分式易错点剖析

分式运算常见错误示例

一、概念记不准

例1 下列哪些是分式? 哪些是整式? ①2x 1-π ② 31+a ③4

3 错解：①，③是分式, ②是整式.①在代数式2x 1-π

中, 因为在分母中含有字母π, 所以是分式; ②在代数式31+a 中, 因为它是二项式,属于整式； 43是分式.

错解分析：分式的定义就是形如B

A , 其中A 和

B 都为整式, 分母B 中要含有字母，①2x 1-π中的分母π是常数, 而不是字母; ② 31+a 中的a 1是分式, 加3 后, 仍然属于分式; ③把分式和分数混淆了. 正解：①,③是整式, ②是分式.

二、直接将分式约分

例2 x 为何值时,分式

239x x --有意义? 错解: ()()2331333

9x x x x x x --==+-+-.要使分式有意义,必须满足x +3≠0,即x ≠-3.

错解分析: 错误的原因是将x -3约去,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式,无意中扩大了字母的取值围,当x =3时,分式无意义的条件漏掉了.

正解:要使分式有意义,必须满足2x -9≠0,解得x ≠±3.∴当x ≠±3时, 分式

239

x x --有意义.

三、误以为分子为零时,分式的值就为零

例3 当x 为何值时,分式2

24x x -+的值为零?

错解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. ∴当x =±2时, 分式

2

24x x -+的值为零.

错解分析: 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零.本题当x =-2时,分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义,应舍去.

正解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. 当x =2时,分母2x+4≠0; 当x =-2时, 分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义.∴当x =2时, 分式2

24x x -+的值为零.

四、分式通分与解方程去分母混淆

例4 化简22

x x --x -2. 错解:原式=2x - x (x -2) -2(x -2) =2x -2x +2x -2x +4=4.

错解分析: 上述错误在于进行了去分母的运算,当成了解方程,而本题是分式的加减运算,必须保持分式的值不变.

正解:22x x --x -2= 22x x --(x +2)= 22x x --()()222x x x +--=22(4)2

x x x ---= 42

x -. 五、颠倒运算顺序

例5 计算a ÷b ×1b .

错解: a ÷b ×1b

= a ÷1=a .

错解分析: 乘法和除法是同级运算,应按从左到右的顺序进行.

错解颠倒了运算顺序,造成运算错误.

正解:a ÷b ×1b =a b ×1b =

2a b . 六、化简不彻底

例6 计算22124

4x x ---. 错解:原式=

()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()()()42222x x x -++-=()()

2222x x x -++-. 错解分析: 上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x -2)可约分,应继续化简.

正解: 原式=

()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()

()()42222x x x -++-=()()2222x x x -++-=()

122x -+. 七、忽视“分母等于零无意义”致错

1.错在只考虑了其中的一个分母

例7 x 为何值时, 分式1111

+-x 有意义?

错解：当x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1. 所以当x ≠ - 1时, 原分式有意义.

错解分析：上述解法中只考虑了分式

11+x 中的分母, 没有注意整个分式的大分母1

11+-x . 正解：由x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1.由111+-

x ≠ 0, 得x ≠ 0，因此， 当x ≠0 且x ≠ - 1 时, 原分式有意义.

2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验

例8 先化简, 再求值: 1

211222+--•+-x x x x x x , 其中x 满足x 2 - 3x + 2= 0. 错解：1211222+--•+-x x x x x x =2)

1()1)(1(1)1(--+•+-x x x x x x = x . ∵x 2- 3x + 2= 0,∴( x - 2) ( x - 1) = 0. ∴x = 1 或x = 2， 原式=1或2.

错解分析：只要把本题中的x = 1 代入到 ( x - 1) 2 中可知, 分母等于0, 所以原式无意义. 故原式只能等于2. 正解：2222

x x x 1x(x 1)(x 1)(x 1)x x 1x 2x 1x 1(x 1)----+==+-++-··， 由x 2-3x +2=0，

解得x 1=2,x 2=1，

当x =2时， x +1≠0，x 2-2x +1≠0，

当x =1时，x 2-2x +1=0，

故x 只能取x =2，

则原式=x =2.

3. 错在没有考虑除式也不能为零

例9 先化简1

1112-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x , 再选择一个恰当的x 值代入并求值. 错解：11112-÷⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+x x x =x x x x x )1)(1(111-+⨯-+-= x + 1. ∵ x - 1 ≠0, x 2 - 1 ≠ 0, ∴x ≠± 1.

当取x = 0 时代入x +1,原式= 1.