北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形 课件
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级数学下册课件 1.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法（AAS）以及 等腰三角形的概念及性质；（重点） 2. 能运用等腰三角形的性质解决相关问题.（难点）
复习导入 观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和 底角.
A
腰 顶角 腰
B 底角 底角 C
随堂检测 1.在△ABC中，AB=AC， AD垂直于BC ，垂足为D ， ∠BAC=108°， 则 ∠BAD= __5_4_°_.
2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与
底边的夹角是( B )
A.25°
B40°
随堂检测 3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为 半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠ B= 60°，则∠CDE 的度数为( A) .
A.145° C.135°
B.140° D.130°
随堂检测
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD， AD=DE=BE，则∠A= 45°.
【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角 度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和， 列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得 ∠A=2x=45°.
底边
思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的
两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和学习过的定 理证明它吗？
A
D
B
C
E
F
合作探究 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，
BC=EF.
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
【四清导航】2015春八年级数学下册 1.1 等腰三角形(第3课时)课件 (新版)北师大版
解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∵DE∥AC，∴∠2＝∠ADE.∴∠1＝∠ADE. ∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°， ∴∠1＋∠ABD＝90°， ∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE.∴DE＝BE＝AE＝2.5
【综合运用】
18．(12分)如图，我301海监船于上午11时30分在A处观测钓鱼 岛B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处， 再观测钓鱼岛在北偏东30°，航行到D处，观测到钓鱼岛B在 北偏西30°，当海监船从A处到达C处时恰与钓鱼岛B相距20海 里，请你确定301海监船从A处分别到达C处和D处所用的时间．
解：已知：△ABC的三个内角其中∠A最大． 求证：∠A≥60°. 证明：假设最大的∠A<60°，则∠B<60°， ∠C<60°，∴∠A＋∠B＋∠C<180°，这与三 角形的内角和相矛盾，故假设不成立，所以，三 角形中的最大内角不可能小于60°
等边三角形的判定 5．(4分)(2014· 广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用 钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变， 当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时， 如图2，AC＝( A ) 2 2 A. 2 B．2 C. 6 D．
等角对等边
1．(4分)如图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M＝45°，则图中 等腰三角形的个数有(C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(4分)如图所示，BD是△ABC的角平分线，∠A＝36°， 三 个等腰三角形，它们分别 ∠C＝72°，则图中共有____ 是 △ABD，△BCD，△ABC． 3．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE∥AC. 求证：△BED与△AED都是等腰三角形．
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
北师大版数学八年级下册1.1.1《全等三角形和等腰三角形的性质》说课稿
北师大版数学八年级下册1.1.1《全等三角形和等腰三角形的性质》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.1.1《全等三角形和等腰三角形的性质》这一节主要介绍了全等三角形的性质和等腰三角形的性质。
全等三角形是指在平面上有两个三角形，它们的对应边和对应角都相等。
等腰三角形是指在平面上有两个边相等的三角形。
本节课的内容是学生在学习几何初步知识的基础上进行的，需要学生具备一定的观察和思考能力。
教材通过引入全等三角形的概念，引导学生探究全等三角形的性质，从而得出全等三角形的判定定理。
然后，教材引入等腰三角形的概念，引导学生探究等腰三角形的性质，从而得出等腰三角形的性质定理。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的几何知识基础，对三角形的基本概念和性质有所了解。
但是，学生可能对全等三角形和等腰三角形的性质的理解还不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
具体来说，学生需要能够判断两个三角形是否全等，能够说明全等三角形的性质；学生需要能够判断一个三角形是否是等腰三角形，能够说明等腰三角形的性质。
四. 说教学重难点本节课的重难点是全等三角形的性质和等腰三角形的性质的推导和理解。
学生需要通过观察和思考，理解全等三角形的性质和等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课的教学方法主要是讲授法和探究法。
教师通过讲解全等三角形和等腰三角形的性质，引导学生思考和探究，帮助学生理解和掌握这些性质。
同时，教师还可以运用多媒体手段，如PPT等，展示全等三角形和等腰三角形的图形，帮助学生更好地观察和理解。
六. 说教学过程1.导入：教师通过引入全等三角形和等腰三角形的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.讲解：教师讲解全等三角形的性质和等腰三角形的性质，引导学生思考和探究。
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第四课时)课件
证明：有一个角等于600的等腰三角形是等
边三角形.
已知：如图，在 ABC中，AB AC，A 60 .
o
你 行 吗 ？
求证：ABC是等边三角形 .
情况二
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A 60o B C 120o (三角形内角和为 180o ) AB AC C B 60o (等边对等角 ) A B (等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形(等边三角形的定义 ).
C B 60o (等边对等角 ) A 60o (三角形内角和为 180o ) A B(等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
定理
在直角三角形中， 300角
所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在RtABC中， A 30o 1 BC AB.(在直角三角形中， 2 30o 角所对的直角边等于斜 边的 一半)
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A B BC AC(等角对等边) A C BC AB(等角对等边) BC AB AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
2014年3月14日星期五 22:59:40
2020春北师大版数学八年级下册图片版同步训练习题课件-1 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
18．在△ABC 中，AB＝AC. (1)如图 1，如果∠BAD＝30°，AD 是 BC 上的高，AD＝AE，则∠EDC＝____1_5_°___； (2)如图 2，如果∠BAD＝40°，AD 是 BC 上的高，AD＝AE，则∠EDC＝____2_0_°___； (3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD 与∠EDC 之间有什么关系？并给予证明．
16．(2019·山东日照莒县期末)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高， 点 E，F 是 AD 的三等分点，若 BC＝4 cm，AD＝6 cm，则图中阴影部分的面积是 _____6____cm2.
17．(2019·湖北黄石中考)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，E 为边 BC 上的点， 且 AB＝AE，D 为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥AE，过点 A 作 AF∥BC，且 AF，EF 相交于点 F.
(1)求证：∠C＝∠BAD； (2)求证：AC＝EF.
证明：(1)∵AB＝AE，D 为线段 BE 的中点，∴AD⊥BC，∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°， ∴∠C＝∠BAD. (2)∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB.∵AB＝AE， ∴∠B ＝ ∠AEB ， ∴∠B ＝ ∠FAE ， 且 ∠AEF ＝ ∠BAC ＝ 90°， AB ＝ AE ， ∴△ABC≌△EAF(ASA)，∴AC＝EF.
B．65°
C．70°
D．75°
6．(2019 ·浙江温州乐清期中)等腰三角形的两条边长分别为 9 cm 和 12 cm，则这
个等腰三角形的周长是( D )
A．30 cm
B．33 cm
C．24 cm 或 21 cm
D．30 cm 或 33 cm
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B DC
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
老师，这种方法我会了！
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
∴∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
x
∴x=36°，
2x
2x 2x
∴∠A=36°，ABC=∠C=72°
如图，在下列等腰三角形中， 分别求出其它两个角的度数。
A
36°
B
72° 72°
B
C
A
120°
AB＝AC （已知）
∠1＝∠2 （已证）
AD＝AD （公共边） B
D
C
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝ ∠C （全等三角形对应角相等）
方法二：作底边上的中线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD
在△BAD和△CAD中
有两边相等的三角形 概念 腰、底、顶角、底角 等腰三角形 性质 等边对等角
三线合一
(2)等腰三角形中常作的辅助线:
作顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线
即AD是BC边上的中线 B
DCΒιβλιοθήκη ∠ADB =∠ADC=90°
即AD是BC边上的高
再演示一下，看看
A
B
D
C
顶 角 的 平 分 线
底 边 的 中 线 底 边 的
高┓
A
A
B
DC
A
B
DC
A
B
DC
┓
B
DC
等腰三角形的性质2（读2遍）:
性质2：等腰三角形的顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合
（三线合一） 也就是说： 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
老师，这些我都记住了！
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
A
在△ABC中
12
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠_1__=∠_2__，_B_Ｄ__=_C_Ｄ__；
（2）∵AB=AC，AD是中线，B D C ∴∠＿1 =∠＿2 ，__AD__⊥__B_C_；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
1. 等腰三角形是轴对称图形
2.∠B =∠C
请 3.AD为底边上的中线
证 4.AD为底边上的高
明
5.AD为顶角平分线
A
它
A
们
B
C
D
B
C
求证：等腰三角形的两底角相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
证明: 作顶角∠BAC的平分线AD.
∴ ∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
当取腰长为 2，则三角形三边 2，2，4
（不满足三角形三边）
所以这个三角形的边为4 ，4 ，2
5.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°， 为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、 FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等， 添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为___5_0_°_
M
1.1 等腰三角形
学习目标： 1.探索并证明等腰三角形性质． 2.会应用等腰三角形的性质
亲，你知道什么是等腰三角形吗？
A
B
C
对于等腰三角形，
你了解了哪些方面的知识？
回顾
等腰三角形:
有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 两腰所夹的角叫做顶角,
底边与腰的夹角叫做底角.
3.如图：AB=AC， D在AC上，BD=BC=AD， 请找出图中有哪几个等腰三角形？ 并指出每个等腰三角形的底和底角？
A
底 角
底
底 角
底角 底角
底
底角
底角 B
底
D C
4.等腰三角形的底边和一腰长是方程组
X+2Y=8
3X+Y=14 的解，求三角形的各边长
解：解方程组得：Ｘ＝4，Ｙ＝2
当取腰长为4 ，则三角形三边 4 ，4 ，2 （满足三角形三边要求）
老师，这些我都会！
例2. 在△ABC中，AB=AC， AD为BC边上的中线， A 若∠BAD=20°， 则∠ABC=____70_°____.
B
C
D
例3. 如图，在△ABC中 ，AB=AC，
点D在AC 上，BD=BC=AD，
求△ABC各内角的度数.
A
D
B
C
例3、如图，在△ABC中 ，AB=AC， 点D在AC上，且BD=BC=AD， 求△ABC各角的度数。
(4)如果等腰三角形的一个角为1000，则其余两 个角为__4_0_0和__4_0_0_.
2. 判断下列语句是否正确.
(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.( × )
(2)有一个角是60°的等腰三角形， 其它两个内角也为60°. （ ）
(3)等腰三角形的底角都是锐角.
（）
(4)钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ × ）
A 顶角
腰
腰
底边
B
C
底角
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,
则它的周长是 10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm
。
老师，这些我会了！
亲，你发现了吗
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现什么?
30°
30°
C
巩固练习
1.填空题 (1)如果等腰三角形的一个底角为500，则其余 两个角为_8_0_0_和_5_0_0_.
(2)如果等腰三角形的顶角为800，则它的一个 底角为_5_0_0_.
(3)如果等腰三角形的一个角为800，则其余两 个角为__8_0_0和__2_0_0___或_5_0_0_和__5_0_0.
∴__A_D_⊥__BC__，__B_D _=__C_D _.
老师，这些我都记住了！
典例示范:
例1. 在△ABC, AB=AC,∠B=80°,∠C=_8_0_°__,∠A=__2_0_°_. 变式1：等腰三角形中，若一个角为80°, 则它的另外两个角__8_0_°__,2_0_°__或_5_0_°__,5_0_°____. 变式2：等腰三角形中，若一个角为120°, 则它的另外两个角为__3_0_°_,__3_0°_____.
证明：作底边的高线AD，则
∠BDA=∠CDA=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中
B
AB=AC ( 已知 )
A DC
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
老师，这种方法我也会了！
等腰三角形的性质1（读2遍）:
A
性质1：等腰三角形的两个底 角相等 (简写“等边对等角”)
1、图中有哪几个等腰三角形？
A
△ABC △ABD △BDC
⌒
x
2、有哪些相等的角？
D
2x ∠ABC=∠ACB=∠BDC
2x
B
C ∠ A=∠ABD
例3、如图，在△ABC中 ，AB=AC， 点D在AC上，且BD=BC=AD， 求△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
在△ABC中
∵AB=AC ∴∠B＝∠C (等边对等角)
B
C
注意：
在一个 三角形中,等边对等角.
想一想
A
刚才的证明除了能得到 1 2 ∠B＝∠C外， 你还能发现什么?
BDC
等腰三角形“三线合一”的性质
作顶角的平分线AD
A
证到了 △ABD≌ △ACD 1 2
除了得到∠B=∠C外
还可以得到：BD=CD
A
Ｅ
10°
O
F
H
B
如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，
为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、 FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等， 添加这样的钢管4根时，则∠AHB的度数为__5_0_°__
M
7A
Ｅ
3
6
2
10°
1
4
5
8
O
F
H
B
老师，这个题我明白了，会做了！
(1)本节课里你学到了什么？？？