同余式的简单介绍

关于a x≡b(modm)的解法

1．当（a,m）≡1时：

(1)若a,b

解。

eg:121x≡87(m0d257) 因为(121,257)=1,所以有一个解，x=194(mod257)

(2)若a,b

eg: 7x≡5(mod10) 因为（7,10）所以有一个解。

（3）若（a,b ）=1,且a,b中至少有一个大于m，利用同余知识，将a,b化小

再用（1）（2）式去解

（4）若（a,b），

≠约去两端的公因数；再用（1）（2）（3）式去解。

1

Eg:58x≡87(mod47)

2当（a,m）=d>1时:用d去除同于式，再用（a,m）=1去解

<1>同余取倍法：（期刊-核心期刊和田师专科学校学报）

JOURNAL OF HOTAN TEA CHERS COLLEGE 2009年第03期

<2>一次同余式的初等变换解法：（山西大学学报：自然科学版）——袁虎延

<3>一次同余式的逐级满足法

<4>观察法解一次同余式

<5>Euler定理解一次同余式

<6>把同余式化为不定方程的解法

<7>减少模数的方法解一次同余式

<8>欧几里得法解一次同余式

<9>分式法解一次同余式

<10>威尔逊定理算法解一次同余式

<下面仔细介绍>

代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008年19期》摘要一次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m ）=1时，同余式ax ≡b(modm)有以下七种解法

（一）（1）观察法：在模m 的完全剩余系0,1，、、、，m-1中考虑同余式的解

1.，当m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解

eg 2x ≡1(mod3) 因为（2,3）=1所以有一个解，x ≡2(mod3)为其解

2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模m 的系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。

（二）Euler 定理;设m 是大于1的整数，（a,,m ）=1，则a 1

≡）（m ψ（modm ）由Euler 定理，有a 1≡）（m ψ（modm ）,而a x ≡b(m0dm)可得a ）（m ψx ≡ba 1-））（（m ϕ（modm ）

x ≡ba 1-））（（m ϕ(modm)为所求的解。

eg:8x ≡9(mod11)

解;ϕ(11)=10,810x≡89．9≡(-2)(-3)9≡6.94≡6.(-2)4≡6.

24≡6.5≡8（mod11）缺点：当m较大时，求ϕ（m）便涉及

到m的标准分解，较复杂，不宜进行计算机编程计算，所以此

种方法更适合m较小时或者ϕ（m）较易求解时，

（三）化为不定方程的解法：

ax≡b(modm)有解⇔∃整数，x,y,使得ax-b=my即不定方程ax-b=my 有解。

Eg;8x≡9(mod11)

解；原方程对应的不定方程为：8x-11y=9,其通解为（∀t∈N）

X=5+8t ∴x≡8(mod11)

优点：这种方法对模m的要求低，而且易于利用计算机编程来求解。四：减少模数的方法

对于ax+b≡0（modm）①

0

此时，a

⇒cy≡d(moda),不断将模变小，此时，若②有解y0,

则x

0≡my

-b/a为①的解，而②中模数显然ϕ（m）小，经过n次转

换一般可以用观察法求解，再递推出原方程的解。Eg:求325x≡20(mod161)

解：原同余式即是 3x≡20(mod161)

解同余式161y≡-20（mod3） 2y≡1（mod3）

⇒y≡2(mod3

原同余式的解是：x≡20+2*161≡114(mod161)

优点：这种方法在于将大模化为小摸，从而减小计算量，所以此方法适合模数较大时。

五，欧几里德

（a,m）=1时，可借用辗转相除法求整数的最大公因式地方法，结合同余式的性质，可转化为一个形如x≡r(modm),的解方程达到求解的目的，即当m>a时，利用恒等变形将a变小，直至x的系数变为1,。Eg:103x≡57(mod211)

解：（103,211）=1 原同余式有唯一解，而211=2*103+5

于是2*103x≡114（mod211）①且211x≡0（mod211）②

由x≡0(mod211)

②-①:5x≡-114≡97(mod211)③

又 211=42*5+1 而425x≡42*97=65（mod211）④

由②-④：x≡-65≡46(mod211)

六：分式法

先把 ax≡b(modm)写成x≡b/a(modm)的形式

注意：①b/a只是一种形式符号

②对b/a的分子，分母乘以不为零的整数or约去一个与模m 互素的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。

然后同与m互素的数陆续的乘右端的分子与分母，目的在于把分母的绝对值变小，直到变为。

Eg: 37x≡25（mod107）

解：（37,107）=1 ∴方程有唯一解为x≡25/37≡25*3/37*3≡75/111 ≡(75-107)/(111-107)≡-32/4≡-8≡99(mod107)

[优点]这种方法给出了一些用同余式的一种形式解，较直观，但这种方法只适用于模m不太大，三位或三位内的时候较方便。

<七>威尔逊定理算法【（p-1）!+1≡0(modp)】ax≡b(modp),(a,p)=1,0

【优缺】但此时要求模为素数且模不能太大，否则计算会较麻烦。eg:8x≡9(mod11) p=11素数（8,11）=1 0<8<9 x≡-(11-1)!/8*9≡-10!9/8（mod11）

参考文献

<1>李复中，初等数论选讲[M]，长春，东北师范大学出版社1984.12 93-112

<2>华罗庚，数论导引[M],北京：科学出版社，1979：32-39

<4>柯召，孙琦。数论讲义[M]北京：高等教育出版社，1986,4:175-122

<5>熊全淹，初等整数论[M]武汉：湖北人民出版社1982，6:88-138

第26卷第4期

2007年12月

参考．

《新疆师范大学学报》(自然科学版)