新教材人教版高中数学必修第二册 8-2立体图形的直观图(教案)

第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
一、教学目标
1.了解“斜二测画法”的概念以及掌握斜二测画法的步骤；
2.会用斜二测画法画出一些平面图形和空间图形；
3.通过对立体图形的直观图的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养.
二、教学重难点
1.用斜二测画法作图．
2. 由直观图还原成原来的图形．
三、教学过程：
（1）创设情景
在桌面上放一个正方形，我们从某一点看这个正方形；这个正方形是什么样子？你能画它的直观图吗？
（2）新知探究
问题1:从某一点看远处桌面上放的一个正方形会是生么样子?
生答:平行四边形
问题2:大家能画它的直观图吗？
(提出本节课所学内容)
（3）新知建构
斜二测画法的定义:利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。

斜二测画法的步骤：
①在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，
再取z 轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．
②画直观图时把它们画成对应的x ′轴、y ′轴和z ′轴，它们交于O ′，并使''' x O y ∠=45°（或135°），''' x O z ∠=90°，x ′轴和y ′轴所确定的平面表示水平平面．
③已知图形中平行于x 轴、y 轴和z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴和z ′轴的线段．
④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原有长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
（4）数学运用
例1.如图所示,ABC 中,12cm AC =,边AC 上的高12BD cm =,求其水平放置的直观图的面积.
【答案】2182cm 解:画x '轴与y '
轴,两轴交于O ',使45x O y '''∠=︒,作ABC 的直观图如图所示,则12A C AC cm ''==,162B D BD cm ''==,故A B C '''的高为2322
B D cm ''=,所以2112321822
A B C S cm '''=⨯⨯=.即ABC 水平放置的直观图的面积为2182cm .
变式训练1:如图，四边形A B C D ''''是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
【答案】图像见解析，22解:画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与原点O 重合，在x 轴上取点C ，使2AC =，再在y 轴上取点D ，使2AD =，取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ，使DE EB =，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形''''A B C D 的原图形，如图所示.
易知四边形ABCD 为平行四边形.
∵2AD =，2AC =， ∴2222ABCD S =⨯=，即原图形的面积为22.
小结:水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴取轴——取点——连线成图
口诀：横不变纵减半，平行性不变
变式训练2:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是
( )
A.相等的线段在直观图中仍然相等。

B.平行的线段在直观图中仍然平行。

C.一个角的直观图仍然是一个角。

D.相等的角在直观图中仍然相等。

【答案】BC
例2.画棱长为2cm 的正方体的直观图．
画法：第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使∠BAD=45°，AB=2cm ，AD=1cm ．
第二步：过A 作z ′轴，使∠BA z ′=90°；分别过点B ，C ，D 作z ′轴的平行线，在z ′轴和这组平行线上分别截取AA ′=BB ′=CC ′=DD ′=2cm ．
第三步：连结
'''', , , 2AA BB CC DD cm =，得到的图形就是所求的正方体直观图． 其绘图过程，如下图所示：
A B C
D
A '
B '
C '
D 'x 'y '
z '
450B C
D A 'B 'C 'D '
变式训练:已知一棱柱的底面是边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为
4 cm ，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴.画出x 轴、y 轴z 轴，三轴相交于点O ，使45xOy ∠=︒，90xOz ∠=︒.
（2）画底面.以点O 为中点，在x 轴上画3MN cm =，在y 轴上画32PQ cm =，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面. （3）画侧棱.过点A ，B ，C ，D 分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA '，BB '，CC '，DD '，如图①所示.
（4）成图.连接A B ''，B C ''，C D ''，D A ''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
小结:空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
口诀：横竖不变纵减半，平行性不变
例3:如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',其中A'D'∥y'轴,则AB=__________;△AOB 的周长是 .
【答案】172 1744+
解:根据直观图画出原图如下图所示.根据原图与直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==172,所以△AOB 的周长是4+172×2=1744+.
故答案为：172 1744+
变式训练:若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为_______________
【答案】32【解析】根据图像可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，
作A M O B '⊥''，则211O M '=-=，
由'''4A O B π
∠=，得''2A O =2''22AO A O ==，
''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，
原四边形AOBC 的面积为11()(12)223222
S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=
故答案为：32
四、小结：
1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：
3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式
五、作业：习题8.2。