(完整版)相似三角形题型归纳

三角形题型归纳

一、线段比例问题（构造平行）

1、下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.

2、已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB= AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE= 45°，（1）求证：BD·BC= BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。

3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交

AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，时，

如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．

4、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求

::BP PQ QR ．

二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）

1、如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2

=BE·CE.

2、过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：AE∶ED=2AF∶FB.

3、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2

=GE·GF.

A B

C

D E

P

O R

4、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

求证：

5、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

6、如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长

线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：

8、（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

三、构造相似辅助线——A、X字型

1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：

2、四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：

3、如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，

求证：22

PB

PD PR PQ

四、相似类定值问题

1、如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是边AB ，AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ． 求证：．

2、已知，在△ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a ．求证：．

3、如图，在△ABC 中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。

求证：．

A

B

R

D

C

P

Q

4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．

5、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．

6、已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

五、证明线段相等

1、在等腰ABC Δ，AC AB 分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线

分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。(1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明。(2)如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。

2、在面积为24的△ABC 中，矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动，点F 、G 分别在BC 、AC 上。 （1）若AE ＝8，DE ＝2EF ，求GF 的长；（2）若∠ACB ＝90°，如图2，线段DM 、EN 分别为△ADG 和△BEF 的角平分线，求证：MG ＝NF ；（3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值。

3、在△ABC 中，点D 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动，同时点F 从B 出发，在BC 边上以相同的速度向C 运动，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．运动时间为t 秒． （1）若AB ＝5，BC ＝6，当t 为何值时，四边形DFCE 为平行四边形；（2）连接AF 、CD ．若BD ＝DE ，求证：∠BAF ＝∠BCD ；（3）AF 交DE 于点M ，在DC 上取点N ，使MN ∥AC ，连接FN ． ①求证：BF CF ＝

DN

CN

；②若AB ＝5，BC ＝6，AC ＝4，当MN ＝FN 时，请直接写出t 的值．

E

A

B

C

D E

A

B

C

D

N

M

E

A

B C

D

六、对应练习题

1、如下图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF∶FG∶GM=5∶3∶2