2.3 垂径定理
【最新湘教版精选】湘教初中数学九下《2.3 垂径定理 》word教案.doc
2.在学生回答基础上.
3.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.
3.学生讨论写出已知、求证,并说明.
学生回答:
【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O),CD为⊙O的直径,AB交CD于点M,MA=MB.
示证:CD⊥AB, .
证明:在△OAB中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径,∴ .
4.同学讨论回答,如果条件中,AB为任意一条弦,上面的结论还成立吗?
学生回答或展示：
【教学说明】
（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.
（2）AM=BM， .
二、思考探究，获取新知
探究1垂径定理及其推论的证明.
1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程.
已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为点M.
学生回答:
【教学说明】当AB为⊙O的直径时,直径CD与直径AB一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直.
探究2垂径定理在计算方面的应用.
例1讲教材P59例1
例2已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD，AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离.
解:(1)当AB、CD在O点同侧时,如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm,OM= =12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm,ON= =5cm.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.
九年级数学湘教版下册课件：2.3 垂径定理(共24张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
湘教版九年级数学下册2.3 垂径定理(优秀教学设计)
*2.3垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB ＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP 于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB ＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP 最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
初中数学＊2.3 垂径定理
*2.3垂径定理知识点垂径定理1.如图2-3-1,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC的长为()A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm图2-3-1图2-3-22.如图2-3-2,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DE⏜=BC⏜C.OE=BED.BD3.如图2-3-3,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为()A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm图2-3-3图2-3-44.绍兴是著名的桥乡,如图2-3-4所示,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB为()A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m5.[2019·眉山]如图2-3-5,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD 的长为()A.6√2B.3√2C.6D.12图2-3-5图2-3-66.如图2-3-6,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,则排水管内水的深度为m.7.[2019·凉山州]如图2-3-7,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30°,CD=2√3,则☉O 的半径是.图2-3-7图2-3-88.[2017·衡阳模拟]如图2-3-8,☉O的半径为5,P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=8,∠P=30°,则弦AB的长为.9.如图2-3-9,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D,求证:AC=BD.图2-3-910.[教材习题2.3A组第2题变式]如图2-3-10,AB是☉O的弦,C,D是直线AB上两点,并且OC=OD.求证:AC=BD.图2-3-10\`11.如图2-3-11所示,☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AM=BM,OM∶OC=3∶5,则AB的长为()A.8 cmB.√91cmC.6 cmD.2 cm图2-3-11图2-3-1212.如图2-3-12,将半径为2 cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()A.2 cmB.√3cmC.2√3cmD.2√5cm13.已知AB,CD是☉O的两条平行弦,☉O的半径为10,AB=12,CD=16,则AB,CD之间的距离为.14.如图2-3-13,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为√13,则点P的坐标为.图2-3-1315.如图2-3-14,☉O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD的长.图2-3-1416.如图2-3-15,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.(1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.图2-3-1517.如图2-3-16,有一座拱桥是圆弧形,O是它的圆心,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?图2-3-16教师详解详析1.B2.C3.C[解析] 如图,在Rt△OCB中,OC=5 cm,OB=13 cm,根据勾股定理,得BC=√OB2-OC2=√132-52=12(cm).∵OC⊥AB,∴AB=2BC=24 cm.4.D[解析] 连接OA,则OA=OC=5 m,OD=CD-OC=8-5=3(m).在Rt△OAD 中,AD=√OA2-OD2=√52-32=4(m).∵OD⊥AB,由垂径定理可得AB=2AD=8 m.故选D.5.A[解析] ∵∠A=22.5°,∴∠COE=45°.∵☉O的直径AB垂直于弦CD,OC=6,∴∠CEO=90°.∵∠COE=45°,∴CE=OE=√2OC=3√2,∴CD=2CE=6√2.故选A.26.0.8[解析] 如图,过圆心O作OC⊥AB,C为垂足,交☉O于点D,E,连接OA.根据垂径定理得到AC=BC=0.4 m.在Rt△AOC中,OA=0.5 m,∴OC=0.3,则CE=0.3+0.5=0.8(m).7.2[解析] 如图,连接OC,则OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°,∴∠COH=60°.∵OB⊥CD,CD=2√3,∴CH=√3,∴OC=2.8.6[解析] 过点O作OC⊥AB于点C,连接OA,如图,则AC=BC.∵OP=8,∠P=30°,∴OC=4.在Rt△OAC中,OA=5,OC=4,∴AC=√OA2-OC2=3,∴AB=2AC=6.9.证明:过圆心O作OE⊥AB于点E,在大圆O中,OE⊥AB,∴AE=BE.在小圆O中,OE⊥CD,∴CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.10.证明:如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE.∵OC=OD,OE⊥AB,∴CE=DE.∴CE-AE=DE-BE,即AC=BD.11.A[解析] 如图所示,连接OA.∵☉O的直径CD=10 cm,∴☉O的半径为5 cm,即OA=OC=5 cm.∵OM∶OC=3∶5,∴OM=3 cm.∵AM=BM,∴AB⊥CD.在Rt△AOM中,AM=√52-32=4(cm),∴AB=2AM=2×4=8(cm).故选A.12.C [解析] 如图,过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ,则AD=12AB.连接OA.由折叠性质可得OD=12×2=1(cm).在Rt △AOD 中,OA=2 cm,OD=1 cm,∴AD=√3 cm,∴AB=2√3 cm .13.14或2 [解析] 如图,过点O 作OE ⊥AB 于点E ,交CD 于点F ,连接OA ,OC.∵AB ∥CD ,∴OF ⊥CD , ∴AE=12AB=6,CF=12CD=8. ∵OA=OC=10,∴OE=8,OF=6.当点O 在AB 和CD 之间时,EF=OE+OF=8+6=14, 当点O 不在AB 和CD 之间时,EF=OE -OF=8-6=2,∴AB ,CD 之间的距离为14或2.14.(3,2) [解析] 如图,过点P 作PB ⊥OA 于点B ,连接PO.∵点A 的坐标为(6,0),∴OB=3,在Rt △POB 中,PO=√13,OB=3,∴由勾股定理求得PB=2,∴点P 的坐标是(3,2).15.解:过点O 作OF ⊥CD ,交CD 于点F ,连接OD ,则F 为CD 的中点,即CF=DF .∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA -AE=4-2=2.在Rt △OEF 中,∵∠OEF=30°,∴OF=12OE=1.在Rt △ODF 中,OF=1,OD=4,根据勾股定理,得DF=√OD 2-OF 2=√15, 则CD=2DF=2√15.16.解:(1)∵AB 是☉O 的直径,弦CD ⊥AB , CD=16,∴DE=12CD=8.∵BE=4,∴OE=OB -BE=OD -4.在Rt △OED 中,OE 2+DE 2=OD 2,即(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10,∴☉O的直径是20.(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°,∴∠EOD+∠D=90°.∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,∴∠EOD+∠D=2∠M+∠D=3∠D=90°,∴∠D=30°.17.解:(1)如图,连接OA.AB=30,OD=r-18.由题意,得AD=12在Rt△ADO中,由勾股定理,得r2=302+(r-18)2,解得r=34(米).(2)如图,连接OA'.∵OE=OP-PE=30,∴在Rt△A'EO中,由勾股定理,得A'E2=A'O2-OE2=342-302,解得A'E=16.∴A'B'=32>30.∴不需要采取紧急措施.。
湘教版九年级数学下册课件：2.3 垂径定理
勾股定理，得
.O
┐
A
EB
x2=42+(x-2)2，
D
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
∴ CD=2r=10cm
例题讲解
例2 证明：圆的两条平行弦所夹弧相等．
已知：如图,圆o 中，弦AB与弦CD 平行．
E
求证： AC BD.
C
D
证明:
作直径EF 垂直于弦AB， 由于AB∥CD，因此 EF⊥CD． 由于EF⊥AB，因此，AE BE
基本图形及 构造Rt△利用勾股定理 变 式 图 形 计算或建立方程.
A
E
B
弧：
D
新知探究
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D。
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂
直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三
角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，
当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，
AEB
∴ AE OA 2 OE 2
O·
10 2 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
随堂演练
3．如图14－1，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于
点C，则OC的长为( B )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
图14－1
随堂演练
42、．如图 14－2，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正
O·
A
B
F
由于 EF⊥CD 因此 CE DE.
从而 AE CE BE DE.
湘教版2.3-垂径定理(精编版lp)
O
O
A C D B
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 这条弦所对的两条弧.
结 论 注意:注意垂径定理中的“径”可以是直
径，也可以是半径，甚至是过圆心的直 线或线段.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。 C 几何语言表示：
.
A
O
B
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=BE ⌒ ⌒ ∴ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
3 O
A
8 D 12
B
(4)题
O
结 论
1.垂径定理经常和勾股定理 结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径；
A
C . O B
E D
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助 线， 为应用垂径定理创造条件。
探 究
如图AB是⊙O的任一条弦，CD是⊙O的 直径，且CD平分AB，交AB于点E.试问下列 结论成立吗？ C (1)AE=BE Ｏ A
结论
平行弦定理
几何语言表示：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
C
.
D O B
∵AB,CD是⊙O的弦，
AB∥CD.
A
⌒ ⌒ ∴AC=BD.
练习 1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， AC=8cm，AB=10cm,OD⊥BC于点D，求BD的长.
C
A
O .
D B
2.赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗(精确到0.1m)？ 37.4
· E
D
(2)CD⊥AB
湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计
湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是湘教版数学九年级下册第2.3节的内容。
本节课主要介绍垂径定理及其应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的重要基础。
教材通过生活中的实例引入垂径定理，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析初三学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具有一定的观察、分析和解决问题的能力。
但部分学生在学习过程中对概念的理解不够深入，解决问题的能力有待提高。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要通过本节课的学习加以锻炼。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，掌握垂径定理的应用。
2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.提高学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：如何将实际问题转化为垂径定理问题，灵活运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、分析、解决问题。
2.运用实例讲解，让学生体会数学与生活的联系。
3.利用小组合作学习，提高学生的团队协作能力。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。
2.设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
3.准备课件，展示教学内容和过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车轮子、圆形桌面等，引导学生观察并提出问题：“为什么自行车轮子上的辐条都是垂直于轮子的直径？圆形桌面的四个角的线段为何是相等的？”让学生思考并回答，从而引出垂径定理的概念。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
通过课件展示垂径定理的证明过程，让学生理解并掌握垂径定理。
同时，给出垂径定理的符号表示，便于学生记忆和应用。
3.操练（10分钟）设计一组练习题，让学生运用垂径定理进行计算和证明。
题目难度逐渐增加，让学生在实践中巩固所学知识。
湘教版九年级数学下册《2.3垂径定理》公开课精品课件
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝⌒BD
M
C
D
. O
A
B
N
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，
DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
AD
1 2
AB
1 2
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆
·O
心到弦的距离），弓形高h的计算题，常
常通过连半径或作弦心距构造直角三角 A C B
形，利用垂径定理和勾股定理求解.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
试一试 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），
与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD，A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D
∵P是AB的中点，即AP=BP，
B
D
垂径定理的本质是:
满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
典例精析
例3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径 OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径．