圆的方程第4课时圆与圆的位置关系

圆的方程第4课时圆与圆的位置关系

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.

2．过程与方法

设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；

（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1–r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l = |r1–r2|时，圆C1与圆C2内切；

（5）当l＜|r1 –r2|时，圆C1与圆C2内含.

3．情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.

（三）教学设想

教学环节教学内容师生互动设计意图

复习引入

1．初中学过的平面几何

中，圆与圆的位置关系有几

类？

教师引导学生回忆、举例，

并对学生活动进行评价；学生回

顾知识点时，可互相交流.

结合学

生已有知识

以验，启发

学生思考，

激发学生学

习兴趣.

概念形成

2．判断两圆的位置关系，

你有什么好的方法吗？

利用连心线的长与两圆

半径和、差的关系.

教师引导学生阅读教科书中

的相关内容，注意个别辅导，解

答学生疑难，并引导学生自己总

结解题的方法.

学生观察图形并思考，发表

自己的解题方法.

引导学

生明确两圆

的位置关

系，并发现

判断和解决

两圆的位置

关系的方法.

应用举例

3．例3 你能根据题目，

在同一个直角坐标系中画出

两个方程所表示的圆吗？你

从中发现了什么？

教师应该关注并发现有多少

学生利用“图形”求，对这些学

生应该给矛表扬. 同时强调，解

析几何是一门数与形结合的学

科.

培养学

生“数形结

合”的意识.

应用举例

4．根据你所画出的图形，

可以直观判断两个圆的位置

关系. 如何把这些直观的事

实转化为数学语言呢？

师：启发学生利用图形的特

征，用代数的方法来解决几何问

题.

生：观察图形，并通过思考，

指出两圆的交点，可以转化为两

个圆的方程联立方程组后是否有

实数根，进而利用判别式求解.

进一步

培养学生解

决问题、分

析问题的能

力.

利用判

别式来探求

两圆的位置

关系.

5．从上面你所画出的图

形，你能发现解决两个圆的位

置的其它方法吗？

师：指导学生利用两个圆的

圆心坐标、半径长、连心线长的

关系来判别两个圆的位置.

生：互相探讨、交流，寻找

解决问题的方法，并能通过图形

的直观性，利用平面直角坐标系

的两点间距离公式寻找解题的途

径.

进一步

激发学生探

求新知的精

神，培养学

生.

6．如何判断两个圆的位

置关系呢？

师：对于两个圆的方程，我

们应当如何判断它们的位置关系

呢？

引导学生讨论、交流，说出

各自的想法，并进行分析、评价，

补充完善判断两个圆的位置关系

的方法.

从具体

到一般总结

判断两个圆

的位置关系

的一般方法.

7．阅读例3的两种解法，

解决第137页的练习题.

师：指导学生完成练习题.

生：阅读教科书的例3，并

完成第137页的练习题.

巩固方

法，并培养

学生解决问

题的能力.

方法 拓展 延伸

8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？

师：引导并启发学生相交弦

所在直线的方程的求法.

生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.

得出两个圆的相交弦所在直线

的方程.

9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？ 师：引导学生验证结论.

生：互相讨论、交流，验证结论.

进一步验证相交弦

的方程.

归纳总结

10．课堂小结：

教师提出下列问题让学思考：

（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？ （2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？

回顾、反思、总结，构建知识体

系.

课外作业

布置作业：见习案4.2第二课时

学生独立完成

巩固深化所学知识.

备选例题

例1 已知圆C 1：x 2 + y 2 – 2mx + 4y + m 2 – 5 = 0，圆C 2：x 2 + y 2 + 2x – 2my + m 2 – 3 = 0，m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.

【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x – m )2 + (y + 2)2 = 9，C 2：(x + 1)2 + (y – m )2 = 4. （1）如果C 1与C 222(1)(2)32m m +++=+， 所以m 2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.

（2）如果C 1与C 222(1)(2)32m m +++<-， 所以m 2 + 3m + 2＜0，得–2＜m ＜–1. 所以当m = –5或m = 2时，C 1与C 2外切； 当–2＜m ＜–1时，C 1与C 2内含.

例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.

【解析】设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0.

联立方程组2

2

424(4)0

y x

x y x y x y λ=⎧⎨

++--+++=⎩