量子力学+周世勋(全套课件)
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周世勋量子力学课件第8章
ˆ = H ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t ) Φ ( q1 , q 2 , L q j L q i L q N , t )
表明： （q i , q j ) 调换前后的波函数都是Schrodinger 方程的解。 根据全 同性原 理：
⎧ Φ (q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) ⎪ 描写同一状态。 ⎨ ⎪ Φ (q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) ⎩
所以 对称波函数是
λ = ± 1，
ˆ Ρ ij 本征值 ˆ Ρ ij 本征值
λ = + 1 的本征态；
反对称波函数是
λ = − 1 的本征态。
（三）波函数的对称性不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化， 即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
2 对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的 含时Schrodinger 方程
∂ ih Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) ∂t ˆ = H ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t )Φ ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t )
将方程中（q i , q j ) 调换，得：
∂ ih Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t ) ∂t ˆ = H (q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )
由于Hamilton量 对于（q i , q j ) 调 换不变
量子力学-第二版-周世勋PPT课件
量子力学
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
周世勋量子力学课件第二章
单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
量子力学第2章-周世勋
必须注意
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新 的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理 中截然不同的物理图像。
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
p (r ) r ,td r cp ,tp p d p cp ,t
因此
C (P ,t) 1 (r,t)eiP ,rd3r
(2 )3/2
(r ,t) C (P )P (r ,t)d 3 P
即
(r,t)(21)3/2
C (P ,t)eiP rd3P
显然,二式互为Fourer变换式,所以
做替换：
E i t
即得Schrödinger方程
p i
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
（6）
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
一（、1微）观含粒有波子函运数动对方时程间应的具一阶有导的数特点(r,t)
t
（2）方程必为线性的
（3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒
子), 其总能为
EP2
U(r,t)
2
二、自由粒子的运动方程 P (r,t)(21 )3/2e i(P ,rE)t
周世勋量子力学课件第九章
ˆ2 的属于同一本征值的本征函数：分 散射前后始终是 L
波法精髓
将入射波作瑞利展开：平面波按球面波展开
jl (kr ) 是 l 阶球贝塞耳函数
各个不同 l 的分波互相独立地发生散射， 经过散射 后仍是第 l 个分波，散射只影响波函数的径向部分：
Rl (r ) 由径向方程求解，叠加系数 Al 由边界条件定
K 2k sin
2
实验测量 ( , ) 数值计算
V (K )
V (x)
玻恩近似适用的条件: 设V(x)近似用平均势 V 和力程 r0 表征
玻恩近似适用时要求微扰修正项是小量:
一级修正的小量
p 是小量 x ~ 是大量 p x ~ r0 p
x ~ r0 p
3 在 p 附近 d p体积元内的状态数为:
2n1 p1 L
2n2 p2 L
2n3 p3 L 2 3
L
) 的体积
的跃迁概率为:
对 p 积分, 得到单位时间内落到θ, φ方向dΩ范围内的 概率为:
设L3范围内的粒子数为n, 则
入射粒子流强度
动量转移:
K p p0
对于弹性散射, Q=0; m1=m3, m2=m4; r=m1/m2
总散射截面是一个无穷级数求和：
当 jl(kr) 的第一个极大值位于散射势场的力程之外时， 即 l/k>a 时散射效应很小， 相移δl 可以忽略，在低能时 只需考虑S分波的贡献：
§3 方形势阱与势垒所产生的散射
考虑低能粒子受球对称方形势阱或势垒的散射， 入射粒 子能量很小，其德布罗意波长比势场作用力程大得多 散射势场写为：
对于非弹性散射， 总能量守恒， 但是相对运动能量 不再守恒：
周世勋量子力学课件第三章
( r , t ) (r , t ) ( r , t ) (r , t )
(r , t ) ( r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t )
r r
称波函数具有正宇称（或偶宇称） 称波函数具有负宇称（或奇宇称）
d d d dx 2 dy 2 dz 2 X ( x)Y ( y) Z ( z ) 2 V1 ( x) V2 ( y) V3 ( z) ( x, y, z) E ( x, y, z)
2 2 2 2
2 d 2 2 d 2 YZ X V1 ( x) XZ Y V2 ( y ) 2 2 2 dx 2 dy 2 d 2 XY Z V3 ( z ) E ( x, y, z ) 2 2 dz
讨论
E0 0 当n 0时： 0， II 0 A sin 0 x 0
当n k时： k
II
状态不存在
k k A sin x A sin x a a
所以 n 只取正整数，即
描写同一状态
( n 1, 2, )
于是：
n
I III 0 n II x n A sin a
所以
（3）使用波函数标准条件
从物理考虑，粒子不能透过无穷 高的势壁。根据波函数的统计解 释，要求在阱壁上和阱壁外波函 数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
同理：
则解为：
I II III
III 0
0
0, A sin(x ), 0.
2
设：V ( x, y, z ) V1 ( x) V2 ( y ) V3 ( z )
(r , t ) ( r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t )
r r
称波函数具有正宇称（或偶宇称） 称波函数具有负宇称（或奇宇称）
d d d dx 2 dy 2 dz 2 X ( x)Y ( y) Z ( z ) 2 V1 ( x) V2 ( y) V3 ( z) ( x, y, z) E ( x, y, z)
2 2 2 2
2 d 2 2 d 2 YZ X V1 ( x) XZ Y V2 ( y ) 2 2 2 dx 2 dy 2 d 2 XY Z V3 ( z ) E ( x, y, z ) 2 2 dz
讨论
E0 0 当n 0时： 0， II 0 A sin 0 x 0
当n k时： k
II
状态不存在
k k A sin x A sin x a a
所以 n 只取正整数，即
描写同一状态
( n 1, 2, )
于是：
n
I III 0 n II x n A sin a
所以
（3）使用波函数标准条件
从物理考虑，粒子不能透过无穷 高的势壁。根据波函数的统计解 释，要求在阱壁上和阱壁外波函 数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
同理：
则解为：
I II III
III 0
0
0, A sin(x ), 0.
2
设：V ( x, y, z ) V1 ( x) V2 ( y ) V3 ( z )
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章
E(2) n
l
a(1) l
Hˆ
(1) nl
l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n
E(0) l
l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n
E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)
(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx
[
Hˆ
(1)
E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似 由（2）式：
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
En(0)
(1) n
2 En(0)
(2) n
En(1)
(0) n
E2 (1) (1) nn
E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(0) n
0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
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（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
（三）Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一 系列线系，它们都可以用下面公式表示：
1 1 RH C 2 2 n m n m
氢原子光谱 谱系 Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund m 1 2 3 4 5 n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,...... 区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
（二）经典物理学的困难
但是这些信念，在进入20世纪以后， 受到了冲击。经典理论在解释一些新 的试验结果上遇到了严重的困难。 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
黑体：能吸收射到其上的全部辐 射的物体，这种物体就 称为绝对黑体，简称黑体。
能 量 密 度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发 出的辐射就称为黑体辐射。
目
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 附录
录
量子力学的诞生 波函数和 Schrodinger 方程 一维定态问题 量子力学中的力学量 态和力学量表象 近似方法 量子跃迁 自旋与全同粒子 科学家传略
第一章 量子力学的诞生
• §1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
1 1 RH C 2 2 n 3,4,5, n 2 其中RH 1.09677576 107 m 1 是氢的Rydberg常数, C是光速。
Wien 线
0
5
(104 cm)
10
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
1. Wien 公式
从热力学出发加上一些 特殊的假设，得到一个 分布公式：
1. Wien 公式
能 量 密 度
Wien 线
0
5
(104 cm)
10
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
1 1 RH C 2 2 n m
n m
人们自然会提出如下三个问题：
1. 2.
原子线状光谱产生的机制是什么？ 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
3.
光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔 壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所 吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
0
实验发现：
5
(104 cm)
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
热平衡时，空腔辐射的能量密度， 与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和 材料无关。
能 量 密 度
（2） 光电效应理论
用光子的概念，Einstein 成功地解释了光电效应的规律。
当光照射到金属表面时，能量为 hν的光子被电子所吸 收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的 吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。 其能量关系可写为： 1 V 2 h A 2
•从上式不难解释光电效应的两个典型特点：
（三）Compton
散射 ——光的粒子性的进一步证实
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观 察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研 究导致了量子物理学的诞生。
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处 于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子 的能量分布就应有一种对应。作为辐射原 子的模型，Planck 假定：
8h 3 d exp( h / kT )d C3
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
•（2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
（三）Compton
散射 ——光的粒子性的进一步证实
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。 总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使 人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在 这场物理学的危机中诞生。
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
光电效应的两个典型特点的解释
1 V 2 h A 2
• 1. 临界频率v0
2. 光电子动能只决定于光 子的频率
上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子 的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到 了正确的说明。
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由 该式所决定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ， 可见，
（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
能 量 密 度
Planck 线
•该式称为 Planck 辐射定律
0 5
(104 cm)
10
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
于是得光子的能动量关系： E pC 或 p E /C
把光子的波动性和粒子性 联系了起来
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量 子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的 光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普 鲁士科学院院士的推荐信中。
― 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”