积分变换 东南大学 第四版积分变换第一章1-2节

1
t
解 :因为f ( t )为偶函数 2 +∞ ⎡ +∞ f (t ) = ∫ f (τ )cos ωτ d τ ⎤ cos ω t d ω ⎥ ⎣ ⎦ π 0 ⎢ ∫0
=
=
∫ π
2
2
+∞
0
+∞
⎡ 1 cos ωτ d τ ⎤ cos ω t d ω ⎢ ∫0 ⎥ ⎣ ⎦
sin ω
∫ π
0
ω
cos ω t d ω
的Fourier变换及其
积分表达式,其中A, β > 0. 这个函数叫做钟形 脉冲函数,也是工程技术钟常碰到的函数.
由(1.8)式,有
F(ω) =ℱ [ f ( t ) = ∫ f (t )e − jω t dt ] −∞
+∞
=∫
+∞ −∞
Ae
− β t 2 − jω t
e
dt
2
= Ae
ω2 − 4β
a0 ∞ ⎡ an − j bn j nω t an + j bn − j nω t ⎤ = +∑⎢ + e e ⎥ 2 n =1 ⎣ 2 2 ⎦
如令ωn=nω (n=0,±1,±2,...) a0 1 T2 且令c0 = = ∫ T fT ( t )dt , 2 T −2
an − jbn 1 T2 − jω n t cn = = ∫ T fT ( t )e dt , n = 1, 2, 3,L 2 T −2 an + jbn 1 T2 c− n = = ∫ T fT ( t )e jωn t dt , n = 1, 2, 3,L 2 T −2
f (t ) =
1
π
∫
+∞
0
⎡ +∞ f (τ )(cos ωt cos ωτ + sin ωt sin ωτ )dτ ⎤ dω ⎢ ∫− ∞ ⎥ ⎣ ⎦
当f ( t )为奇函数时 :
f (t ) = 2
π
∫
+∞
0
⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ )dτ ⎤ sin ωtdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎣ ⎦
⎧ 0, t < 0 例2 求函数f ( t ) = ⎨ − β t 的Fourier变换 ⎩e , t ≥ 0 及其积分表达式,其中β > 0.这个f ( t )叫做指数 衰减函数,是工程技术中常碰到的一个函数.
f(t)
t
根据(1.8)式, 有 +∞ F(ω) =ℱ [ f ( t )] = ∫ f ( t )e − jω t dt
πβ
A
f ( t ) = πβ e
− β t2
作业 习题一
第10页 第1, 2(2)题
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(ωt+ϕ), 其中ω=2π/T
t
所以研究周期函数 fT(t) ,如果在区间[−T/2,T/2]上满足 狄利克雷(Dirichlet)条件: 1. 连续或只有有限个第一类间断点; 2.只有有限个极值点. 那么在区间[−T/2,T/2]上就可以展成Fourier级数.
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随 时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 单位时间振动的次数(频率).
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.-- Fourier级数
(1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.9)式为F(ω)的 Fourier逆变换式, f(t)与F(ω)可相互转换,可记为 F(ω)= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F(ω)]
还可以将f(t)放在左端, F(ω)放在右端, 中间用双向 箭头连接: f(t) ↔ F(ω) (1.8)式右端的积分运算, 叫做f(t)的Fourier变换, 同样, (1.9)式右端的积分运算, 叫做F(ω)的Fourier 逆变换. F(ω)称作f(t)的象函数, f(t)称作F(ω)的象原函数. 可以说象函数F(ω)和象原函数f(t)构成了一个 Fourier变换对.
T 2
+∞
+∞
(1.3)
当n取一切整数时, ω n 所对应的点便均匀分布 在整个数轴上,两个相邻的点的距离为 2π 2π , 或T = , Δω n = ω n − ω n −1 = Δω n T
如图
2π 2π 2π T T T
2π T
O ω1 ω2 ω3
{ { {
f ( t )又可写为 1 f ( t ) = lim T →+∞ T
∫
+∞ −∞
Ae
⎛ jω ⎞ −β ⎜ t+ ⎟ ⎝ 2β ⎠
π dt = Ae β
ω2 − 4β
因此有
Ae
−β t2
π ↔ Ae β
ω2 − 4β
如果令β=1/2, 就有
Ae
t2 − 2
↔ 2π A e
−
ω2
2
可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.
求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(1.9)式
傅氏积分定理 若f(t)在(−∞, +∞)上满足条件: 1. f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2.f(t)在无限区间(−∞, +∞)上绝对可积, 则有 1 +∞ ⎡ ∞ f (t ) = f (τ )e − jωτ d τ ⎤ e jω t d ω (1.4) ⎥ ⎣ ⎦ 2π ∫−∞ ⎢ ∫−∞ 成立 ,而左端的 f ( t )在它的间断点 t 处 ,应以
T →+∞
lim fT ( t ) = f ( t )
由公式 1 fT ( t ) = T
可知 1 f ( t ) = lim T →+∞ T ⎡ 2 ⎤ j ωn t − j ω nτ ∑ ⎢ ∫− T2 fT (τ )e dτ ⎥ e ⎦ n =−∞ ⎣
T
⎡ ⎤ jωn t − j ω nτ ∑ ⎢ ∫− T2 fT (τ )e dτ ⎥ e ⎦ n =−∞ ⎣
−1
=
1
π
∫
+∞
0
β cos ω t + ω sin ω t dω 2 2 β +ω
t<0 t=0 t>0
⎧ 0 +∞ β cos ω t + ω sin ω t ⎪ 因此 ∫ dω = ⎨ π / 2 2 2 0 β +ω ⎪π e − β t ⎩
例3 求函数f ( t ) = A e
− β t2
1 f (t ) = 2π
∫
+∞ −∞
⎡ ∞ f (τ )e − jωτ d τ ⎤ e jω t d ω (1.7) ⎢ ∫−∞ ⎥ ⎣ ⎦
设 F (ω ) = ∫ 则
∞ −∞
f ( t )e
+∞ −∞
− jω t
dt
jω t
(1.8) (1.9)
1 f (t ) = 2π
∫
F (ω )e d ω
−∞
=∫
=∫
+∞
0
+∞
e
− β t − jω t
e
dt
1 β − jω = = 2 2 β + jω β + ω
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
0
e
− ( β + jω ) t
dt
根据(1.9)式, 有
1 +∞ f ( t ) =ℱ [ F(ω)] = F (ω )e jω t d ω 2π ∫−∞ 1 +∞ β − jω jω t = ∫−∞ β 2 + ω 2 e d ω 2π
积分变换
第一章 Fourier变换
1 2 3 4 5 Fourier积分 Fourier变换 Fourier变换的性质 卷积与相关函数 Fourier变换的应用
§ 1.1
Fourier积分
复习: 周期函数在一定条件下可以展开为 Fourier级数； 但全直线上的非周期函数没有 Fourier级 数表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积 分 (周期趋于无穷时的极限形式)
当f ( t )为偶函数时 :
f (t ) = 2
π
∫
+∞
0
⎡ +∞ f (τ ) cos ωτ )dτ ⎤ cos ωtdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎣ ⎦
例1
求方波函数 ⎧ 1 | t |≤ 1 f (t ) = ⎨ 的Fourier 积分表达式. ⎩ 0 | t |> 1 f(t) 1
如图所示:
−1
o
1 f (t ) = 2π
∫
+∞ −∞
⎡ ∞ f (τ )cos ω ( t − τ )d τ ⎤ d ω (1.5) ⎢ ∫− ∞ ⎥ ⎣ ⎦
又考虑到积分
∫
+∞ −∞
f (τ )cos ω ( t − τ )dτ
是ω的偶函数,
可得 f (t ) = 1
π
∫
+∞
0
⎡ ∞ f (τ )cos ω ( t − τ )d τ ⎤ d ω (1.6) ⎢ ∫−∞ ⎥ ⎣ ⎦
在( −∞ , +∞ )绝对可积是指的∫ | f ( t ) | d t 收敛.
−∞
f ( t + 0) + f ( t − 0) 来代替 . 2
+∞
(1.4)式也可以转化为三角形式
1 f (t ) = 2π
1 = 2π
1 = 2π
∫
+∞ −∞
+∞ −∞
+∞ −∞
⎡ ∞ f (τ )e − jωτ d τ ⎤ e jω t d ω ⎢ ∫−∞ ⎥ ⎣ ⎦
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
e +e 由cos ϕ = 2
jϕ
− jϕ
e −e ,sin ϕ = 2j
jϕ
− jϕ
得:
a0 fT ( t ) = + 2 − j nω t j nω t ∞ ⎡ e j nω t + e − j nω t ⎤ −e e + ∑ ⎢ an − j bn ⎥ 2 2 n =1 ⎣ ⎦
⎡ ∞ f (τ )e jω ( t −τ ) d τ ⎤ d ω ⎢ ∫−∞ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ ∞ f (τ )cos ω ( t − τ )d τ ⎢ ∫−∞ ⎣
+∞ −∞
∫
∫
+ j∫
f (τ )sin ω ( t − τ )dτ ⎤ dω ⎥ ⎦
因∫
+∞ −∞
f (τ )sin ω ( t − τ )dτ 是ω的奇函数,
可得
⎧ 2 | t |< 1 +∞ sin ω cos ω t ⎪π d ω = ⎨ 4 | t |= 1 ∫0 ω ⎪ ⎩ 0 | t |> 1
π
因此可知当t = 0时,有 +∞ sin x π ∫0 x d x = 2
§1.2 Fourier变换
1. Fourier变换的概念
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在 f(t)的连续点处, 有
由高数可知, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下: a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) (1.1) 2 n =1 2 T2 其中 a0 = ∫− T fT ( t ) d t T 2
2 T2 an = ∫−T fT ( t )cos nω t d t T 2 2 T2 bn = ∫− T fT ( t )sin nω t d t T 2
1 −1 f ( t ) =ℱ [ F(ω)] = 2π
1 = 2π
+∞ π A∫ e β −∞
∫
+∞ −∞
F (ω )e jω t d ω
ω2 − 4β
(cos ω t + jsin ω t )d ω
=
A
πβ
∫
+∞
0
ห้องสมุดไป่ตู้
e
ω2 − 4β
cos ω t d ω
因此
∫
+∞
0
e
ω2 − 4β
cos ω t d ω =
则(1.1)可写为 fT ( t ) = c0 + ∑ ⎡ cn e jωn t + c− n e − jωn t ⎤ = ⎣ ⎦
n =1 ∞ n =−∞
∑
+∞
cn e jωn t (1.2)
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周 期函数fT(t)当T→∞时转化而来的.
作周期为T 的函数fT(t), 使其在[−T/2,T/2]之内等 于f(t), 在[−T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明 当T→∞时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有
1 = lim Δω n → 0 2π
+∞
T 2
ωn-1ωn
⎡ ⎤ j ωn t − j ω nτ ∑ ⎢ ∫− T2 fT (τ )e dτ ⎥ e ⎦ n =−∞ ⎣
⎡ ⎤ jωn t − jω nτ ∑ ⎢ ∫−T2 fT (τ )e dτ ⎥ e Δωn ⎦ n =−∞ ⎣
T 2
{
ω
+∞
由定积分定义,得 1 +∞ ⎡ ∞ − j ωτ ⎤ e jω t d ω f (t ) = ∫−∞ ⎢ ∫−∞ f (τ )e dτ ⎥ ⎣ ⎦ 2π