第九章 色数

第九章 色数 教学安排的说明

章节题目：补充:对偶图；§9.1 独立集；§9.2 顶点着色；§9.3边着色；§4.4 色多项式；补充：List着色 学时分配：对偶图 0.5课时 §9.1 独立集； 0.5课时 §9.2 顶点着色； 2课时 §9.3 边着色； 1课时 §4.4 色多项式； 0.5课时 补充：List着色 0.5课时 本章教学目的与要求：了解四色定理的历史及色数问题的有关理论，会正确表述关于色数的一些基本概念（如独立集、顶点着色、边着色、色数色多项式等），理解色数理论在实际生活中的应用。 其它：由于增加了部分内容、例题和练习，因此授课内容与教材不完全一致。 课 堂 教 学 方 案 课程名称：补充:对偶图；§9.1 独立集；§9.2 顶点着色 授课时数：3学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：了解四色定理的历史及色数问题的有关理论，会正确表述关于色数的一些基本概念（如独立集、顶点着色等） 教学重点、难点：重点为图的对偶图、顶点着色、边着色的概念及相关的结论；图

的色数的求法，难点为对偶图的定义 教学内容： 引例：四色问题 平面图的着色问题，最早起源于地图的着色。1852年，英国青年盖思瑞（Guthrie）提出了地图着色问题：在一张地图中，给地图的各地域着色，要使邻接的地域具有不同的颜色，至少需要多少种颜色？邻接是指它们有一段公共边界 。他提出用四种颜色可以对地图着色的猜想（以下简称四色猜想），但他未能加以证明。1879年肯普（Kempe）给出了这个猜想的第一个证明，但到1890年希伍德（Hewood）发现肯普证明是有错误的，然而他指出了肯普的方法虽不能证明地图着色用四种颜色就够了，但却可以证明用五种颜色就够了，即五色定理成立。此后四色猜想一直成为图论中的难题。许多人试图证明猜想都没有成功。直到1976年这个貌似简单但却极为困难的问题才由美国数学家阿佩尔（K.Appel）和哈肯(W.Haken)利用计算机进行了证明，他们的方法是对所有可能出现的情形进行逻辑分类和穷举，这种异常繁冗的工作，只靠人用手工进行是根本无法胜任的。在分析了近2000种图形和100万种情况，花费了1200个机时，进行了100多亿个逻辑判断，从此四色猜想就被人们称之为四色定理。 但是，不依靠计算机而直接给出四色定理的证明，仍然是数学界的一个令人困惑的问题。于是，这给后人留下了一个著名的难题——四色问题，它至今未得到证实或否定。 当把着一种颜色的区域看作点，有公共边的区域看作邻接的点时，地图着色问题很明显可以用展布在平面上的图的面着色来刻划。为了便于讨论，引进对偶图这个概念，从而把平面图的面着色问题转换为相应的顶点着色问题。因此，四色问题可以归结为证明：对任意平面图一定可以用四种颜色，对其顶点进行着色，使得邻接顶点都有不同颜色。同时可看出，着相同颜色的点一定两两不邻接，于是引进独立集这个概念。

预备知识：对偶图 定义 对连通平面图G实施下列步骤所得到的图G*称为G的对偶图（dual of graph）： （1）在G的每一个面if的内部任取一点*iv作为G*的顶点。 （2）若G中面if与jf有公共边界，那么过边界的每一边ke作关联*iv与*jv的一条边*ke。*ke与G*的其它边不相交。 （3）当ke为面if的边界而非if与其它面的公共边界时，作*iv的一条环与ke相交（且仅交于一处）。所作的环不与G*的边相交。 从对偶图的定义可以看出，若***,GVE是平面图,GVE的对偶图，则G也是*G的对偶图。 例 图1（b）是（a）的对偶图。（b）中虚线部分表示原图（a），实线部分则是（a）的对偶图。 （a） (b) 图1 例 图2（a），（b）中实线部分是两个同构的图（图示不同），（a），（b）中虚线部分分别表示它们的对偶图，这两个图是不同构的，（a）中对偶图有5度顶点，（b）中对偶图却没有。

(a) (b) 图2

再如，在图3中，G的边和顶点分别用实线和“”表示，而它的对偶图*G的边和顶点分别用虚线和“· ”表示。 图3 注意，当1G，2G为同构图的两种不同图时，那么它们的对偶图*1G与*2G不仅图示不同，而且可能是根本不同的图（不同构）。这就是说，一个图的对偶图未必是唯一的。

定理 一个连通平面图G的对偶图*G也是平面图，而且有 *EE，*VF，*FV， **degdegiGiGvf，**(),iifFGvV

其中,,VEF和***,,VEF分别是G和*G的顶点数，边数和面数。 证明 由对偶图的构造过程可知，G*也是连通的平面图，且*EE，*VF，和**degdegiGiGvf显然成立，下证*FV。因为G和*G均是连通的平面图，所以由欧拉公式有

2VEF ***2VEF

代入即得*FV。 上述定理可表述为： （1）图G的面与G*的顶点一一对应，且G中面的度等于G*中对应顶点的度 。 （2）G中两个面有公共边界，当且仅当G*中对应顶点之间有边关联。 （3）G为平面图当且仅当G*为平面图。

定义 若图G的对偶图*G同构于G，则称G是自对偶图(Self-dual Graph)。 例如，图4给出了一个自对偶图。 图4 定理 若平面图,GVE是自对偶图，且有n个顶点，m条边，则21mn。 证明 由欧拉公式知 2nmr

由于图,GVE是自对偶图，则有nr，从而有22nm，即21mn。 从对偶图的定义容易知道，对于地图的着色问题，可以化为一种等价的对于平面图的顶点的着色问题。因此，对于图的面着色问题，可以通过研究其对偶图的顶点着色问题来解决。以下讨论图的顶点着色问题。

§9.1 独立集 定义9.1.1：若S为图G的顶点集合的子集，且S中任两点在G中不邻接，则称S为G的一个独立集 独立集S称为最大的，如果不存在S’，使|S’|>|S|。最大独立集中顶点的个数

称为G的独立数，记作0G。例如图5G'中，黑色的点构成了最大独立集，而白色的点不是独立集但却是最小覆盖集；图G的点集与G'一样，而边集E则是E'的补集，在G中黑色的点一定不构成最大独立集 图5 显然图的顶点着色问题都归属于将一个图划分为独立子集的理论。 独立集与覆盖之间有密切的关系。

定理9.1.1：设SVG，S是G的独立集当且仅当\VTS是G的一个覆盖。 推论9.1.1：对于p阶图G，有00p §9.2 顶点着色 着色问题 给定一个图，如果要求把所有顶点涂上颜色，使得邻接顶点具有不同的颜色，问最少需要几种不同的颜色？这个问题叫做图的点着色问题。

定义9.2.1平面图G的正常着色(Proper Coloring)（简称着色）是指对G的每个顶点指派一种颜色，使得邻接顶点都有不同的颜色。若可用n种颜色对图G着色，则称G是n

—可着色的。

四色定理可简单地叙述如下：任何简单平面图都是4—可着色的。 定义9.2.2：使图G为n-着色的最小数值称为G的色数。记作G＝n，且称G为n-色的。 如图5是3-着色图，也是3-色图，我们分别用123ccc、、代表三种不同颜色。 显然，具有任何一种相同颜色的所有顶点的集是独立的。因此，图G的一个n-着色是把V(G)分成n个（可能有空的）独立集的一个划分。据此，下面的定理是显然的。

定理9.2.1：（1） G＝1当且仅当G是零图。 （2）nKn （3）图G是2-色的当且仅当G是二部图。 （4）奇圈的色数均为3，而偶圈的色数为2。 需要注意的是，如果图G是平面图，则根据四色定理，其色数应该为最多为4。

而定理中的nK的色数为n，即当n>5时，色数超过4，这并不与四色定理矛盾，因

为，当n>5时，nK不是平面图。 定理9.2.2：对任意图G，有G ≦△(G)＋1，其中△为G中顶点的最大度。 证明：用归纳法。设|V(G)|＝n，显然，当n＝1时，△(G)＝0，G＝1。定理成立。 假设定理对顶点个数n=k(k≧1)时命题成立，当n=k+1时，证明如下：设v是

G的任一顶点，令G=G-v，则G的阶数为k，由归纳假设可知，G

≦△(G)+1≦△(G)+1。

当将G还原成G时，由于v至多与G中△(G)个顶点邻接，而在G的点着色中，△(G)个点至多用△(G)种颜色，于是在△(G)+1种颜色中至少存在一种颜色给v着色，使得v与邻接顶点涂不同颜色。命题得证。 补充：虽然至今还没有一个简单方法可以确定任一图G是否是k色的，但依据定理9.2.2给G中顶点着色，通常可以从最大度数的顶点入手，以下是Powell方法对图进行着色，其过程如下： 1) 将图G的顶点按度数递减的次序排列(这种排列不一定惟一)。 2) 用第一种颜色对第一点着色，并按排列次序，对与前面着色点不邻接的每一点着上同样的颜色。 3) 用第二种颜色对尚未着色的点重复(2)，用第三种颜色继续这种做法，直到所有的点全部着上色为止。 例 用Powell法对图6的顶点着色。