点可区别边色数和点可区别全色数的两个上界
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图的D(2)-点可区别一般边染色
高校应用数学学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ２ ） ： ２ １ １ — ２ ２ １
图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色
陈祥 恩木 ， 赵飞虎， 胡志涛， 李泽鹏， 姚
（ 西北师范大学 数 学与统计 学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
兵
摘
要 ： 引入 了 图的Ｄ（ ） 一 点 可 区别 一般 边 染 色， 并对 ＝ ２ 的情形 做 了讨论， 得 到
引理 １ ． １ 【 】 对阶 数 至 少 为３ 的 路Ｐ， 有） （ ２ （ Ｐ）＝ ３ ；且 对 阶数 等 于３ 的 圈ｃ（ ｋ 为正 整 数） ， 有） ／ ２ （ Ｃ）＝ ３ ；对 阶 数ｎ 不 被３ 整 除 且 不等 于５ 的 圈 ，有ｘ ２ （ Ｃ ￣ ）＝ ４ ；对 阶 数 等 于５ 的 圈 ，
§ １ 引言及 准备 工作
图的染 色 问题具有重 要的理论意义及 实际意义， 研究 图的染 色 问题 就是确定各类 图的各种 染色色数 的具体值或上下 界． 本文主 要讨论 了图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色， 仅考虑简单无 向
有 限 图ห้องสมุดไป่ตู้
所谓 图Ｇ的一个ｋ 一 一般边 染色（ 或使用 了 种颜 色的一般 边染色） － 厂 是指 种颜 色１ ， ２ ， … ， 关 于Ｇ的全体边 的一个分配（ 注意分配给相邻边的颜色可 以相 同） ． Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 用Ｓ ｆ （ Ｘ ） （ 或不致 引起
混淆 时， 记为Ｓ （ ） ） 表示在 ， 下与Ｘ 关 联的边 的颜色 作成的集合（ 非多重集） ， 称之 为在， 下点Ｘ 的色
集合． 对 ， Ｙ∈ （ Ｇ） ， 若ｓ （ ｘ ） ≠ｓ （ ） ， 则称 与Ｙ 可 区别 ． 以下用ｄ （ ｕ ， ） 表示图Ｇ中任意两 点 ， 之
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ２ ） ： ２ １ １ — ２ ２ １
图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色
陈祥 恩木 ， 赵飞虎， 胡志涛， 李泽鹏， 姚
（ 西北师范大学 数 学与统计 学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
兵
摘
要 ： 引入 了 图的Ｄ（ ） 一 点 可 区别 一般 边 染 色， 并对 ＝ ２ 的情形 做 了讨论， 得 到
引理 １ ． １ 【 】 对阶 数 至 少 为３ 的 路Ｐ， 有） （ ２ （ Ｐ）＝ ３ ；且 对 阶数 等 于３ 的 圈ｃ（ ｋ 为正 整 数） ， 有） ／ ２ （ Ｃ）＝ ３ ；对 阶 数ｎ 不 被３ 整 除 且 不等 于５ 的 圈 ，有ｘ ２ （ Ｃ ￣ ）＝ ４ ；对 阶 数 等 于５ 的 圈 ，
§ １ 引言及 准备 工作
图的染 色 问题具有重 要的理论意义及 实际意义， 研究 图的染 色 问题 就是确定各类 图的各种 染色色数 的具体值或上下 界． 本文主 要讨论 了图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色， 仅考虑简单无 向
有 限 图ห้องสมุดไป่ตู้
所谓 图Ｇ的一个ｋ 一 一般边 染色（ 或使用 了 种颜 色的一般 边染色） － 厂 是指 种颜 色１ ， ２ ， … ， 关 于Ｇ的全体边 的一个分配（ 注意分配给相邻边的颜色可 以相 同） ． Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 用Ｓ ｆ （ Ｘ ） （ 或不致 引起
混淆 时， 记为Ｓ （ ） ） 表示在 ， 下与Ｘ 关 联的边 的颜色 作成的集合（ 非多重集） ， 称之 为在， 下点Ｘ 的色
集合． 对 ， Ｙ∈ （ Ｇ） ， 若ｓ （ ｘ ） ≠ｓ （ ） ， 则称 与Ｙ 可 区别 ． 以下用ｄ （ ｕ ， ） 表示图Ｇ中任意两 点 ， 之
点可区别边染色的研究
5 8d + 4 d 8d
数 x 同时使得不等式
1 8 ≤( ) x 2
1−
( min ≤ d ≤ max )
8d 2 8d
1 8 ( )d ≤ ( ) x 2
成立，则有
d −1+
( min ≤ d ≤ max )
X 1' S (G ) ≤ x∆
证明： 令 ∆ = d ， f : E → { 1， 2， L , xd 是从颜色 { 1，2，L , xd 下两个条件： （ A ）正常边染色——没有两条相邻的边染成同一种颜色。 （ B ）点可区别——没有任何两个顶点关联同样的颜色集合。 为了应用一般局部引理，我们定义如下两个坏事件： （ I ）对任意一对相邻的边 A = {ε 1 , ε 2 } ，令 E A 表示 ε 1 和 ε 2 被染成同种颜色的事件。 （ II ）对任意两点 u , v ∈ V (G ) ，如果 C (u ) = C (v) ，令 E B 表示 C (u ) = C (v) 的事件。 注意到如果（ I ）和（ II ）都不发生，则 f 是 G 的点可区别的边染色。 为了运用一般局部引理，我们需进行以下几步： （1）计算坏事件发生的概率
m(6) = 0.5776030349614399 m(7) = 0.5658708498213858
m(8) = 0.5571918979989056
m(9) = 0.550528193021916
m(10) = 0.5452538381738173
所以（9）式显然成立 对（10）式我们有
n( x) -------------------------- q( x)
1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 − ⎝ 8d ⎠
1 ⎞ ⎛ ⎜1 − d ⎟ ⎝ 8 ⎠ 8 ⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ x ⎝4⎠
数 x 同时使得不等式
1 8 ≤( ) x 2
1−
( min ≤ d ≤ max )
8d 2 8d
1 8 ( )d ≤ ( ) x 2
成立，则有
d −1+
( min ≤ d ≤ max )
X 1' S (G ) ≤ x∆
证明： 令 ∆ = d ， f : E → { 1， 2， L , xd 是从颜色 { 1，2，L , xd 下两个条件： （ A ）正常边染色——没有两条相邻的边染成同一种颜色。 （ B ）点可区别——没有任何两个顶点关联同样的颜色集合。 为了应用一般局部引理，我们定义如下两个坏事件： （ I ）对任意一对相邻的边 A = {ε 1 , ε 2 } ，令 E A 表示 ε 1 和 ε 2 被染成同种颜色的事件。 （ II ）对任意两点 u , v ∈ V (G ) ，如果 C (u ) = C (v) ，令 E B 表示 C (u ) = C (v) 的事件。 注意到如果（ I ）和（ II ）都不发生，则 f 是 G 的点可区别的边染色。 为了运用一般局部引理，我们需进行以下几步： （1）计算坏事件发生的概率
m(6) = 0.5776030349614399 m(7) = 0.5658708498213858
m(8) = 0.5571918979989056
m(9) = 0.550528193021916
m(10) = 0.5452538381738173
所以（9）式显然成立 对（10）式我们有
n( x) -------------------------- q( x)
1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 − ⎝ 8d ⎠
1 ⎞ ⎛ ⎜1 − d ⎟ ⎝ 8 ⎠ 8 ⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ x ⎝4⎠
直积图的邻点可区别全染色
ｆ ｕ ） ｆ（ｖ ≠ （ ） （ｖ ， ｕ ） ；
Ｅ ）直 积图 ×Ｇ ， ２的顶 点集 为 ， × ， （ ， ） 点 “， ，
与 （ ２ｖ ） “ ，ｚ 相邻 当且 仅 当 Ｕ Ｕ ∈Ｅ１ 一 ∈ 或 １２ ，
者 Ｕ ＝“ ∈Ｖｌ Ｖ ∈Ｅ２ ｌ ２ ， ２ ．
（ Ｃｏｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｉ ｆｒ ｔｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｌ ｅｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｎｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ ｃ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ ｙ，Ｌａ ｈ ｕ ￣ ｏ ７ ０ ０，Ｃｈｉａ ３ ０７ ｎ）
ｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｎ Ｃ ｒｅ ｉｎ ｐ ｏ ｕ ｔＧＸ ｏｏ ｉ ｇ ｎ ｍｂ ｒｏ ａ ｔｓａ ｒ ｄ ｃ Ｐ ａ ｄ Ｇ× Ｃ ｗｈ ｒ ｗａ ｔ ｒ ｆｎ ｏ ｅ １ ｎ ｍ， ｅ ｅＧ ｓａｓａ ，ａ ｒｗｈ ｅ．
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｒｅ ｉ ｒ ｄ ｃ ｏ ｒｐ ｓ ｄａｅ ｔｖｒｅ ｉ ｉ ｕｓ ｉｇ ｔｔｌ ｏｏ ｉｇ ｄａｅ ｔｖ ｒｅ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｃ ｔｓ ｎ ｐｏ ｕ ｔ ｆ ａ ｈ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ｄｓ ｎ ｉ ｎ ｏａ ｌ ｎ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ａ ｇ ｔｇ ｈ ｃ ｒ
｛ （ ｗ） ａ０ ｆ ｕ ＩＴ ∈Ｅ（ ｝ｆ ｕ 表示 染边 Ｕ 的色 ， ． Ｇ） ， （ ｗ） Ｗ 且
参 照文 Ｅｉ ｌ．
定义 １ 对 图 Ｇ（ Ｅ） ｔ 正 整 数 ， ［ ］ Ｖ， ， 是 Ｓ是 ｔ
元集 ， 是 从 （ ＵＥ（ 到 Ｓ的映射 ． Ｇ） Ｇ） 如果
１ ）对 Ｖ ， ∈ Ｅ（ ， 制 Ｇ） “≠ ， ｆ（ ｖ ≠ 有 ｕ） ｆｖ ； （ｗ）
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第３ ４卷 第 ２期 ２０ 年 ４月 ０８
Ｅ ）直 积图 ×Ｇ ， ２的顶 点集 为 ， × ， （ ， ） 点 “， ，
与 （ ２ｖ ） “ ，ｚ 相邻 当且 仅 当 Ｕ Ｕ ∈Ｅ１ 一 ∈ 或 １２ ，
者 Ｕ ＝“ ∈Ｖｌ Ｖ ∈Ｅ２ ｌ ２ ， ２ ．
（ Ｃｏｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｉ ｆｒ ｔｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｌ ｅｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｎｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ ｃ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ ｙ，Ｌａ ｈ ｕ ￣ ｏ ７ ０ ０，Ｃｈｉａ ３ ０７ ｎ）
ｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｎ Ｃ ｒｅ ｉｎ ｐ ｏ ｕ ｔＧＸ ｏｏ ｉ ｇ ｎ ｍｂ ｒｏ ａ ｔｓａ ｒ ｄ ｃ Ｐ ａ ｄ Ｇ× Ｃ ｗｈ ｒ ｗａ ｔ ｒ ｆｎ ｏ ｅ １ ｎ ｍ， ｅ ｅＧ ｓａｓａ ，ａ ｒｗｈ ｅ．
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｒｅ ｉ ｒ ｄ ｃ ｏ ｒｐ ｓ ｄａｅ ｔｖｒｅ ｉ ｉ ｕｓ ｉｇ ｔｔｌ ｏｏ ｉｇ ｄａｅ ｔｖ ｒｅ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｃ ｔｓ ｎ ｐｏ ｕ ｔ ｆ ａ ｈ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ｄｓ ｎ ｉ ｎ ｏａ ｌ ｎ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ａ ｇ ｔｇ ｈ ｃ ｒ
｛ （ ｗ） ａ０ ｆ ｕ ＩＴ ∈Ｅ（ ｝ｆ ｕ 表示 染边 Ｕ 的色 ， ． Ｇ） ， （ ｗ） Ｗ 且
参 照文 Ｅｉ ｌ．
定义 １ 对 图 Ｇ（ Ｅ） ｔ 正 整 数 ， ［ ］ Ｖ， ， 是 Ｓ是 ｔ
元集 ， 是 从 （ ＵＥ（ 到 Ｓ的映射 ． Ｇ） Ｇ） 如果
１ ）对 Ｖ ， ∈ Ｅ（ ， 制 Ｇ） “≠ ， ｆ（ ｖ ≠ 有 ｕ） ｆｖ ； （ｗ）
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点可区别边色数的一个上界
大度△≥２的任 意图的点可 区别 边 色数 的上 界为
ｌ△． 中未加述及 的术语 和符号 可参见 文［］ ６ 文 ６．
定理 １ 对 任 一最 大 度 为 △ 的 图 Ｇ， △≥ ２ ，
有
ｘ Ｇ）≤ １ △ ． （ ６
Ｇ 的一个 七 点 可区别边 染色 ， 一 简记 为 ｋＶＤ Ｃ． － Ｅ 称
本文 所考虑 的图均 为连通 的、 限 的、 向的 无
简单 图．
（ 互 相 独立 （ 某个 Ｄ ￡ ． Ｄ ＵＡ ） 对 ） 如果 有 实数
ｚ ， … ， Ｏ １ 使 得 对 每 个 １ ｉ ｚ ， ｚ ∈［ ， ） ≤ ≤ ， ， Ｐ （ ） ｚ － （ 一ｚ ） 则 ￡中所 有 事件 都不 发生 Ａｉ ｉ １ ， ， ≤ Ｉ
很 困 难 的 问题 ．
引理 １ （ 般 局 部 引理 ） 虑 （ 型 的坏 ］ 一 考 典
Ａ ∈Ｄ ，
定义 １， 设 Ｇ是 阶数 至少 为 ２的简单 连通 Ｅ 图 ， 是 正 整数 ， ／是 从 Ｖ（ ＵＥ（ 到 ｛ ， ， 足 若 Ｇ） Ｇ） ｌ ２
…
，
七 的一 个映射 ，使 Ｖ“ ， Ｗ∈Ｅ（ （ ≠ ） ｆ ） ｌ Ａ Ｇ） ，
的概 率至少是Ⅱ （ 一ｚ） ． １ ＞Ｏ
ｌ ∈ Ｖ（ ）Ｕ Ｇ ，Ｖ∈ Ｅ（ ｝ 如果 是 ｋ 正 常 边 染色 ， 对 任 意 Ｕ ∈ Ｖ（ ， Ｃ “ ≠ Ｃ ， 么 称 为 图 Ｇ 的 Ｇ）． 一 且 ， Ｇ）有 （ ） （） 那
点 可 区 别边 染 色 （ 称 为 ｋＶ Ｃ ． ｘ Ｇ） ｍｉ｛ Ｇ有 ｋＶＤ Ｃ 称 为 图 Ｇ的点 可 区别 边 色 数 文 通 过 简 － ＤＥ ） 数 （ ： ｎ ｋｌ － Ｅ） 本
图的邻点强可区别全色数的新上界
３
＼●●●●－ 、＼
一
Ａ
２
萨
＼、 ● ● ● ／
２ ２
△
２
—
△
＋
１ ≥ １ ６△ ＋
△
≥
不妨 取 Ｍ ：Ｍ ＝２ ８ ， 则 容易 验证 对 于任 意 Ａ≥２ ， 上述 不等 式成 立
同理 ， 对式（ ２ ） 有：
（ 一 ） 。 （ 一 ） （ 一 ４ ＼ Ｊ ｚ Ａ ｆ Ｉ 卜
究 了 图 的 邻 点 强 可 区别 全 染 色 ， 得 到 了一 个 新 的色 数 上 界 ． 即证 明 了对 任 意 最 大 度 △／ ＞２的 图 Ｇ， Ｘ 。 ≤ ３ ２ Ａ ．
关键 词 ： 图论 ； 概率方法 ； 邻 点 强 可 区 别 全 染 色
中图分类号 ： Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ ０ ７ ９ ・ ０ ４
所 以对式 （ １ ） 有：
・
～ ２
≤
（ １ 一
～ 因此证 明 （ １ ） 只需要 证 ：
２
３
（ １ 一
一
一 １
一 ２
＼ 、 ● ● ● ● ，／
≥ （ ÷ ） 尝 ｉ
Ａ
— ４
㈡
Ａ ２
十 ４
Ａ
即证 ：
＼ 、●● ●● ／
）≠
）
）≠， （ “ ）≠， （ ）；
）；
（ ２ ） 对任 意两 相邻 的边 “ ， ｕ ∈ Ｅ（ Ｇ） （ ≠ ） Ｕ Ｗ）≠
（ ３ ） 对任 意 的边 “ Ｅ Ｅ（ Ｇ） ，其 端 点 的 色 集 合 满 足 Ｃ （ “ ）≠ Ｃ（ ） ， 其 中任 一 顶 点 ｕ的 色 集 合 为 Ｃ （ ）＝ ｛ － 厂 （ ） ｝ｕ ｛ ）Ｉ ｕ ∈Ｅ（ Ｇ ） ｝ｕ ｛ “ ）ｌ “ Ｅ Ｅ（ Ｇ ） ｝ ．则称 ，是 Ｇ图的一个 邻 点强 可 区别 的 全染 色法 （ 简记 为 一 Ａ Ｖ Ｓ ＤＴ Ｃ ） ， 且 称数 （ Ｇ ）＝ｍｉ ｎ ｛ ｋ Ｉ ｋ—Ａ Ｖ Ｓ ＤＴ Ｃ｝ 为 Ｇ的邻 点强 可 区别 的全色 数． 引理 １ （ 一般 局部 引理 ） 考虑（ 典 型 的坏 的 ） 事 件集 合 占 ＝ ｛ Ａ ， Ａ ： ， …， Ａ ｝ ， 对 每一个 Ａ （ １≤ ｉ ≤
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
毕业论文范例——mycielski图的染色问题
目录中文摘要------------------------------------------------------------------2 英文摘要------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------4 一、mycielski图的定义-----------------------------------------------------5 1． mycielski图的定义----------------------------------------------------52 . 广义mycielski图的定义-----------------------------------------------5二、mycielski图的染色问题-------------------------------------------------5(一)边色数----------------------------------------------------------------51. Mycielski图的边色数---------------------------------------------------52.广义Myc ielski 图的边色数----------------------------------------------6(二)邻强边色数------------------------------------------------------------61. Myciel ski 图的邻强边色数---------------------------------------------72. 广义Mycielski 图的邻强边色数------------------------------------------7 （三）全色数--------------------------------------------------------------81. Mycielski图的全色数--------------------------------------------------82. 广义Mycielski图的全色数---------------------------------------------9 （四）邻点可区别全色数----------------------------------------------------91.Mycielski 图的邻点可区别全色数---------------------------------------102.广义Mycielski图的邻点可区别全色数----------------------------------12 致谢--------------------------------------------------------------------13 参考文献----------------------------------------------------------------14Mycielski图的染色问题摘要：本论文总结了Mycielski 图及广义Mycielski 图关于染色问题的各方面定义和定理，主要包括边色数、邻强边色数、全色数、邻点可区别全色数的相关结论。
若干图的倍图的邻点可区别边_全_染色_何雪
Adjacent vertex-distinguishing edge / total colorings of double graph of some graphs
HE Xue，TIAN Shuangliang *
（ School of M athematics and Computer Science，Northw est University for Nationalities，Lanzhou 730030 ，Gansu，China） Abstract： Let G be a simple graph w ith vertex set V （ G ） and edge set E （ G ） ． An edgecoloring σ of G is called an adjacent vertex distinguishing edgecoloring of G if C σ （ u） ≠C σ （ v ） for any uv ∈E（ G ） ，w here C σ （ u） denotes the set of colors of edges incident w ith u． A totalcoloring σ of G is called an adjacent vertex distinguishing totalcoloring of G if S σ （ u） ≠S σ （ v ） for any uv ∈E（ G ） ，w here S σ （ u） denotes the set of colors of edges incident w ith u together w ith the color assigned to u． The minimum number of colors required for an adjacent vertexdistinguishing edgecoloring （ resp． totalcoloring ） of G is called adjacent vertexdistinguishing edge （ resp． total ） chromatic number，and denoted by χ' as （ G ） （ resp． χ at （ G ） ） ． The upper bounds for these parameters of the double graph D （ G ） of graph G are given in this paper． Specifically ，the exact value of these parameters for the double graph of complete graphs and trees are determined． Key words： double graph； adjacent vertexdistinguishing edge coloring ； adjacent vertexdistinguishing total coloring
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Ａｂｓ ｒ ｃ ｔ ａ ｔ： Ｉ ｗａｓｐｒ ｖｅ ｈａ ｖｅ ｙ ｇ ａ ｔ ｔ ｏ ｄ ｔ ｔｅ ｒ ｒ ｐｈ ｗｉｈ ｖｅ ｉｅ ｎｄ ｗ ｉｈ ｍ ａ ｍ ｕｍ ｇ ｅ Ａ ≥ ２ ｈａ ｅ ｔ ｘ ｄ ｓｉｇｕｉｈｎｇ ｔ ｒ ｃ ｓ ａ ｔ ｘｉ ｄｅ ｒ ｅ ｓ ａ ｖ ｒｅ ｉｔｎ ｓｉ
Ａ Ｎ ｉ ｇ ｑ ａ ｇ， Ｍ ＥＮ Ｇ ｉ ｎ — ｏ Ｍ ｎ — ｉｎ Ｘ ａ ｇｂ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｎ ｅＴａｊ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ＆ Ｔｃ ｎ ｌｇ ，ｉｎｉ ０ ４ ７Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｃ ，ｉｎｉ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｉｎｅ ｅ ｏＳ ｅ ｎ ｔ Ｓ ｅｈ ｏｏ ｙＴａｊ ３ ０ ５ ，ｈｎ ） ｎ
受 文 献 ［ ］ ６ ７ 的启 发 ， 鉴 文 献 ［】 概 率 方 法 改 进 图 借 ８用
的星色 数上 界 的经 验 ， 针对 点表示 Ｇ的 ｋ度顶 点 个 ｄｃ图 ／（ ） ７
ｌ， 、 ｒ ，
别 全染 色 ， 试应 用 概 率 方 法 ， 别 得 到 了其 色数 的 尝 分
收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ；修 回 日期 ：２ １一 — ６ ０ ０ ０— ０ ００ ｌ ２ １
基 金项 目 ：天 津 科 技 大 学 科 学 研 究 基 金 资 助 项 目 （０ ９ ２ ２ ２００２） 作者 简 介 ：安 明 强 （ ９２ ），男 ，甘 肃 灭 水 人 ，讲 师 ，ａｍｑ ｕ ｔｄ ． １８ 一 ｎ ＠ｔｓｅｕｃ ． ｎ
本 文 所 考 虑 的 均 为连 通 的 、 限 的 、 向的 简 有 兀
ｋ是 正整 数 ， 厂是 从 Ｖ Ｇ ＵＥ Ｇ 到 ｛ ２…，｝ 若 （ ） （ ） １ ， ｋ 的一 ，
单 冈． 文献 ［— ］ 罔 的点 可 区别 边 染 色 （ １ ３对 或称 强 边 染 色） 问题 进 行 讨 论 ， 到 了 许多 重 要 的结 果 ． 忠 辅 得 张 等 Ｉ 研究 图 的点 可 区 别 全染 色 ， 到 了某 些 特 殊 图 ４ Ｉ 得 的具 体 的点 可 区别 全 色数 ． 年来 ， 概 率 方 法 来研 近 用
，
） ．
，
事 １ ∑ ｒｉ≤ ｒ Ｊ 实１ 一 ＰＡＩＰ ｎ ． Ｊ （） ＼ Ｊ
ｉ１ ＝ ＼ ｉ１ ＝ ／
因为 ， （ ） （ ＝
）÷ 通过 ＝ ， 期望的 线性性
＝
／ ‘ ‘
Ｍａ ｋ ｖ 不 等 式 Ｉ 对 任 意 的正 随 机 变量 ， ｒｏ ９ ］ 有
Ｖｕ ∈ （ “≠ｖ Ｃ（ ） ， Ｇ）（ ）， “ ≠Ｃ（）， ｖ
（） Ｉ 对每两 条相邻 的边 Ｐ ｇ 令 ，，
如 ’
＝
一样
其中 Ｃｕ＝厂 ｝ ｛（ ）Ｅ ６， Ｅ ６｝ 贝 厂 （ ｛（ Ｕｆｕ ｌ （）Ｖ （）， ） ） ｖｖ Ｕ
称 为 Ｇ的一 个 ｋ 点 可 区别 全染 色 ， 一 简记 为 ｋ Ｖ Ｔ — Ｄ Ｃ．
ｌ ｌ 、 ／ ｔ
』 果和 ｃ） （ ｝ ｌ ”满足 （＝Ｖ ，如 “ｃ）
０ ， 否则
ｍ｛ ＋≥（ ｄＡ则 ｉ １ Ｇ ≤≤｝ 有 ｎ ） ｆ ｊ ， 《 ’
猜 想 ２５ 对 简单 图 Ｇ， （） ， （） 【 】 Ｉ ＧＩ 有 Ｇ ≤ ≥２
（ ≤ ｋ （ ＋１ Ｇ） ｒＧ） ．
ｍｅｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ．Ｉ ｗａ ａｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｖ ｒ ｒ ｐ ｗｉ ， ≥ ３ ｖ ｒｉｅ ａ ｄ ｓ ｌｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｅ ｅ ｇ ａ ｈ ｙ ｔ ｚ ｈ ｅｔｃ ｓ ｎ ｗｉ ｍａ ｉ ｍ ｄ ｇ ｅ Ａ ≥ １ ｈ ｓ ｅ ｔ ｘ ｔ ｈ ｘ ｍｕ ｅ ｒｅ ａ ａ ｖ ｒ ｅ
定义 ２ Ｊ 设 Ｇ是 阶数至少 是 ２ 的简单连通 图 ， ｌ ４ 后是 正 整 数 ， － 若 厂是从 ＶＧ） （ 到 ｛ ２…，｝ （ ＵＥ Ｇ） １ ， ｋ 的一 ， 个映射 ， 使得
Ｖ ｖ （ ）厂“ ≠＿ ｖ ｆ “ ≠． “） 厂Ｖ ； ｕ ｅＥ Ｇ ， （） 厂 ）， （） 厂 １≠ｈ ） ＿ （ （， （ Ｖ ｖＵ Ｅ （ ） ≠Ｗ ， （ｖ≠．（ ） ｕ ，ｗ Ｇ （ ｖ ） ｆ ｕ） ｆｕ ； ｗ
已 成 为 目前 困 际 上 比 较 热 门 的研 究 领 域 之 一 ．
Ｈａａ ［用 概 率 方 法 研 究 并 确 定 了 图 的邻 点 可 区别 ｔｍｉ ６ 边 色数 的 卜 为 △＋ ０ 刘信 生 等 用 概 率方 法 研 究 界 ３ ０． ｊ 并 确 定 了邻 点 可 区别 的 无 圈 边 色 数 的上 界 为 ３ Ａ． ２
上 界．
数． Ｊ ）ｍ ｛， 『 Ｇ，≤ｋ ｝ （） 令／Ｇ＝ ｉｌ：≥ ） ≤△， Ｇ称为 （ ｎ［ （ ｆ ｌ ｃ
图 Ｇ的组合 度 ， 然 、 ） （ ） 显 Ｇ ≥Ｈ Ｇ ． 猜 想 ｊ 设 Ｇ是 ｖｅ 图 ， （ ） 图 Ｇ的组 合 ｄｃ Ｇ 为
定义 １１ 设 Ｇ是 阶数 至少 是 ２的简 单连 通 图 ， 【 Ｊ
Ｔｗｏ Ｕｐｐｅ ｕｎ ｏ ｈｅＶｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈｉ — ｒＢｏ ｄｓｆ ｒｔ ｒ ｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｎｇ Ｅｄｇ ｅＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｏ ｔｃ Ｎｕｍ ｂｅ ｓａ ｒｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｉ — ｔ ｌＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｕ ｂｅ ｓ ｒ ｎｄ Ｖｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈ ｎｇ Ｔｏ ａ ｏ ｔｃＮ ｍ ｒ
该 引 理 多 用 于 是 正 整 数 值 且 Ｅ ） ， 有 （ ＜１ 则
尸， ＝０＞０ ． （ ） ．
不 等 式 ：Ｐ （ ｒＸ￣Ｏ ≤Ｅ Ｘ）， 以 只 需 证 Ｅ Ｘ） ） （ 所 （ ＋
（ ） 即可 ． ｙ＜１
由概 率论知识 可 知
厂 、 厂 ｔ ／ 、
首先 ， 计算
区 别 的 边 色数 ， ≤ ｎ （ 一１ ， ｎ≥ ３， （ Ｇ） Ａ ｎ ） 当 △≥ １ ， 点 可 区 别 的 全 色数 ｚ Ｇ） ２ Ａ ｎ ） 时 其 ， ≤ ｎ （ 一１ ． （ 关 键 词 ：边 染 色 ； 令染 色 ；点 可 Ｉ 边 色 数 ；点 可 区别 全 色数 ；慨 率 方 法 别 中 图分 类 号 ：Ｏ１７５ ５． 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：ｌ ７—５ ０ ２ １） １０ ７ —４ ６ ２６ １ （０ １０ —０ ５０
｛ ＝０ ， ，＝０ 且 ＝｛ ｝ Ａ ＝｛ ， ｝， ＞０ ＝ ｛＞０ ） ）， ｙ ｝， 即只需 证 尸 （ ｒ ＞０ ＋Ｐ （＞Ｏ＜Ｉ ） ｒＹ ） 即可 ． 又根 据 Ｍａｋ ｖ ｒｏ
引理 １］ （ 一矩量原理 ） 【 ９ 第 如果 Ｅ Ｘ） ， （ ≤ｔ 则
（ ≤ ，＞０ ） ．
・
７ ・ ６
天津科 技大 学学报 第 ２ 卷 第 １ ６ 期 （ 正常 ） 边染 色 ， 须使 以下两 点成立 ： 必 （） 常边染 色 ， １正
（） 意两个点 点可 区别 ． ２任 为此 ， 义如 下指标 变量 ： 定
度 ， ＸＡＧ ： Ｇ ， 则 ｖ ） （ ） 或者 （ ） （ ＋１ ＇ Ｇ ＝ Ｇ） ．
并令 ＝ ∑ ，， 注意到 即是不满足正常
边染 色 的相邻边 对 的数量 ． （ ） 在两个 点 “ ｖ 令 Ｉ存 Ｉ ，，
ｙ ：
称ｍｎ ｌ ｋ Ｖ Ｔ ｝ ｉｋ ￣ — Ｄ Ｃ 为Ｇ的点可区别全色数， ｛ａ 记
为 （ ． Ｇ）
令 ｎ（ ） 示 Ｇ 的 ｄ度 顶 点 的 个 数 ， ｋ（ ） ａＧ 表 令 ＴＧ ＝
究 图 的染 色 问题 ， 到 了 国 内外学 术 界 的普 遍 关 注 ， 受
个 映 射 ， 得 Ｖ ｖ，Ａ Ｅ （ （≠ｗ ，厂“） （ｗ 使 ｕ Ｉ Ｇ） Ｗ ） ｌ ｖ≠ｆ ｕ ）； （
Ｖ ｖ （ ） ｖ ， （） Ｃ ｖ ， ． ∈ＶＧ （ ≠ ） Ｃｕ ≠ （ 其中 Ｃｕ＝ 厂 ｖ ） （ ｔ（ ） ） Ｉ
ｅ ｇ ｏｏ ｉｇ ｗｉ ｔｍｏ ｔ Ａ（ ｄ ｅｃ ｌｒ ｔ ａ ｓ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｆ ｓ ｍｅ ｔｐ ｉｃｐｅａ ｄ Ｍａｋ ｖＳｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｒ ｂ ｂｌ ｔｃ ｎ ｈ ） ｏｏｓｂ ｓｎ ｈ ｉ ｔｍｏ ｎ ｒｎ ｉｌ ｎ ｒ ｏ ’ ｎ ｑ ａｉ ｆｐ ｏ ａ ｉｓｉ ｒ ｔ ｉ
１ （ ） Ｖ （ ） ， ｆ称 为 Ｇ的一 个 ｋ一 可 区别 ， Ｇ， ＠ Ｇ｝ 则 ∈ Ｈ 点
边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ 称 ｍｎｋＧ — Ｄ Ｃ． ｉ｛ｌ存在 Ｖ Ｅ ｝ 一 Ｄ Ｃ
为 Ｇ 的 点 可 区别 边 色 数 （ 称 为 强 边 色 数 ） 记 为 或 ， （ ）（ Ｇ 或 （ ） ． Ｇ） 显 然 ， 个 图 Ｇ具有 点 可 区别 的边染 色 当且仅 当 一 图 Ｇ是没 有 孤 立边 ， 最 多 有一 个 孤立 点 的 图． 样 且 这 的 图称 为 ｖ ｅ 图． ｄｃ
ｄ ｓｉｇ ｉ ｉｇｔｔｌ ｏｏ ｉｇｗｉ ｔ ｓ ２ Ａ（ ｉｔ ｕｓ ｎ ａ ｌｒ ｔ ａ ｔ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ． ｎ ｈ ｏ ｃ ｎ ｈ ｍｏ ） ｏｏ ｓ
Ｋｅ ｙｗｏｒ ｄｓ： ｅ ｅ ｏｌ ｉ ｄｇ ｃ ｏｒｎｇ； ｔ ｔ ｌ ｏｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｏｒｎｇ； ｖｅ ｅ ｄ ｓｉ ｕｉｈ ｎ ｅ ｇｅ ｈ ｏｍ ａｉ ｎ ｔ ｒ ｘ ｉｔｎｇ ｓ ｉ ｇ ｄ ｃ ｒ ｔｃ ｕｍｂｅ ｒ； ｖ ｒｅ ｄｉｔｎ ｉｈｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｘ ｔ ｓｉ ｇｕ ｓ ｎｇ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂ ｒ ｐｒ ｂａ ｌｓｉ ｅｈｏ ｈｒ ｍ ｔｃｎ ｅ； ｏ ｂｉｉｔｃｍ ｔ ｄ
２ ｄ（ ｎ ｎ—ｎ ２
１
确 定一 般 图的点可 区别 边 （ ） 数 的上 界 ， 全 色 对于 特殊 图的点 可 区别 边 （ 色 数 的确 定 ， 全） 具有 非常 重要
并令Ｙ ∑ ＝
， 注意到Ｙ即是不满足任意两
点点可 区别 的点 对 的数量 ． 现 只要证 （ ＝０ 且Ｙ：０＞０， 根据事 实 １ ） 又 可得 Ｐ （ ＝Ｏ ， ０ ≥１ ［ Ｊ Ｊ 且）＝ ） 一 Ｐ （ ） 一， ｏ ＞０（ ４ ＝ ＞０＋ （＝ ） 】＞ 】 令
Ａ Ｎ ｉ ｇ ｑ ａ ｇ， Ｍ ＥＮ Ｇ ｉ ｎ — ｏ Ｍ ｎ — ｉｎ Ｘ ａ ｇｂ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｎ ｅＴａｊ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ＆ Ｔｃ ｎ ｌｇ ，ｉｎｉ ０ ４ ７Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｃ ，ｉｎｉ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｉｎｅ ｅ ｏＳ ｅ ｎ ｔ Ｓ ｅｈ ｏｏ ｙＴａｊ ３ ０ ５ ，ｈｎ ） ｎ
受 文 献 ［ ］ ６ ７ 的启 发 ， 鉴 文 献 ［】 概 率 方 法 改 进 图 借 ８用
的星色 数上 界 的经 验 ， 针对 点表示 Ｇ的 ｋ度顶 点 个 ｄｃ图 ／（ ） ７
ｌ， 、 ｒ ，
别 全染 色 ， 试应 用 概 率 方 法 ， 别 得 到 了其 色数 的 尝 分
收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ；修 回 日期 ：２ １一 — ６ ０ ０ ０— ０ ００ ｌ ２ １
基 金项 目 ：天 津 科 技 大 学 科 学 研 究 基 金 资 助 项 目 （０ ９ ２ ２ ２００２） 作者 简 介 ：安 明 强 （ ９２ ），男 ，甘 肃 灭 水 人 ，讲 师 ，ａｍｑ ｕ ｔｄ ． １８ 一 ｎ ＠ｔｓｅｕｃ ． ｎ
本 文 所 考 虑 的 均 为连 通 的 、 限 的 、 向的 简 有 兀
ｋ是 正整 数 ， 厂是 从 Ｖ Ｇ ＵＥ Ｇ 到 ｛ ２…，｝ 若 （ ） （ ） １ ， ｋ 的一 ，
单 冈． 文献 ［— ］ 罔 的点 可 区别 边 染 色 （ １ ３对 或称 强 边 染 色） 问题 进 行 讨 论 ， 到 了 许多 重 要 的结 果 ． 忠 辅 得 张 等 Ｉ 研究 图 的点 可 区 别 全染 色 ， 到 了某 些 特 殊 图 ４ Ｉ 得 的具 体 的点 可 区别 全 色数 ． 年来 ， 概 率 方 法 来研 近 用
，
） ．
，
事 １ ∑ ｒｉ≤ ｒ Ｊ 实１ 一 ＰＡＩＰ ｎ ． Ｊ （） ＼ Ｊ
ｉ１ ＝ ＼ ｉ１ ＝ ／
因为 ， （ ） （ ＝
）÷ 通过 ＝ ， 期望的 线性性
＝
／ ‘ ‘
Ｍａ ｋ ｖ 不 等 式 Ｉ 对 任 意 的正 随 机 变量 ， ｒｏ ９ ］ 有
Ｖｕ ∈ （ “≠ｖ Ｃ（ ） ， Ｇ）（ ）， “ ≠Ｃ（）， ｖ
（） Ｉ 对每两 条相邻 的边 Ｐ ｇ 令 ，，
如 ’
＝
一样
其中 Ｃｕ＝厂 ｝ ｛（ ）Ｅ ６， Ｅ ６｝ 贝 厂 （ ｛（ Ｕｆｕ ｌ （）Ｖ （）， ） ） ｖｖ Ｕ
称 为 Ｇ的一 个 ｋ 点 可 区别 全染 色 ， 一 简记 为 ｋ Ｖ Ｔ — Ｄ Ｃ．
ｌ ｌ 、 ／ ｔ
』 果和 ｃ） （ ｝ ｌ ”满足 （＝Ｖ ，如 “ｃ）
０ ， 否则
ｍ｛ ＋≥（ ｄＡ则 ｉ １ Ｇ ≤≤｝ 有 ｎ ） ｆ ｊ ， 《 ’
猜 想 ２５ 对 简单 图 Ｇ， （） ， （） 【 】 Ｉ ＧＩ 有 Ｇ ≤ ≥２
（ ≤ ｋ （ ＋１ Ｇ） ｒＧ） ．
ｍｅｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ．Ｉ ｗａ ａｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｖ ｒ ｒ ｐ ｗｉ ， ≥ ３ ｖ ｒｉｅ ａ ｄ ｓ ｌｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｅ ｅ ｇ ａ ｈ ｙ ｔ ｚ ｈ ｅｔｃ ｓ ｎ ｗｉ ｍａ ｉ ｍ ｄ ｇ ｅ Ａ ≥ １ ｈ ｓ ｅ ｔ ｘ ｔ ｈ ｘ ｍｕ ｅ ｒｅ ａ ａ ｖ ｒ ｅ
定义 ２ Ｊ 设 Ｇ是 阶数至少 是 ２ 的简单连通 图 ， ｌ ４ 后是 正 整 数 ， － 若 厂是从 ＶＧ） （ 到 ｛ ２…，｝ （ ＵＥ Ｇ） １ ， ｋ 的一 ， 个映射 ， 使得
Ｖ ｖ （ ）厂“ ≠＿ ｖ ｆ “ ≠． “） 厂Ｖ ； ｕ ｅＥ Ｇ ， （） 厂 ）， （） 厂 １≠ｈ ） ＿ （ （， （ Ｖ ｖＵ Ｅ （ ） ≠Ｗ ， （ｖ≠．（ ） ｕ ，ｗ Ｇ （ ｖ ） ｆ ｕ） ｆｕ ； ｗ
已 成 为 目前 困 际 上 比 较 热 门 的研 究 领 域 之 一 ．
Ｈａａ ［用 概 率 方 法 研 究 并 确 定 了 图 的邻 点 可 区别 ｔｍｉ ６ 边 色数 的 卜 为 △＋ ０ 刘信 生 等 用 概 率方 法 研 究 界 ３ ０． ｊ 并 确 定 了邻 点 可 区别 的 无 圈 边 色 数 的上 界 为 ３ Ａ． ２
上 界．
数． Ｊ ）ｍ ｛， 『 Ｇ，≤ｋ ｝ （） 令／Ｇ＝ ｉｌ：≥ ） ≤△， Ｇ称为 （ ｎ［ （ ｆ ｌ ｃ
图 Ｇ的组合 度 ， 然 、 ） （ ） 显 Ｇ ≥Ｈ Ｇ ． 猜 想 ｊ 设 Ｇ是 ｖｅ 图 ， （ ） 图 Ｇ的组 合 ｄｃ Ｇ 为
定义 １１ 设 Ｇ是 阶数 至少 是 ２的简 单连 通 图 ， 【 Ｊ
Ｔｗｏ Ｕｐｐｅ ｕｎ ｏ ｈｅＶｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈｉ — ｒＢｏ ｄｓｆ ｒｔ ｒ ｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｎｇ Ｅｄｇ ｅＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｏ ｔｃ Ｎｕｍ ｂｅ ｓａ ｒｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｉ — ｔ ｌＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｕ ｂｅ ｓ ｒ ｎｄ Ｖｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈ ｎｇ Ｔｏ ａ ｏ ｔｃＮ ｍ ｒ
该 引 理 多 用 于 是 正 整 数 值 且 Ｅ ） ， 有 （ ＜１ 则
尸， ＝０＞０ ． （ ） ．
不 等 式 ：Ｐ （ ｒＸ￣Ｏ ≤Ｅ Ｘ）， 以 只 需 证 Ｅ Ｘ） ） （ 所 （ ＋
（ ） 即可 ． ｙ＜１
由概 率论知识 可 知
厂 、 厂 ｔ ／ 、
首先 ， 计算
区 别 的 边 色数 ， ≤ ｎ （ 一１ ， ｎ≥ ３， （ Ｇ） Ａ ｎ ） 当 △≥ １ ， 点 可 区 别 的 全 色数 ｚ Ｇ） ２ Ａ ｎ ） 时 其 ， ≤ ｎ （ 一１ ． （ 关 键 词 ：边 染 色 ； 令染 色 ；点 可 Ｉ 边 色 数 ；点 可 区别 全 色数 ；慨 率 方 法 别 中 图分 类 号 ：Ｏ１７５ ５． 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：ｌ ７—５ ０ ２ １） １０ ７ —４ ６ ２６ １ （０ １０ —０ ５０
｛ ＝０ ， ，＝０ 且 ＝｛ ｝ Ａ ＝｛ ， ｝， ＞０ ＝ ｛＞０ ） ）， ｙ ｝， 即只需 证 尸 （ ｒ ＞０ ＋Ｐ （＞Ｏ＜Ｉ ） ｒＹ ） 即可 ． 又根 据 Ｍａｋ ｖ ｒｏ
引理 １］ （ 一矩量原理 ） 【 ９ 第 如果 Ｅ Ｘ） ， （ ≤ｔ 则
（ ≤ ，＞０ ） ．
・
７ ・ ６
天津科 技大 学学报 第 ２ 卷 第 １ ６ 期 （ 正常 ） 边染 色 ， 须使 以下两 点成立 ： 必 （） 常边染 色 ， １正
（） 意两个点 点可 区别 ． ２任 为此 ， 义如 下指标 变量 ： 定
度 ， ＸＡＧ ： Ｇ ， 则 ｖ ） （ ） 或者 （ ） （ ＋１ ＇ Ｇ ＝ Ｇ） ．
并令 ＝ ∑ ，， 注意到 即是不满足正常
边染 色 的相邻边 对 的数量 ． （ ） 在两个 点 “ ｖ 令 Ｉ存 Ｉ ，，
ｙ ：
称ｍｎ ｌ ｋ Ｖ Ｔ ｝ ｉｋ ￣ — Ｄ Ｃ 为Ｇ的点可区别全色数， ｛ａ 记
为 （ ． Ｇ）
令 ｎ（ ） 示 Ｇ 的 ｄ度 顶 点 的 个 数 ， ｋ（ ） ａＧ 表 令 ＴＧ ＝
究 图 的染 色 问题 ， 到 了 国 内外学 术 界 的普 遍 关 注 ， 受
个 映 射 ， 得 Ｖ ｖ，Ａ Ｅ （ （≠ｗ ，厂“） （ｗ 使 ｕ Ｉ Ｇ） Ｗ ） ｌ ｖ≠ｆ ｕ ）； （
Ｖ ｖ （ ） ｖ ， （） Ｃ ｖ ， ． ∈ＶＧ （ ≠ ） Ｃｕ ≠ （ 其中 Ｃｕ＝ 厂 ｖ ） （ ｔ（ ） ） Ｉ
ｅ ｇ ｏｏ ｉｇ ｗｉ ｔｍｏ ｔ Ａ（ ｄ ｅｃ ｌｒ ｔ ａ ｓ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｆ ｓ ｍｅ ｔｐ ｉｃｐｅａ ｄ Ｍａｋ ｖＳｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｒ ｂ ｂｌ ｔｃ ｎ ｈ ） ｏｏｓｂ ｓｎ ｈ ｉ ｔｍｏ ｎ ｒｎ ｉｌ ｎ ｒ ｏ ’ ｎ ｑ ａｉ ｆｐ ｏ ａ ｉｓｉ ｒ ｔ ｉ
１ （ ） Ｖ （ ） ， ｆ称 为 Ｇ的一 个 ｋ一 可 区别 ， Ｇ， ＠ Ｇ｝ 则 ∈ Ｈ 点
边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ 称 ｍｎｋＧ — Ｄ Ｃ． ｉ｛ｌ存在 Ｖ Ｅ ｝ 一 Ｄ Ｃ
为 Ｇ 的 点 可 区别 边 色 数 （ 称 为 强 边 色 数 ） 记 为 或 ， （ ）（ Ｇ 或 （ ） ． Ｇ） 显 然 ， 个 图 Ｇ具有 点 可 区别 的边染 色 当且仅 当 一 图 Ｇ是没 有 孤 立边 ， 最 多 有一 个 孤立 点 的 图． 样 且 这 的 图称 为 ｖ ｅ 图． ｄｃ
ｄ ｓｉｇ ｉ ｉｇｔｔｌ ｏｏ ｉｇｗｉ ｔ ｓ ２ Ａ（ ｉｔ ｕｓ ｎ ａ ｌｒ ｔ ａ ｔ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ． ｎ ｈ ｏ ｃ ｎ ｈ ｍｏ ） ｏｏ ｓ
Ｋｅ ｙｗｏｒ ｄｓ： ｅ ｅ ｏｌ ｉ ｄｇ ｃ ｏｒｎｇ； ｔ ｔ ｌ ｏｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｏｒｎｇ； ｖｅ ｅ ｄ ｓｉ ｕｉｈ ｎ ｅ ｇｅ ｈ ｏｍ ａｉ ｎ ｔ ｒ ｘ ｉｔｎｇ ｓ ｉ ｇ ｄ ｃ ｒ ｔｃ ｕｍｂｅ ｒ； ｖ ｒｅ ｄｉｔｎ ｉｈｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｘ ｔ ｓｉ ｇｕ ｓ ｎｇ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂ ｒ ｐｒ ｂａ ｌｓｉ ｅｈｏ ｈｒ ｍ ｔｃｎ ｅ； ｏ ｂｉｉｔｃｍ ｔ ｄ
２ ｄ（ ｎ ｎ—ｎ ２
１
确 定一 般 图的点可 区别 边 （ ） 数 的上 界 ， 全 色 对于 特殊 图的点 可 区别 边 （ 色 数 的确 定 ， 全） 具有 非常 重要
并令Ｙ ∑ ＝
， 注意到Ｙ即是不满足任意两
点点可 区别 的点 对 的数量 ． 现 只要证 （ ＝０ 且Ｙ：０＞０， 根据事 实 １ ） 又 可得 Ｐ （ ＝Ｏ ， ０ ≥１ ［ Ｊ Ｊ 且）＝ ） 一 Ｐ （ ） 一， ｏ ＞０（ ４ ＝ ＞０＋ （＝ ） 】＞ 】 令