中考数学旋转综合练习题及详细答案
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一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(1)如图①,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分∠ABD.
①求证:四边形BFDE是菱形;
②直接写出∠EBF的度数;
(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图②,点G、I分别在BF、BE边上,且BG=BI,连接GD,H为GD的中点,连接FH并延长,交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系,并说明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图③,当矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE、EF、DF,使△DEF是等腰直角三角形,DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.
【答案】(1)①详见解析;②60°.(2)IH=3FH;(3)EG2=AG2+CE2.
【解析】
【分析】
(1)①由△DOE≌△BOF,推出EO=OF,∵OB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形,再证明EB=ED即可.
②先证明∠ABD=2∠ADB,推出∠ADB=30°,延长即可解决问题.
(2)IH=3FH.只要证明△IJF是等边三角形即可.
(3)结论:EG2=AG2+CE2.如图3中,将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM,先证明△DEG≌△DEM,再证明△ECM是直角三角形即可解决问题.
【详解】
(1)①证明:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,OB=OD,
∴∠EDO=∠FBO,
在△DOE和△BOF中,
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
=== , ∴△DOE ≌△BOF ,
∴EO =OF ,∵OB =OD ,
∴四边形EBFD 是平行四边形,
∵EF ⊥BD ,OB =OD ,
∴EB =ED ,
∴四边形EBFD 是菱形.
②∵BE 平分∠ABD ,
∴∠ABE =∠EBD ,
∵EB =ED ,
∴∠EBD =∠EDB ,
∴∠ABD =2∠ADB ,
∵∠ABD +∠ADB =90°,
∴∠ADB =30°,∠ABD =60°,
∴∠ABE =∠EBO =∠OBF =30°,
∴∠EBF =60°.
(2)结论:IH
=3FH .
理由:如图2中,延长BE 到M ,使得EM =EJ ,连接MJ .
∵四边形EBFD 是菱形,∠B =60°,
∴EB =BF =ED ,DE ∥BF ,
∴∠JDH =∠FGH ,
在△DHJ 和△GHF 中,
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
=== , ∴△DHJ ≌△GHF ,
∴DJ =FG ,JH =HF ,
∴EJ =BG =EM =BI ,
∴BE =IM =BF ,
∵∠MEJ =∠B =60°,
∴△MEJ 是等边三角形,
∴MJ =EM =NI ,∠M =∠B =60°
在△BIF 和△MJI 中,
BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===,
∴△BIF ≌△MJI ,
∴IJ =IF ,∠BFI =∠MIJ ,∵HJ =HF ,
∴IH ⊥JF ,
∵∠BFI +∠BIF =120°,
∴∠MIJ +∠BIF =120°,
∴∠JIF =60°,
∴△JIF 是等边三角形,
在Rt △IHF 中,∵∠IHF =90°,∠IFH =60°,
∴∠FIH =30°,
∴IH
=3FH .
(3)结论:EG 2=AG 2+CE 2.
理由:如图3中,将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ,
∵∠FAD +∠DEF =90°,
∴AFED 四点共圆,
∴∠EDF =∠DAE =45°,∠ADC =90°,
∴∠ADF +∠EDC =45°,
∵∠ADF =∠CDM ,
∴∠CDM +∠CDE =45°=∠EDG ,
在△DEM 和△DEG 中,
DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
=== , ∴△DEG ≌△DEM ,
∴GE =EM ,
∵∠DCM =∠DAG =∠ACD =45°,AG =CM ,
∴∠ECM =90°
∴EC 2+CM 2=EM 2,
∵EG =EM ,AG =CM ,
∴GE 2=AG 2+CE 2.
【点睛】
考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转化的思想思考问题.
2.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.
(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______;
(2)如图2,若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.
【答案】(1)相等,垂直.(2)成立,证明见解析;(3)成立,结论是FH=FG,
FH⊥FG.
【解析】
试题分析:(1)证AD=BE,根据三角形的中位线推出FH=1
2
AD,FH∥AD,FG=
1
2
BE,
FG∥BE,即可推出答案;
(2)证△ACD≌△BCE,推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案;(3)连接BE、AD,根据全等推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案.试题解析:
(1)解:∵CE=CD,AC=BC,∠ECA=∠DCB=90°,
∴BE=AD,
∵F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点,
∴FH=1
2AD,FH∥AD,FG=
1
2
BE,FG∥BE,
∴FH=FG,
∵AD⊥BE,
∴FH⊥FG,
故答案为相等,垂直.(2)答:成立,