微分方程例题

①
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: 代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
例2.
解: 将方程化为
(欧拉方程)
则方程化为
即 特征根: 设特解:
②
代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
例. 已知齐次方程
求
解: 将所给方程化为:
的通解为 的通解.
利用⑤,⑥建立方程组:
积分得 故所求通解为
例.
解: 对应齐次方程为
的通解. 由观察可知它有特解:
令
代入非齐次方程后化简得
(二阶常系数非齐次方程)
⑦
此题不需再作变换. 特征根:
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解:
故原方程通解为
例1.
例. 设线性无关函数 性方程
常数, 则该方程的通解是 ( ).
都是二阶非齐次线
的解, 是任意
(89 考研 )
提示: 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
例.
个解
已知微分方程
的特解 .
有三 求此方程满足初始条件 是对应齐次方程的解, 且 常数
解:
因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为
解: 本题 设所求特解为 而特征方程为 不是特征方程的根 .
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2. Fra Baidu bibliotek解定解问题
解: 本题 特征方程为 其根为
故对应齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 原方程通解为 代入方程得 故
由初始条件得
解得
于是所求解为
例4 解: 本题
特征方程
的一个特解 .
例. 解初值问题
解: 令 代入方程得
积分得
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
例.
解: 特征方程 因此原方程通解为 例. 解: 特征方程: 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解
的通解. 特征根:
特征根 :
例.
解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 :
备用题
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为
例. 求下述微分方程的通解:
解: 令 则
故有 即 解得 所求通解: ( C 为任意常数 )
例:
解法 1 分离变量 即 (C<0 )
解法 2
故有 积分
所求通解:
( C 为任意常数 )
例. 解微分方程
解: 则有
分离变量
积分得 即
代回原变量得通解
(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但 在 求解过程中丢失了 .
即
故原方程的通解为
或
思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘
就化成上例 的方程 .
备用题 解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得 将 代入 , 得通解
此外, y = 0 也是方程的解.
不是特征方程的根, 故设特解为 代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5. 解: 特征方程为
对应齐次方程的通解为 其根为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
有根
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
时可设特解为
提示:
2. 已知二阶常微分方程
求微分方程的通解 .
有特解
解: 将特解代入方程得恒等式
比较系数得
故原方程为
对应齐次方程通解: 原方程通解为
例1. 解:
则原方程化为
亦即 特征方程 其根
解法3 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
此外, y = 0 也是方程的解.
例.
解:
例. 求解 解:
分离变量
代入方程得
积分得
利用 于是有
两端再积分得 利用
因此所求特解为
对于
型方程(n≥2)，可以令
得 如果能求出其通解 逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解
其中C1,C2...,Cn为任意常数.
例. 求方程 解: 注意 x, y 同号, 变形为 由一阶线性方程通解公式 , 得
这是以
的通解 . 故方程可
为因变量, y为
自变量的一阶线性方程
所求通解为
思考与练习
判别下列方程类型: 提示:
可分离 变量 方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方 程
例. 求解
解: ∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为