(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(文)试题(四)(含答案解析)

侧视图俯视图2016好题精选模拟卷（四）（文数）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={}22|,t s t s +∈Z 且x ,A y A ∈∈,则下列正确的是( )A.x+y A ∈B.x-y A ∈C.xy A ∈D.xA y ∈2. 复数i ii i --+1)1(23等于（ ） A.1 B.－1 C.i D.i -3. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ）A.35B.310C.23D.27504. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（ ）A ．203B ．263C ．4D ．85. 若方程221y x a+=（a 是常数）则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线6．当0x ≥. ()234f x x x =-+()f x 为偶函数则()f x 的解析式为（ ）A.()f x =234x x ++234(0)x x x -+≥()0x < B.()f x =234x x -+()0x <234x x ++()0x ≥C.()f x =234x x +-()0x <234x x --()0x ≥ D.()f x =()0x <()0x ≥234x x --234x x +-7. 点A 是半径为5的圆O 上的一定点，单位向量AB在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点且点P 与点A 不重合，则AP AB ⋅的范围为( )A.()5,5-B.[]5,5-C.(,5)-∞-D.](,5-∞8. 在ABC 中，a b ≠c =22cos cos cos cos A B A A B B -=则C ∠=（ ） A.6π B.4π C.5π D.3π 9. 右面的程序框图，如果输入三个实数a.b.c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 （ ）A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c10. 三棱锥P-ABC 中，ABC ∆和PBC ∆是等边三角形，侧面PBC ⊥面ABC ，AB =( )A.18πB.19πC.20πD.21π11. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A．123+ B ．13 C ．1313+ D ．1212. ()(ln f x x =，若实数a,b 满足.()()10f a f b +-=，则a+b 为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知()())2,0,2,2,,OB OC CA αα===，则OA 与OB夹角的取值范围为____________14. 关于x,y 不等式组210x y -+>0x m +<0y m ->表示的区域内存在P ()00,x y 满足0022y y -=，则m 范围为____________15. ()f x 函数满足()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2012f =____________ 16. 设过曲线()xf x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 二次函数()2fx x x=+，当[]()*,1x n n n N ∈+∈时，()f x 函数值中所有整数值的个数为()g n ，()()32*23n n n a n N g n +=∈，求()112341n n n S a a a a a -=-+-++-18. 某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[](](](](](]0,2,2,4,4,66,8,8,10,10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 如图，在BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠=== ，AB ⊥面BCD ，60,,ADB E F ∠=分别是AC ，AD 上的动点，且AE AFAC ADλ==()01λ<< （1）求证：不论λ为何值总有平面BEF ⊥面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥面ACD20. 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段D 为垂足，点M 在线段PD 上，且PD =点P 在圆上运动（1）求点M 的轨迹方程（2）过定点()1,0C -的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N 使NA NB ⋅为常数，若存在求出点N 的坐标，不存在说明理由21.()2g x 2ln x x mx,x R =--∈，如果()g x 的图像与x 轴交于()()()()12120A x ,0,B x ,0x x ,AB C x ,0,<中点为()0g'x 0≠求证请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。

（Ⅰ）证明：DB=DC ；（Ⅱ）设圆的半径为1，CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23. 选修4―4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=.（Ⅰ）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)将直线l 向右平移h 个单位，所对直线l' 与圆C 相切，求h ．24. 选修4-5：不等式选讲己知函数()2123f x x x =++-。

(I)若关于x 的不等式()12f x a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围；(II)若关于t 的一元二次方程2()0t f m -+=有实根，求实数m 的取值范围。

参考答案： 1.C考点：元素的互异性解析：由A={}22|,t s t s +∈Z （即A 中的元素均可以表示为两个整数平方和的形式）可得1=222201,211+=+，所以1,2A A ∈∈，但是1+2=3A ∉故x+y A ∈不成立，又1-2=-1A ∉故x-y A ∈不成立，又12A ∉，故xA y∈不成立 2. A【解析】3. C【解析】4. A【解析】５．Ｃ考点：1圆锥曲线定义与满足条件 2全称与存在 解析；1当a=1时，方程表示的是圆而不是椭圆故A 错误 2当a 为实数时方程表示双曲线故B 错误 3由方程形式可知该形式不可能为抛物线 6.A考点；对于分段函数的考察及书写解析；若0,0x x <->把-x 代入x 0≥时的解析式()234f x x x =-+中()f x -=234x x ++所以()f x =234x x ++234(0)x x x -+≥()0x <在代替自变量时一定要注意范围以及正确的代入 7.B考点；利用坐标系来帮助解答向量问题解析；A ()()0,5,1,5B --,设P ()5cos ,5sin θθ 所以()()5cos ,5sin 51,0AP AB θθ⋅=+⋅=5cos θ因为θ为任意角 所以[]cos 1,1θ∈- 所以范围为[]5,5-，即AP AB ⋅范围为[]5,5-注意;在作图时，题目和图示的一致性 8.D考点：对题目中式子的化简问题 解析：()1原式=1cos 21cos 2222222A B A B ++-=-112cos 22cos 22222A AB B -=-sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1.2266A B ππ-=-即A=B 因为题目中已给a b ≠ 所以A B ≠ 所以舍去这种情况2.2266A B πππ-+-=⇒化简得A+B=23π 所以3C π∠= 9. A 10.C考点；中位线且垂线不在球上时的计算 解析；AB=ABC ∆外接圆半径24R == ∴R=2 O 为外接圆圆心O ’是外接球球心 'oo ⊥面ABC 'PM OO 作OE ’ OM 于PM 于E 如图∴E 为PM 的三等分点 PM=3∴OO ’=EM=1∴在Rt 'OO A ∆中 OA ’=r OO ’=32OA=2 ∴2415R =+=∴S 表=20π注意：在题中AE 是PAB ∆的重心位置11. B 【解析】12.A解析；0x >x >-∴221x x +>恒成立 ∴()f x 在定义域内单增 ()(ln f x x =()(ln f x x -=-=()()f x f x -=- ∴()f x 为奇函数()()()11f a f b f b =--=- ∴a=1-b ∴a+b=1思路点拨：形如()()f x f y +的函数中考虑用奇偶函数与单调性求解 13. 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦设(),A x y ()2,2C A x y =--∴2c o s x α-2s i n y α-cos α=s i n α=出现sin α，cos α，利用关系式表示点A 的轨迹方程再图形结合求解22cos sin 1αα+=()()2222122x y --+= ()()22222x y -++=4612πππ-=∴5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意：不可cos OA OBOA OB α⋅=⋅ 时利用图形结合14. 23m <-考点：必须图形结合解析：如图，由图得m 必须小于0，当0022x y -=在(),m m -的左侧时才会存在 代入：22m m --> 32m -> ∴23m <-当m 〉0时讨论可知不成立综上：23m <- 15.14-解析：令x=x ，y=1∴()f x =()()11f x f x ++-()()()()()()12211f x f x f x f x f x f x +=++=++++-∴()()21f x f x +=-- ()()3f x f x =-+ T=6 ()()()36f x f x f x +=-+=- ()()20122f f =()()()2402000f f f =∴=成立又 ()()()()()()1401112102f f f f f f =+=∴=∴()()()()41120f f f f =+即()()214122ff =+()()112201244f f ∴=-∴=- 思路点拨；考察奇偶函数的周期性本题为抽象函数仍为赋值找周期16. []1,2-()11'1x f x e =-- （任意一点处1x ∀ 总存在一点2x ∃）()22'2sin g x a x =- ()()1212s i n 1x e a x +-= ()122112s i n ,1x a x x x e -=∃∀+ ()110,11x e ∈+ []22s i n 2,2a x a a -∈-+ ∴20a -≤21a +≥⇒12a -≤≤ 思路点拨:注意题目中任意和存在条件的转化 17. 考点：对()11n --的理解以及n 的取值要分类讨论解析;()2f n n n =+ ()()2211132f n n n nn ∴+=+++=+=[]1,3 中整数值有3个，[]1,+∞中整数值有100个注意：个数应再加开头的一个例如在[]1,100中，整数计算100-1+1=100个∴在()(),1f n f n +⎡⎤⎣⎦中整数计算应为 ()()1123f n f n n +-+=+ ()23g n n ∴=+y=m3222323n n n a n n +∴==+()()222123411n S n n n n ∴=-+-++-+--（1）当n 为奇数时()122212341n n n S a -=-+-++-=()()()()()()2121234342121n n n n n +-++-++-+---++ =()212321n n n -++++-+-+()()21112n n n +--=-+()212n n n -=-+22n n+=（2）当n 为偶数时()2222212341n S n n =-+-+--()()()()()()1212343411n n n n =+-++-+-+-- ()1234n =-+++++()12n n +=-22n n+=-综上可得:原式()2112n n n nS ++=- 注意：一定要认真分析n 为奇数偶数的状态18. 解: （Ⅰ）45003009015000⨯=，所以应收集90位女生的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2230022501004.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 19. 解析：（1）证明：AB ⊥ 面BCD AB CD ∴⊥ CD BC ⊥ 且AB BC B = CD ∴⊥面ABC又()01AE AFAC ADλλ==<<∴不论λ为何值恒有EF CD EF∴⊥面ABC 又EF ⊂ 面BEF ∴不论λ为何值总有平面BEF ⊥面ABC （2）由（1）知：EF BE ⊥面BEF ⊥面ACD BE ∴⊥面ACD B E A C∴⊥1BC CD== 90BCD ∠=BD ∴=直角三角形勾股定理)AB⊥ 面BCD AB BD ∴⊥又60ADB ∠=t a n 606AB ∴==AB BC ⊥ AC ∴=由2AB AE AC =⋅ 可得AE =67AE AC λ∴== ∴当67λ=时，面BEF ⊥面ACD 总体来说，线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直，这几个概念都是可以相互调换的，相互转化的思想要互相转化更要理解要逐步加强综合运用数学知识来分析解决问题的能力20. （1）()221042x y y +=≠ （2）法一:1)直线斜率存在时，设N （m,0）y kx k=+22240x y +-=()2222214240kx k x k +++-=0∆>恒成立21222412k x x k -=+2122412k x x k +=-+2122312k y y k =-+()()()222212121NA NB k x x k m x x k m ⋅=++-+++ ()2222241421m m k m k +-+-=+2224142m m m +-=- 74m =-2)直线斜率不存在时，此时74m =- 1516NA NB ⋅=- 与情况1）结果符合7,04N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭思路点拨：先考虑直线存在，再检验斜率不存在时与前者结果是否相符法二：若M ：22142x y +=（利用特殊情况求出定点再去验证，注意验证的方法和过程思路） 1）直线斜率不存在时，(),1,,,0A B N m ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭2122NA NB m m ⋅=+- 2）k=0时，()()2,0,2,0A B -()()22,02,04NA NB m m m ⋅=--=-221422m m m -=+- 74m =- 7,04N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭验：()1y k x =+22240x y +-= ()2222214240k x k x k +++-=0∆>恒成立21222412k x x k -=+2122412k x x k +=-+NA NB ⋅ ()2222241421m m k m k +-+-=+将74m =-代入计算，看结果是否为常数 21. 变量集中法（类比圆锥中的中值伴侣曲线）21112ln x x mx -=22222lnx x mx -=作差()()()22121211x 2lnx x x x m x x 0x --+--= ()()221211x2l n x x x x m x ∴=-++（整理式子，向题意靠拢） 假设()0g'x 0= ()()2000120122x mx 24g'x x x m 0x x x --+∴==-+-=+()0122x x x =+ 12124x x m x x ∴++=+上下同除以x ，另21x t 1x =>()()2t 1ln t t 1t 1-∴=>+令()2t 2g t ln t t 1-=-+ ()()()22t 1g 't 0t t 1-=>+()()()2t 1g t g 10ln t t 1->=∴≠+ ()0g'x 0∴≠22. 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠CBE=∠BCE ，BE=CE ，又∵DB ⊥BE ，∴DE 是直径，∠DCE=090，由勾股定理可得DB=DC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE ，BD=DC ，故DG 是BC 的中垂线，∴设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG=o60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=o30，∴CF ⊥BF ， ∴Rt △BCF. 23. 解（1）222,sin ,x y y ρρθ=+=所以圆C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=.（Ⅱ）平移直线l 后，所得直线10x h tl y t =-+⎧'⎨-⎩的（t 为参数）2222(12)(10)20t h t h +-+-+=因为l '与圆C 相切，所以2224(12)8[(10)2]0,16600h h h h ∆=---+=-+=即解得610h h ==或 24. 解：（Ⅰ）()2123(21)(23)4f x x x x x =++-≥+--= ，31242a a ∴->∴<-，或52a >，∴实数a 的取值范围为35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）244(2123)0m m =-++-≥ ，即21236m m ++-≤∴不等式等价于32(21)(23)6m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 322m ∴<≤或1322m -≤≤或112m -≤<-， ∴实数m 的取值范围是{}|12m m-≤≤。