离散数学总复习资料讲解学习
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离散数学总复习资料
一、鸽笼原理与容斥原理
1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18
。 证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18
。# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则i y 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。故原命题成立。#
3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A
6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有
C B A A C C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃
601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A
即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。#
4．有100个学生，其中60个爱看小说，30个爱下棋，10个既爱看小说，又爱下棋，5个既爱看小说，又爱跳舞，没有既爱下棋，又爱跳舞的，三种活动都不爱的有10个，问有几个学生爱跳舞？
解：设全体学生的集合为U ，爱看小说的学生集合为A ，爱下棋的学生集合为B ，爱跳舞的学生集合为C ，则依题意有100,60,30,10,5,0U A B A B A C B C ===⋂=⋂=⋂=， 10A B C ⋃⋃=，B C φ⋂=，从而()A B C A B C φ⋂⋂=⋂⋂=，1001090A B C U A B C ⋃⋃=-⋃⋃=-=。另一方面，根据容斥原理，我们有A B C A B C A B A C B C A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂，即有90603010500C =++---+，故15C =，即有15个学生爱跳舞。#
二、数理逻辑
5．求Q P →的主析取、主合取范式。
解：Q P →取真为：(1,1)，(0,0)，(0,1)；故Q P →的主析取范式为)()()(Q P Q P Q P ∧⌝∨⌝∧⌝∨∧；Q P →取假为：(1,0)；故Q P →的主合取范式为：Q P ∨⌝。
6．求R Q P →→)(的主析取、主合取范式。
解：R Q P →→)(取真为：(1,1,1)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)，(1,0,1)；故R Q P →→)(的主析取范式为
)()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧∧；
R Q P →→)(取假为：(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0)； 故R Q P →→)(的主合取范式为：)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨⌝∨∧∨⌝∨⌝。
7．（1）将式子“并非跑的最快的马吃的最多”翻译成用谓词和量词表达的逻辑式子。(2)将式子“爱因斯坦于1952年写完‘狭义与广义相对论浅说’”翻译成用谓词和量词表达的逻辑式子。
解：（1）x ：马； )(x A ：跑的最快的马； )(x B ：吃的最多的马。
上式表示为：))()((x B x A x →⌝∀
（2）设a：爱因斯坦；b：1952；c：‘狭义与广义相对论浅说’；)
A：
x
y
,
,
(z
x于y年写完z；则原式子可翻译成逻辑式子)
A。
a
b
,
(c
,
8．求下述公式的前束范式和Skolem标准形。
y
z
Q
x
∃
(z
↔
P
x∀
)
)
)
(
(
(
,
)
解：)
x
P
Q
z
x
z
)
z
(
,
(
)
((y
P
∀
∧
→
∃
)
∀
→
z
y
x
x∃
Q
(
Q
(z
z
y
x
)
(
)
(
(
(
,
P
)
(
)
))
x∀
)
((
∃=))↔
,
)
( =))
z
x
Q
y
z
P
x
z
z
∨
∃
⌝
P
∀
∧
∨
∀
⌝
x∃
Q
)
(
(
))
(
)
x
)
(
(
(
,
(
)
)
(
(
)
,
(y
=))
z
y
x
Q
z
z
P
z
Q
∀
⌝
∀
x
∧
∃
∨
⌝
x∃
∨
(
)
((
)
(
P
(
)
))
,
((y
x
(
(
)
(
)
)
,
=))
Q
y
x
P
x
z
z
z
∨
∀
∀
Q
⌝
∧
⌝
∃
∃
x∨
P
)(
)(
(
(
)
,
(
))
(
)(
(y
x
)(
(
)
,
z
=))
y
x
P
Q
z
v
u
z
Q
∨
⌝
∀
∧
∃
⌝
∃
∀
x∨
)(
(
))
)(
(
,(
)
(
)
(y
v
P
)(
)(
,
(
u
=)))
P
v
u
x
y
z
Q
z
x∨
∃
∃
∀
⌝
∨
⌝
∧
Q
∀
))
(
)
(
(
,(
)
,
(
(y
v
P
)(
)(
)((
)(
u
故该公式的前束范式为)))
P
v
u
x
y
z
Q
Q
z
x∨
∃
∃
∀
⌝
∨
⌝
∧
∀；
P
(
))
(
(
)
u
(
)
,
)(
(y
,
)(
v
(
)((
)(
Skolem标准形为)
Q
x
f
P
z
g
z
∧
∨
⌝。#
⌝
x
y
x
Q
P∨
(
))
(
(
,
z
),
(
,
,
(
(y
)
(
(
))
9．将下列命题符号化，并证明其论证是否正确。
不存在白色的乌鸦；北京鸭是白色的。因此，北京鸭不是乌鸦。
解：令x
(x
Q：x是乌鸦；)
R：x是北京鸭。则上述命题可
(x
P:)
(是白色的；)
x
符号化为：))
x
x
Q
R
x
x
x
P
x
→
∀
∧
∃
→
⇒
x⌝
R
∀
P
⌝
))
(
)
(
)(
(
)
(
(
)(
)(
(x
Q
(
)
(
x
)),
(
下面，我们证明上述命题是正确的。
（1）))
x
R
x→
(
P
∀（P）
(x
(
)
)(
（2）)
y
R→（US）
P
)
(
(y
（3）)
R（CP）
(y
（4）)
P（分离规则）
(y
（5）))
Q
P
x
x∀⌝
x
∀
∃
⌝（量词转换律）
∧
=
P
⌝
x
)(
(
(
)
x
))
(
(x
(
)(
Q
(
)
（6）)
P⌝
⌝（US）
y
∨
(y
(
)
Q
（7）)
⌝（T，（4））
Q
(y