专题08 平面向量(教学案) 2018年高考文科数学二轮复习Word版含答案(教师用)
高考数学南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量
专题4：平面向量问题归类篇类型一：向量的运算一、前测回顾1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.答案：－3．2． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b |＝2，则|a －b |的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是 ．(3) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．3．(1)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________． (2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，|a －2b |＝19，则向量a ，b 的夹角是 ． (3) 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． (4)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于____ __． 答案：(1)－32； (2)2π3； (3) 32； (4)12．4．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ．则−→AD ·−→BC ＝ ．(2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝2，OB ＝23, −→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60︒，则−→AB ·−→OC ＝________________．(4)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且−→AE ·−→BC ＝0．则−→AD ·−→BC ＝ ；−→AD ·−→AE ＝ ． 答案：(1)－83； (2)1； (3)4； (4)－83, 37．二、方法联想1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 三、归类巩固*1．已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则a 的模的取值范围是 答案：（0，233]．提示：结合向量的几何图形求解．A BCD E**2．在等腰梯形ABCD 中,已知AB 平行于DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝π3，动点E ，F 分别在线段BC ，DC 上，且−→BE ＝λ−→BC ，−→DF ＝19λ−→D C ，则−→AE ·−→AF 的最小值为 .答案：1829． 提示：数量积−→AE ·−→AF 标示为λ的函数．***3．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3， 则AO →·BC →＝________. 答案：52．提示：外心隐含着垂直关系．类型二：形如AD →＝x AB →＋y AC →等式中系数x ，y 值的确定一、前测回顾1．在△ABC 中，点M ，N 满足−→AM ＝2−→MC ,−→BN ＝−→N C ．若MN →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为． 答案：13．2．平面内有三个向量−→OA ，−→OB ，−→OC ，其中−→OA 与−→OB 的夹角为2π3，−→OA 与−→OC 的夹角为π6，且，|−→OA |＝|−→OB |＝2，|−→OC |＝43，若(),OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值为_______．答案：6．3．已知在△ABC 中，O 为△ABC 的外心，AB ＝16，AC ＝102，AO →＝x AB →＋y AC →，且32x ＋25y ＝25，则|AO →|等于___________．答案：10．提示：由AO x AB y AC =+，可得AO AO x AB AO y AC AO ⋅=⋅+⋅，211282AB AO AM AB AB ∴⋅===，同理：211002AC AO AN AB AC ∴⋅===，所以()212810043225100AO x y x y =+=+=， 所以|AO →|＝10． 二、方法联想方法1 通过平面向量运算，完成向量AD →用AB →，AC →表示，进而确定x ，y 的值．方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式AD →＝x AB →＋y AC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解．方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则x ＋4y 的最小值是________．答案：94．***2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2， AB →·AC →＝－1，O 是△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为________．答案：136． 类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾1．平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC的最小值为___________．答案：4． 2．已知a ，b 是单位向量，且a ，b 的夹角为60°，，若向量c 满足|c －a ＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____．答案：2+3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ．答案：－3．二、方法联想方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是_____． 答案:2．提示：以BC 所在直线为x 轴, 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)。
2018高考文科数学平面向量专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数学平面向量专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共46道小题）1. 已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（ ）A ．﹣2B ．2C ．D ．2.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan （α﹣）等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．3.已知向量(21)(13)a b =-=，，，，且()a a mb ⊥+，则m = A. 1 B. 5 C. -1 D. -54.如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，π3POM ∠=，PON α∠=，[)0,πα∈，()f OM ON α=⋅，则()f α的范围为（ ）． M NPxOvA ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知Rt △ABC ，两直角边AB=1，AC=2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB=60°，设AD =λAB +μAC （λ，μ∈R ），则μλ=（ ）A ．332 B ．33 C ．3 D ．236.已知，是夹角为的单位向量，若=+3， =2﹣，则向量与夹角的余弦值为（ ） A ． B ． C ．D ．7. A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，由图可知，当直线y=2x ﹣z 过C （2，﹣1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大． ∴z=2×2+1=5． 故选：A ．8.已知向量a =（1，x ），b =（2x+3，﹣x ）（x ∈R ），若a ∥b ，则x 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣2或0 C ．1或﹣3D ．0或29.向量，满足||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°10.在△ABC中，2AB=3AC，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则（）A．AB•AC=AB+AC B．AB+AC=AB•AC C．AB•A C=AB+AC D．AB+AC=AB•AC 11.在△ABC中，AB=AC=1，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．12.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．613.已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣515.已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（）A．B．C．D．16.下列关于零向量的说法不正确的是（）A．零向量是没有方向的向量B．零向量的方向是任意的C．零向量与任一向量共线D．零向量只能与零向量相等17.已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．418.在四边形ABCD中，若，且，则（）A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形19.已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣20.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若，则λ+u=（ ） A ．B ．C ．D ．121. 已知向量，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 满足的条件是（ ） A ．k=﹣16 B ．k=16C ．k=﹣11D ．k=122.已知直角△ABC 中AB 是斜边， =（3，﹣9），=（﹣3，x ），则x 的值是（ ）A ．27B ．1C ．9D ．﹣1 23.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3π，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足λ==DCNCBC BM ，其中λ∈[0，1]，则AN AM ⋅的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[1，4]C ．[2，5]D ．[1，7]24.已知向量=（cosx ，sinx ），=（），=，则cos （x ﹣）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣25.已知||=||=2， •（﹣）=﹣2，则|2﹣|=（ ） A ．2 B ．C ．4D ．826.已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．27.如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）A．B．C．D．28.已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．29.等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，则•+•+的值为（）A．25 B．36 C．9 D．1830.已知=（x，2），=（1，6），若∥，则x=（）A．B．C．2 D．331.设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．32.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形， =（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．233.设向量=（4，2），=（1，﹣1），则（2﹣）•等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣12 D．1234.已知向量=（1，y），=（﹣2，4），若⊥，则|2+|=（）A．5 B．4 C．3 D．235.若，，均为单位向量，且•=﹣， =x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B． C． D．136.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．637.若A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，且满足m﹣2+=，若=λ，则λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．38.已知等差数列{a n}的前项和为S n，若=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），则S2010=（）A．1005 B．1010 C．2009 D．201039.如果不共线向量满足，那么向量的夹角为（）A． B． C． D．40.19.C 20.A【名师点睛】世界各地的气候有不同的特点，是气温、降水等气候要素在空间上分布的不均衡，以及时间不同而千变万化的结果，气候类型判断的考察主要是根据气候的两大要素资料来判读。
配套K12新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练8平面向量及其综合应用理
专题能力训练8 平面向量及其综合应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为()A.2B.-C.D.-23.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),则|a+2b|=()A.2B.C.D.24.已知平面向量a,b,c满足c=x a+y b(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.()A.若a·b<0,则x>0,y>0B.若a·b<0,则x<0,y<0C.若a·b>0,则x<0,y<0D.若a·b>0,则x>0,y>05.△ABC所在平面上的动点P满足=λ(tan B+tan C),其中λ>0,则动点P一定经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心6.(2017浙江镇海中学5月模拟)已知△ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且,则△ABC 的面积的最大值为()A.3B.4C.3D.47.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记m i=(i=1,2…,10),则m1+m2+…+m10的值为()A.15B.45C.60D.1808.如图,扇形OAB中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为()A.0B.C.D.1-二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.在边长为1的正方形ABCD中,2,BC的中点为F,=2,则=.10.若平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b的最小值为.11.已知向量a,b及实数t满足|a+t b|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(2017浙江杭州二模)设P为△ABC所在平面上一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为.14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC==120.(1)求cos∠BAD;(2)设=x+y,求x,y的值.16.(本小题满分15分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,,(1)若=4,=-1,求的值;(2)若P为AD上任一点,且恒成立,求证:2AC=BC.参考答案专题能力训练8平面向量及其综合应用1.A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn.故选A.2.A解析因为,则,即=2-=2.3.B解析向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·b=5,解得a·b=0.|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+16=17,所以|a+2b|=.故选B.4.A5.D解析∵=λ(·tan B+tan C)=λ[||·||cos (π-B)tan B+||·||cos C tan C]=λ||(-||sin B+||sin C),由正弦定理得||sin C=||sin B,∴=0.∴AP⊥BC,故动点P一定经过△ABC的垂心.6.B解析由知,ABDC为平行四边形,又A,B,C,D四点共圆,∴ABDC为矩形,即BC为圆的直径,∴当AB=AC时,△ABC的面积取得最大值×2×4=4.7.D解析因为AB2与B3C3垂直,设垂足为C,所以上的投影为AC,m i==|AB2|×|AC|=2×3=18,从而m1+m2+…+m10的值为18×10=180.8.D解析建立如图所示平面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M,N(m,0),则=(m-cos t,-sin t),故=1-,因为0≤m≤1,所以=1-≥1-;又因为1-=1-sin(t+φ)=1-sin(t+φ)(tan φ=2),所以1-=1-sin(t+φ)≥1-(当且仅当sin(t+φ)=1时取等号).故选D.9.- 解析如下图,建立平面直角坐标系,则E,G,B(1,0),D(0,1),则=(-1,1),则=1×(-1)+×1=-.10.11.解析∵a·b=2⇒|a||b|cos θ=2(θ为a,b的夹角),∴|a+t b|=3⇒9=a2+t2b2+4t=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤.12.3解析||=||=1,||=,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<,sin α>0,cos α>0,tan α=,sin α=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=,cos α==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.13.14解析由3+4=m,可得,可设,则D,A,C共线,且D在线段AC上,可得,即有D分AC的比为4∶3,即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍,故S△ABC=S△ABP=×8=14.14.6解析由已知根据向量数量积的定义可得=-2,=12,=0,在=λ+μ两边分别乘,得即所以λ+μ=6.15.解 (1)设∠CAB=α,∠CAD=β,则cos α=,cos β=,从而可得sin α=,sin β=,故cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.(2)由=x+y,得即解得16.解 (1)∵,∴E,F为AD的四等分点.以BC为x轴,以D为原点建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),则E,F,∴=(m+a,n),=(m-a,n),.∵=4,=-1,∴解得m2+n2=,a2=.∴-a2+(m2+n2)-a2=.(2)∵P为AD上任一点,设P(λm,λn),则=((1-λ)m,(1-λ)n),=(a-λm,-λn),,∴=(1-λ)m(a-λm)-(1-λ)λn2=(1-λ)·(ma-λm2-λn2),.∵恒成立,∴ma+(m2+n2)≥0恒成立,即(m2+n2)λ2-(m2+n2+ma)λ+(m2+n2)+ma≥0恒成立,∴Δ=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)·≤0,即(m2+n2)2-ma(m2+n2)+m2a2≤0,∴≤0,∴(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2,∴AC==a,又BC=2a,∴2AC=BC.。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题七 平面向量 精品
1．如图 7-1，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，B→G＝2G→O，设C→D∥A→G， 若A→D＝51A→B＋λA→C(λ∈R)，则 λ 的值为________．
图 7-1
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[因为B→G＝2G→O，所以A→G＝13A→B＋23A→O＝13A→B＋31A→C.
又C→D∥A→G，可设C→D＝mA→G.从而A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋m3 A→B＋m3 A→C＝1＋m3
(3)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E ＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________．
(1)A→D
(2)0
1 (3)2
[(1)设A→B＝a，A→C＝b，则E→B＝－12b＋a，F→C＝－12a＋b，
热 点 题 型 · 探 究
专题七 平面向量
专 题 限 时 集 训
题型一| 平面向量的概念与运算
(1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B ＋F→C＝________.
(2)已知向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若(λa＋b)∥b，则 λ＝________.
(1)2 (2)－4 [(1)如图，以 A 为原点，以 AB 所在的直 线为 x 轴，建立直角坐标系，则 A(0,0)，B(2a,0)，C－1a， a3， ∵O 为△ABC 的外心，∴O 在 AB 的中垂线 m：x＝a 上，
又在 AC 的中垂线 n 上，AC 的中点－21a，2a3，AC 的斜率为 tan 120°＝－ 3，
题型三| 数量积的综合应用
(1)已知 O 为△ABC 的外心，AB＝2a，AC＝a2，∠BAC＝120°，若A→O ＝αA→B＋βA→C，则 α＋β 的最小值为________．
【推荐精选】2018届高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1.1.2 平面向量
限时规范训练 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1 C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10. 答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
高考数学二轮复习精品教学案专题06平面向量(教师版).
【2013考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识络构建】【重点知识整合】1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x 2x 1＝y 2y 1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μe 2.4．向量的坐标运算a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)．5．数量积(1)已知a ，b 的夹角为〈a ，b 〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a ·b ＝|a |·|b |cos θ，其中|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c ；(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (3)两非零向量a ，b 的夹角公式为cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22；(4)|a |2＝a ·a .(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零． 【高频考点突破】考点一 向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． 例1、已知关于x 的方程：·x 2＋·2x ＋＝0(x ∈R)，其中点C 为直线AB 上一点，O 是直线AB 外一点，则下列结论正确的是 ( )A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点 C ．点C 在线段AB 的反向延长线上且点A 为线段BC 的中点D ．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a ＋b ＝b ＋a ，a ·b ＝b ·a ，λa ·b ＝λ(a ·b )与a (b ·c )≠(a ·b )c ；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二 平面向量的数量积1． 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |及向量模的公式|a |＝a ·a .(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a ·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0； ②|a ·b |≤|a ||b |；③a (b ·c )与(a ·b )c 不一定相等.考点三 平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．[解] (1)法一：由已知得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |max ＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2. 法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.【难点探究】难点一 平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．9(2) 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．【答案】(1)C (2)(－4，－2)【解析】 (1)MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC→2－1m AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →， 同理NO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m －λ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋λn AC →＝0.难点二 平面向量的数量积例2 如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP →＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A ．5B ．3 C.52 D.32【答案】C【解析】 设AB 中点为D ，c ＝OP →＝OD →＋DP →，所以c ·(a －b )＝(OD →＋DP →)·BA →＝OD →·BA →＋DP →·BA →＝OD →·BA →＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52.【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4(2)在△OAB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，则OA 边上的高等于________．难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)， ∴PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝14x 20＋3x 0＋5. 由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝14x 20＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单调递增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴PF 1→·PA →的取值范围是[0,12]．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ>0得4k 2＋3>m 2.【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝43x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝95交于M 、N 两点．(1)求双曲线的方程；(2)求证：FM →·FN →为定值．【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，c ＝5，c 2＝a 2＋b2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，设P (x ，y )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，y 0，A 1P →＝(x ＋3，y )，A 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫245，y 0，∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－245y ＝0，∴y 0＝24y5x ＋3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，24y 5x ＋3. 同理得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，－6y5x －3. ∴FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，24y 5x ＋3，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－6y 5x －3， ∴FM →·FN →＝25625－14425·y2x 2－9. ∵x 29－y 216＝1，∴y 2x 2－9＝169，∴FM →·FN →＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM →·FN →＝0为定值．【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，则b a +（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）102.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。
高考数学二轮复习第二篇第8练平面向量课件理
12/11/2021
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 答案
6.(2018·南京调研)在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，B→M＝λB→C.
若A→M·B→C＝－137，则实数
λ
1 的值为____3____.
解析 ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理可得 BC＝ 19， 又根据余弦定理可得 cos∠ABC＝ 419，A→M·B→C＝(B→M－B→A)·B→C＝λB→C2－
第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第8练 平面向量[小题提速练]
12/11/2021
明晰考情 1 命题角度：平面向量数量积的运算，利用向量判定直线的位置关系、 求夹角或距离，另外还可以和函数、数列、几何等交汇考查. 2题目难度：中低档难度.
12/11/2021
栏目 索引
12/11/2021
核心考点突破练 易错易混专项练 高考押题冲刺练
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故 λ＝23. 12/11/2021
解析 答案
4.在△ABC 中，点 M 是线段 BC 延长线上一点，且满足 BM＝3CM，若A→M ＝xA→B＋yA→C，则 x－y＝___－__2___. 解析 因为A→M＝A→C＋C→M＝A→C＋12B→C， 又B→C＝A→C－A→B， 所以A→M＝A→C＋12(A→C－A→B)＝32A→C－12A→B， 所以 x＝－12，y＝32，则 x－y＝－2.
即3|a|2－|a||b|·cos θ－2|b|2＝0，
∴83|b|2－2 3 2|b|2·cos
θ－2|b|2＝0，∴cos
θ＝
2 2.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 12/11/2021
最新-2018届高考数学二轮复习 专题2第7讲 平面向量课件 新课标版 精品
第7讲 │ 要点热点探究
【分析】 (1)待定系数法；(2)用椭圆上点 P 的坐标表示出数量 积P→F1·P→A，根据椭圆上点的坐标的范围求解；(3)根据已知的垂直关 系和向量等式，求出A→M·A→N，然后使用韦达定理代入，得出直线方 程中的参数 k，m 的关系，再根据这个关系确定直线系过的定点．
【解答】 (1)由已知得 c＝1，a＝2，b＝ 3，∴所求椭圆方程为x42＋y32 ＝1.
与 b 的方向相反，则 a 的坐标为________．
第7讲 │ 要点热点探究
(1)C (2)(－4，－2) 【解析】 (1)M→O＝A→O－A→M＝A→B＋2 A→C－m1 A→B＝ 12－m1 A→B＋12A→C，
同理N→O＝12－n1A→C＋12A→B，M，O，N 三点共线，故12－m1 A→B＋12A→C＝ λ12－n1A→C＋12A→B，即12－m1 －2λA→B＋12－2λ＋nλA→C＝0.
第7讲 │ 要点热点探究
【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中 的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一 个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一 个极为重要的导出结果是，如果 a，b 不共线，那么 λ1a＋λ2b＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是 λ1＝μ1 且 λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的 导出结论，即如果O→A＝xO→B＋yO→C，则 A，B，C 三点共线的充 要条件是 x＋y＝1.
【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何 运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何 运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以 及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．
第7讲 │ 要点热点探究
(1)[2011·课标全国卷] 已知 a 与 b 均为单位向量， 其夹角为 θ，有下列四个命题：
2018年江苏高考数学二轮复习教师用书第1部分 知识专题突破 专题4 平面向量 Word版含答案
专题四平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第页)．(·江苏高考)如图－，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，与的夹角为α，且α＝，与的夹角为°.若＝＋(，∈)，则＋＝.图－[法一因为α＝，所以α＝，α＝.过点作∥交的延长线于点，则＝＋，∠＝°.又因为＝＋，所以＝，＝，所以＝，＝.在△中，由正弦定理得α)＝＝，因为∠＝(°－α－∠)＝ (α＋∠)＝，即＝＝，所以＝，＝，所以＋＝.法二由α＝可得α＝，α＝，则＝＝，由∠＝可得＝＝，∠＝ (α＋°)＝α°－α°＝×－×＝－，则·＝－，则－＝，－＋＝，则＋＝，则＋＝.]．(·江苏高考)如图－，在△中，是的中点，，是上的两个三等分点，·＝，·＝－，则·的值是．图－[由题意，得·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝－，①·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝.②由①②得＝，＝.∴·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝×－＝.]．(·江苏高考)已知向量＝()，＝(，－)，若＋＝(，－)(，∈)，则－的值为．－[∵＋＝(＋，－)＝(，－)，∴(\\(＋＝，－＝－，))∴(\\(＝，＝，))∴－＝－＝－.]．(·江苏高考)设，分别是△的边，上的点，＝，＝.若＝λ＋λ(λ，λ为实数)，则λ＋λ的值为．[由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ＝－，λ＝，故λ＋λ＝.] ．(·江苏高考) 如图－，在平行四边形中，已知＝，＝，＝，·＝，则·的值是.【导学号：】图－[由＝，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝，所以·＝，即－·－＝.又因为＝，＝，所以·＝.][命题规律]平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．。
最新-2018届高考数学二轮复习 专题二 3平面向量课件
→ → 解析：选 C.∵BC2＝16，∴ |BC|＝ 4. → → → → → 又 |AB－AC|＝ |CB|＝ 4，∴ |AB＋ AC|＝ 4. → 1 → → ∵ M 为 BC 中点，∴AM＝ (AB＋ AC)， 2 → 1 → → ∴ |AM|＝ |AB＋AC|＝ 2 2
题型二 例2
平面向量的数量积
已知 |a|＝ 4， |b|＝3，(2a－3b)· (2a＋ b)＝61.
(1)求 a 与 b 的夹角； (2)求 |a＋b|； → → (3)若AB＝ a，AC＝ b，求△ ABC 的面积．
【解】
(1)由(2a－3b)· (2a＋b)＝61，
得 4|a|2－4a· b－3|b|2＝61， ∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式得 a· b＝－6， －6 a· b 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝－ . |a||b| 4×3 2 又 0° ≤θ≤180° ，∴θ＝120° . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝ 13. (3)由(1)知∠BAC＝θ＝120° ，
3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
热点突破探究
典例精析 题型一 平面向量的线性运算
→ → → → 如图，平面内有三个向量 OA ， OB ， OC ，其中 OA 例1 → → → → 与 OB的夹角为 120° ，OA与 OC的夹角为 30° ，且 |OA | → → → → → ＝ |OB|＝1，|OC|＝ 2 3，若OC＝ λOA＋ μOB(λ，μ∈ R)， 则 λ＋ μ 的值为________．
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高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，
各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学
知识分析、解决问题的能力．
1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.
(3)长度等于1的向量叫单位向量．
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．
2．共线向量定文
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定文
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数
λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e
2
.
4．两向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作
a与b
的夹角．
5．向量的坐标表示及运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy
1
)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)．
6．平面向量共线的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．
7．平面向量的数量积
设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)投影：a·b|b|＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；
(3)|a·b|≤|a|·|b|；
(4)cosθ＝a·b|a|·|b|.
9．数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝x21＋y21；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.
【误区警示】
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．a在b方向上的投影为a·b|b|，而不是a·b|a|.
4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝
0.
考点一 平面向量的概念及线性运算
例1．【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,) ,若a||b,则 .
【答案】-3
【解析】由a||b可得1623.
【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
【答案】－6
【解析】基本法：∵a∥b，∴a＝λb
【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平
行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形
式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
【答案】A
【解析】基本法：设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以 x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
速解法：∵AB→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
BC→＝AC→－AB
→
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结
合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( )
A.AD→ B.12AD→
C.BC→ D.12BC→
【答案】A
【解析】基本法一：设AB→＝a，AC→＝b，则EB→＝－12b＋a，FC→＝－12a＋b，从而EB→＋FC→＝
－12b＋
a
＋－12a＋b＝12(a＋b)＝AD→，故选A.
基本法二：如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)
＝12·2AD→＝AD→.
考点二 平面向量数量积的计算与应用
例2．【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)abm，且ab，则m= .
【答案】2
【解析】由题意可得：2330,2mm.
【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【答案】A
【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【解析】基本法：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C.
速解法：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.故选C.
【方法规律】
1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积
问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝
a·b
|a|·|b|
”
将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．
【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以
坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算
向量较简单．
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.
【答案】2
B(2,0)，D(0,2)，E
(1,2)，
∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，
∴AE→·BD→＝1×(－2)＋2×2＝2.