例3】已知抛物线2y x =和()22:11C x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 的斜率;(2)求ABP 面积的最小值.【分析】对于(1),可设直线PB 的斜率为k ,运用切线性质求出PB 的斜率.对于(2),以坚线段AB 为底,P x 为高,考虑以两切线在y 轴上的截距12,m m 为同构变量,将ABPS表示为()0f x ,进而求最小值.【解析】(1)抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k .则切线PB 的方程为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.点C 到切线PB1=,所以43k =±.因为点()()000,1P x y y ,所以43k =. (2)设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得00y m k x -=(1)圆心到切线的距离21210m km =⇒--=(2)将(1)式代人(2)式得()2000220x m y m x +--=(3)设方程的两个根分别为12,m m . 由韦达定理得001212002,22y xm m m m x x +==-++, 从而12AB m m =-=所以)00112ABPSAB xx ==.记函数()()()22231(2)x x x f x x x +=+,则()()223211180(2)x x x f x x '++=>+,所以ABPS的最小值为23,当01x =时取得等号. 【点睛】本题的关键是以切线截距12,m m 为同构变量,将ABPS 表示为()0f x ,其中双切线是常见的同构模型.【例4】已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上,,P Q 是直线2y x =+ 上的两个不同的点,且线段,AP AQ 的中点,M N 都在抛物线上. (1)求0y 的取值范围;(2)若APQ 的面积等于求0y 的值.【分析】对于(1),设点()(),2,,2P a a Q b b ++,线段,AP AQ 的中点都在抛物线上,得到,a b 的同构方程,继而通过对应方程解得0y 的取值范围.对于(2),将APQ 的面积表示为同构变量,a b 的关系式.【解析】(1)设点()(),2,,2P a a Q b b ++.因为点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则AP 的中点20042,82y a y a M ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,代人24y x =,得()2200042440a y a y y ---++=.同理可得()2200042440b y b y y ---++=.所以,a b 是方程()2200042440x y x y y ---++=的两个根, 所以()()22200000Δ424448320y y y y y =---++=->,解得04y >或00y <.(2)点A 到PQ的距离2d ==,由韦达定理可知,200042,44a b y ab y y +=-=-++,则PQ b =-==所以21122APQSPQ d =⋅=⋅=t =,则38240t t +-=,即()()222120t t t -++=,解得2t =,即20440y y --=,解得02y =±【点睛】已知两条线段的中点在曲线上,是得到同构方程的显性条件,利用所得同构方程的判别式得到变量的限制条件,运用韦达定理构建变量之间的关系.此类方法的运用值得关注.【例5】已知点()2,4P 和抛物线2y x =，动圆()()22:11C x y m m +-=＞ （1）若Q 是圆C 上任意一点,且4PQ 恒成立,求实数m 的取值范围;(2)如图,过点P 作圆C 的切线分别交抛物线于点,A B ,若直线AB 恰与圆C 相切,求实数m 的值.【分析】(1)PQ 的最值当且仅当,,P Q C 三点共线时取到.(2)由于直线AB 恰与圆C 相切,于是考虑以双切线的斜率表示点,A B 的坐标,进而得到直线AB 的方程;也可考虑设点()()22,,,A a a B b b 表示直线方程. 【解析】(1)由题意知,min ||114PQ PC =+=,得4545m -+.又1m >,故m的取值范围是4⎡⎣.(2)方法1设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,直线PA 的方程为()142y k x -=-,即11240k x y k --+=.直线PB 的方程为()242y k x -=-.由直线PA 与圆22:()1C x y m +-=相切,1=,整理得()22113448150k m k m m +-+-+=.同理可得()22223448150k m k m m +-+-+=.所以12,k k 是方程()223448150k m k m m +-+-+=的两个不同的根， 则()()2121244815,.*33m m m k k k k --++=-=又由点差法知,12,2PA P A A A k x x x x k =+=++=,即12A x k =-, 所以点()()2112,2A k k --. 同理可得点()()2222,2B k k --.直线AB 的方程为()A B A B y x x x x x =+⋅-,即()()()1212422y k k x k k =+----,即()()121212424y k k x k k k k =+--++-.将()*代人上式,整理得()241350m x y m ---+=. 由直线AB 与圆C 相切,1=,化简得3261720m mm +-+=,即()()22810m m m -+-=,解得2m =或4m =-±因为1m >,所以2m =.方法2设点()()22,,,A a a B b b ,则2422APa k a a -==+-.所以()()2:2AP y a a x a -=+-,即()220a x y a +--=. 因为圆C 与AP 相切,所以1d ==,整理得()2234450a m a m +-+-=.同理可得()2234450b m b m +-+-=.所以,a b 为方程()2234450x m x m +-+-=的两个根,则()2445,.*33m m a b ab --+== 从而()()222,:ABa b k a b AB y a a b x a a b-==+-=+--,即()y a b x ab =+-. 将()*代人上式,得2445:33m m AB y x --=+,即()244350m x y m --+-=. 又因为圆C 与AB 相切,所以1d ==,化简得3261720m m m +-+=,即()()22810m m m -+-=, 解得2m =或4m =-因为1m >,所以2m =.【点睛】运用设点法,得到关于,a b 的同构方程,能有效减少运算量.在抛物线中,运用点差法构建直线的斜率,进而表示直线方程,是解决抛物线问题的巧妙方法.【例6】如图，已知抛物线21C x y =：，P 是圆222y 21C x ++=：（）上任意一点，过点P 作两直线12,l l ,分别交抛物线1C 于点,,,A C B D ,使得13AB CD =.(1)当M 为CD 的中点时,证明://PM y 轴; (2)求PCD 面积的取值范围.【分析】(1)11//,33PA PB AB CD AB CD PC PD =⇔==,可建立(0P x ,)()()01122,,,,y C x y D x y 三点之间的坐标关系.(2)结合(1),运用PM “铅垂高”与“水平宽”乘积的一半表示PCD 面积. 【解析】(1)证明:设点()()()001122,,,,,P x y C x y D x y .由13AB CD =可得13PA PB PC PD ==,则点010*********,,,3333x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则211222101000101,232022,33x y x x x y x x x y y ⎧=⎪⇒-+-=⎨++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩. 同理有22202002320x x x y x -+-=. 则12,x x 是方程220002320x x x y x -+-=的两个根, 则1202x x x +=,即1202x x x +=. 即有//PM y 轴.(2)由(1)得212012002,32x x x x x y x +==-.222121200004422y y x x PM y y x y ++=-=-=-.则12x x -==.[]3322221200000153,3,12PCDSPM x x x y y y y =⋅-=-=++∈--.则PCD S ⎡∈⎢⎣⎦.【点睛】本题的难点在于条件13AB CD =的转译,既从几何角度得到13PA PB PC PD ==,也从坐标化角度寻找同构变量;PCD 的面积采用水平分割转化“底”与“高”,可大大减少计算量.【例7】如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，抛物线在,A B 两点处的切线相交于点M . (1)求证:点M 在抛物线的准线上;(2)过抛物线上的点C 作拋物线的切线,分别交直线,AM BM 于点P ,Q ,求FPQ 面积的最小值.【分析】(1)弦AB 过点F ,可得4,1A B A B x x y y =-=,于是利用(1A x ,)()122,,y B x y 两点求出切线方程,解出交点M 的坐标.(2)将FPQ 面积表示为关于12,x x 的函数,12124,1x x y y =-=,求面积的最小值. 【解析】(1)方法1设点()()1122,,,A x y B x y ,则由2xy '=可知直线AM 的方程:21124x x y x =-.同理可得BM 的方程:22224x x y x =-.联立直线AM 与BM 的方程,解得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又2121214AB y y x x k x x -+==-，所以直线1212:44x x x x AB y x +=-过点()0,1F ,可知1214x x=-, 因此点M 在抛物线的准线上.方法2设点()11,A x y ,直线AM 的方程:()2114x y k x x -=-.()222112114,44044,x y x kx kx x y x k x x ⎧=⎪⇒-+-=⎨-=-⎪⎩, 所以()()222111Δ1644020k kx x k x =--=⇒-=,解得12x k =. 代人直线AM 的方程可得21124x x y x =-.设点()22,B x y ,同理可得直线BM 的方程:22224x x y x =-.可得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又设直线AB 的方程:221,1.4404,y k x y k x x k x x y =+⎧=+⇒--=⎨='''⎩. 因为12,x x 是上述方程的两个根,所以124x x =-, 可知1214x x =-,即点12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因此点M 在抛物线的准线上.(2)设点()33,C x y ,则直线PQ 的方程:23324x x y x =-,则点F 到直线PQ的距离231x d +==,同(1)中的解法可得点13132323,,,2424x x x x x x x x P Q ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以PQ ==, 所以212123112444FPQx x x x x Sd PQ --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,当1232,2,0x x x =-==时取得等号.【点睛】本题的基本结构是“一点两线”所围成的阿基米德三角形,常用方法是选择两个切点坐标或切线斜率作为同构变量,从而将面积表示为坐标或斜率的函数关系,其关键是紧扣,A B 的坐标关系.【例8】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在抛物线C 上. （1）设AB 的中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB 面积的取值范围.【分析】(1)先设点()21002,,,4y P x y A y ⎛⎫⎪⎝⎭,将,PA PB 的中点代入抛物线的方程,得到12,x x 的同构方程,探寻M P y y =.(2)由(1)知,将PAB 面积以PM 为水平线进行分割,即将面积表示为()02112M S x x y y =-⋅-,进而以0x 限制PAB 面积的取值范围.【解析】（1）设点()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AP 的中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 由AP 的中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=.显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=. 所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两个不等实根, 所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴. (2)()()()120121122PABM P M M M Sx x y y y y x x y y =--+-=--, 由(1)可得212012002,8y y y y y x y +==-,()()()()2220000012Δ248840y x y y x y y =--=->≠,此时点()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,所以()()()222000000Δ848414321y x x x x x ⎡⎤=-=--=--⎣⎦, 因为010x -<,所以Δ0>,所以12y y a-===,()()()()22222000121212000220042828886443318M P y x y y y y y y y x x x x x xxx x --+-+-=-=-=--=-=--所以()2301200112PABM Sx x y y x x =--=--=,因为t ⎡=⎢⎣⎦,所以3S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB 面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题从代数的视角,利用割线段的中点在拋物线上,得到以12,y y 为变量的同构方程.这是同构问题的常用处理方式;通过同构方程建立多点之间的坐标关系,在面积函数的整体消元中起到关键作用,因此,同构法是本题的破题核心.。
高考专题：解析几何常规题型及方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。
选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓根底。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
高考数学一轮总复习解析几何中的空间几何体与球面方程
高考数学一轮总复习解析几何中的空间几何体与球面方程解析几何是高考数学中的重要考点之一，其中空间几何体与球面方程是解析几何中的重要内容。
本文将对空间几何体与球面方程进行详细的解析和总结。
一、空间几何体空间几何体是三维空间中的具体物体，常见的包括点、直线、平面和曲面等。
下面将对这些几何体进行逐一介绍。
1. 点点是空间几何的基本单位，没有形状和大小。
在坐标系中，点可以通过坐标表示，例如点A的坐标为(Ax, Ay, Az)。
2. 直线直线是由无数个点连成的，具有无穷延伸的特点。
空间中一条直线可以通过一点和一个方向向量唯一确定。
直线的参数方程可以表示为：x = x0 + at,y = y0 + bt,z = z0 + ct,其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，a、b、c为方向向量的分量。
3. 平面平面是由无限多个点构成的，具有无限延伸的特点。
在坐标系中，平面可以通过一点和两个相互垂直的方向向量唯一确定。
平面的参数方程可以表示为：x = x0 + au + bv,y = y0 + cu + dv,z = z0 + eu + fv,其中(x0, y0, z0)为平面上的一点，a、b、c为方向向量1的分量，d、e、f为方向向量2的分量。
4. 曲面曲面是由无数个点连成的，形状各异。
常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等，它们可以通过方程来表示。
二、球面方程球面是解析几何中的重要几何体，在数学考试中常常会涉及到与球面相关的问题。
球面方程的一般形式可以表示为：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²,其中(a, b, c)为球心的坐标，R为半径。
通过球面方程，可以求解与球面相关的问题，如判断点与球的位置关系、求解球面上的点、求解球与平面的交点等。
三、空间几何体与球面方程的综合应用在实际问题中，空间几何体与球面方程经常被应用于求解几何问题。
下面以一个例题来说明其应用。
高考数学解析几何知识点归纳
高考数学解析几何知识点归纳解析几何是高考数学中的一个重要板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，具有较强的综合性和逻辑性。
以下是对高考数学中解析几何知识点的详细归纳。
一、直线1、直线的倾斜角与斜率倾斜角：直线与 x 轴正方向所成的角，范围是0, π)。
斜率：当倾斜角不是 90°时，斜率 k ＝tanα（α 为倾斜角）。
过两点 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)的直线斜率 k ＝（y₂ y₁) ／（x₂ x₁)（x₁≠ x₂）。
2、直线的方程点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，适用于已知斜率和一点的情况。
斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 为斜率，b 为截距。
两点式：（y y₁) ／（y₂ y₁) ＝（x x₁) ／（x₂ x₁)，适用于已知两点的情况。
截距式：x ／ a ＋ y ／ b ＝ 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴上的截距（a ≠ 0，b ≠ 0）。
一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）。
3、两直线的位置关系平行：斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂（斜截式）；A₁B₂ A₂B₁＝ 0 且 A₁C₂ A₂C₁ ≠ 0 （一般式）。
垂直：斜率之积为－1，即 k₁k₂＝－1 （斜率都存在）；A₁A₂＋ B₁B₂＝ 0 （一般式）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，圆心为（a, b)，半径为 r。
一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心为（D/2, E/2)，半径为 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 2 。
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高考数学中解析几何的学习技巧随着高考的日益临近，在高中数学的学习中，解析几何是一个
非常重要的科目。
学好解析几何的内容，不仅可以提高数学成绩，还有利于培养逻辑思维和分析问题的能力。
下面，就让我们一起
探讨下高考数学中解析几何的学习技巧。
一、理清方向，注重透彻理解
学好解析几何，首先需要明确的是向量和直线的概念。
初学者
经常容易混淆向量的起点和终点，以及直线与线段的关系。
因此，我们应该先学习基本知识，理清代数坐标系的基本概念和性质，
并在实践中多多思考实例，尤其是一些典型的例子。
在掌握基本概念后，我们可以进一步深入探究立体几何和解析
几何的联系。
在解析几何中，我们可以通过向量空间，确定平面
和直线的位置关系，解决一些复杂几何推理的问题。
但是，这需
要我们注重透彻理解每一个概念和公式，严谨的推导才能让我们
获得深入的认识。
二、强化习题，培养解题技巧
解析几何的学习中，习题是非常重要的。
习题的积累可以帮助我们掌握各种题型和技巧，提高我们的应用能力。
我们可以学习一些典型的题目，并分析它们的解题方法、技巧和思路。
在掌握方法的基础上，我们可以逐步深入探究。
此外，在解析几何中，数学的知识和技巧非常重要。
我们还需要培养解题技巧，比如巧妙的数学变换和化简，判断和选择合适的公式和知识点等。
在解题的过程中，我们可以寻找和善用各种线索，充分展示自己的数学才能。
三、加强交流，开拓视野
在学习解析几何的过程中，我们还可以通过加强交流，开拓视野。
与同学、老师、家长等交流，可以使我们更加深入地了解语言，系统认识相关概念和知识，分享我们的学习技巧和心得，寻找属于自己的学习方法。
此外，我们还可以通过网络端口、学习社区、读书等方式开拓视野，从各种角度了解解析几何知识，并积极学习各类新技术、新知识，不断丰富我们的专业知识和人文素质。
总之，在高考数学中，解析几何是重要考点之一，非常需要我们严格学习和掌握。
通过理清方向，强化习题，加强交流，我们可以更好地掌握解析几何的知识和技巧，提高我们的数学成绩，为今后的学习和生活打下更牢固的基础。