中考数学压轴题(六)折叠问题

折叠问题

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸

边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背

景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、

对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一

道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形

沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）

A ．42°

B ．48°

C ．52°

D ．58°

2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落

在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ）

A ．40°

B ．30°

C ．20°

D ．10°

3、（2009年日照市）

将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为

EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF

的长度是 ．

4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按

如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为

A ．9.5

B ．10.5

C ．11

D ．15.5

第2题图 A '

B D A C

（第18题图）

A C B

5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，

∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值 为 ．

6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结

AM （如图3所示）

．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．

7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC

△沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．

8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，

B ∠和

C ∠都为锐角，M 为AB 一动点

（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．

（1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面

的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最

大值为多少？

B

C N

M A

A

图3 B

M

C E

C B A D

9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为

AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合）

，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内）

，所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．

（1）用x 表示ADE △的面积；

（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式；

（3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式；

（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

提示：相似、二次函数

10、（2009年天津市）

已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；提示：画出图形，图中性质 △ACD ≌△BCD,△BDC ∽△BOA,BC=AC

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

提示：画图，△COB ＇中由勾股定理得出函数关系式，由x 取值范围确定y 范围。

E A 'D

B

C A

B C A

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标． 提示：画图，△COB ＇∽△BOA

11、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B

、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、

，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．

（1）求实数a b c ，，的值；

（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM 为菱形；

第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△

BNQ ，再判断是否在对称轴上。

12、（2009年浙江省湖州市）

已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A

，顶点为M .直线12

y x a =-分