任意角的三角函数练习题及答案

任意角的三角函数练习题及答案
一、选择题
1．若角α和β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为
A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)
( B )
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
( B )
3．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为

A.1sin21 B.2sin22 C.1cos21 D.2cos22
( A )
4．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m的值为

A．－12 B.12 C．－32 D.32
( B )
5．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
( C )

6．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于

A.45 B.35 C．－45 D．－35
( B )
7． sin 585°的值为

A．－22 B.22 C．－32 D.32
( A )
8．若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β
( A )
9．下列关系式中正确的是
A．sin 11°C．sin 11°( C )
10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 009)＝3，则f(2 010)的值是
A．－1 B．－2 C．－3 D．1
( C )

11．已知sin(2π－α)＝45，α∈3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于

A.17 B．－17 C．－7 D．7
( A )
12．已知cos5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cosπ12－α等于

A.233 B.13 C．－13 D．－223
( D )
二、填空题(每小题6分，共18分)

13．若点P(m，n) (n≠0)为角600°终边上一点，则mn＝________.

14．若角α的终边落在直线y＝－x上，则sin α1－sin2α＋1－cos2αcos α的值等于________．
15． cos－35π3的值是________．
16．已知cos(π－α)＝817，α∈π，3π2，则tan α＝________.
答案：13. 33 14. 0 15. 12 16. 158
三、解答题(共40分)
17．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则

sin
－α－32πcos


3

2
π－α

cosπ2－αsin



π

2
＋α

·tan
2
(π－α)＝________.

解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，
由α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，

∴sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α) ＝sinπ2－α·cosπ2＋αsin α·cos α·tan
2
α

＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan
2
α

＝－tan2α＝－sin2αcos2α＝－916.
18．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝
x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． -1
解 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)， 点Q的坐标为(2a，a)．

sin α＝－2aa2＋(－2a)2＝－2a5a2， cos α＝aa2＋(－2a)2＝a5a2，

tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a(2a)2＋a2＝a5a2，
cos β＝2a(2a)2＋a2＝2a5a2， tan β＝a2a＝12，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝－2a5a2·a5a2＋a5a2·2a5a2＋(－2)×12＝－1.

19．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin
2
α＋sin αcos α＋2.

解 由已知得tan α＝12.

(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.
(2)sin
2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2
α)

＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tan α＋2tan2α＋1

＝3×(12)2＋12＋2(12)2＋1＝135.
20．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sinθ－3π2cos(θ－π)－sin3π2＋θ 的值．
解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，
∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos(2π－θ)－sin3π2－θcos(π－θ)＋cos θ

＝11＋cos θ＋cos θ－cos2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ
＝21－cos2θ＝2sin2θ＝2－132＝18.
21．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2<α<π.求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α.

解 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23.①
将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，
故2sin α·cos α＝－79，又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－－79＝169，∴sin α－cos α＝43.
(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos
3α－sin3
α

＝(cos α－sin α)(cos
2α＋cos α·sin α＋sin2
α)

22．是否存在角α，β，其中α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π

－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若
不存在，请说明理由．
解 假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足




sin α＝2sin β ①

3cos α＝2cos β ②
①2＋②2，得sin
2α＋3(1－sin2
α)＝2，

即sin2α＝12，sin α＝±22.
∵－π2<α<π2，∴α＝π4或α＝－π4.
(1)当α＝π4时，由②得cos β＝32，
∵0<β<π，∴β＝π6.
(2)当α＝－π4时，由②得cos β＝32，β＝π6，但不适合①式，故舍去．
综上可知，存在α＝π4，β＝π6使两个等式同时成立．
＝－43×1－718＝－2227.