近完全图的邻点可区别正常边色数

高校应用数学学报 2018, 33(3): 324-330

近完全图的邻点可区别正常边色数陈祥恩^李泽鹏2* *(1.西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070;2.兰州大学信息科学与工程学院，甘肃兰州730000)

摘要：引入了近完全图的概念，并根据其结构特征，给出了近完全图的邻点可区别正常边色数.该结果揭示了完全图中删去一个匹配后其邻点可区别正常边色数的变化情况.关键词：完全图；近完全图；匹配；邻点可区别正常边染色；邻点可区别正常边色数中图分类号：O157.5文献标识码：A 文章编号：1000-4424(2018)03-0324-07

§1引言设G为有限，无向的简单图，5(G), A(G)分别表示G的最小度和最大度，C = {1，2,...，fc}为 颜色集合.设映射/ ：丑(G) C是图G的一个fc-正常边染色，对任意的r e ^(G)，令57(4 ={/(_) | _ e E(G)},称㈦为顶点r在/下的色集合.记及七）=C - 5>(外若G中任意相邻 顶点的色集合不同，即对e y(G)，_ e E(G),有57⑷=SV(r)(即=5^))，贝/称 为G的fc-邻点可区别正常边染色(简称为fc-AVDPEC),数x;(G) = min{fc | G有一个fc-AVDPEC} 称为G的邻点可区别正常边色数.图的点可区别正常边染色在文献[1-2]中已研究过.张忠辅等在文[3]中提出了图的邻强边染 色(即邻点可区别正常边染色)的概念，并对一些特殊图类做了研究，同时给出了下面的猜想.猜想1.1[3]设G为阶数至少是6的简单连通图，则尨(G) S A(G)+2.围绕猜想1.1，图的邻点可区别正常边染色问题被广泛研究.Balister等在文[4]中证明了猜 想1.1对二部图或最大度不超过3的图成立；Wang等在文[5]中证明了猜想1.1对最大度大于3且 最大平均度小于3的图成立.Hornak, Huang和Wang在文[6]中证明了猜想1.1对A(G) 2 12的 平面图G成立.对于一般图，Hatami在文[7]中利用概率方法得到了对A(G) > 1020的图G, 有尨(G) S A(G) + 300.此结果被Wang和Li间改进到尨(G) S A(G) + 180,其中A(G) > 1015. Wang等在文[9]中证明了xKG) S 2.5A(G)；此后被VuCkovi#0]改进到2A(G)+ 2.另外，也有

收稿日期：2017-10-25 修回日期：2018-02-02*通讯作者，E-mail: lizp@lzu.edu.cn基金项目：国家自然科学基金(11761064; 61672050; 61163037);兰州大学中央高校基本科研业务费专项资 金(lzujbky-2018-37)陈祥恩等：近完全图的邻点可区别正常边色数325许多学者研究了满足S A(G) + 1的图G的类型，如有最大度限制的平面二部图[11-13],不 含3-圈的平面图[14],最大度大于4的2-退化图[15]等.n个顶点的完全图记为.若图G的最小度5(G) = |^(G)| -2,则称G为近完全图.显然， n个顶点的近完全图G可以表示为- M，其中财为冗„的一个匹配.本文讨论了近完全图的邻点可区别正常边染色，给出了冗„ -M的邻点可区别正常边色数. 引理1.2[3]对任何阶数至少为3的连通图G,有尨(G) 2 A(G);若G中存在相邻的最大度 点，则<(G) 2 A(G) + 1.引理1.3[1]对n阶完全图K„(n 2 3),有

,(K ) f n, n = 1 (mod 2)；n + 1, n = 0 (mod 2).

设/为图G的一个正常边染色，记为G中所有色集合的对称差.由于G中每条 边上的颜色恰好出现在两个顶点(这条边的两个端点）的色集合中，因此有®(4 = 0. 本文中未加说明的名词及术语见文献[16].

§2主要结果

引理2.1设M为完全图K2m(rn 2 2)的一个匹配，若f <|M| < m，则K2m - M存在2m- AVDPEC.证设V(K2f ) = {叫 | 1 <<< 2m},五(K2f) = {w，| 1 <<< j < 2m}+ 首先，给出K2f的一个使用的颜色为1,2，...，2m的正常边染色/.将W1，W2，. + .，2f依次逆时针摆放在一 个正(2m)-边形的顶点上，并且i) 边叫叫+1以及平行于线叫叫+1的所有边全用颜色m十 < 去染，< =1，2,…，m;ii) 与直线WjWf+j垂直且平分的所有边全用颜色i去染，i = 1，2,...，m.则有(叫）=S，(Wf+$) = {<},< = 1，2,…，m.情形1 若晉<|M| < f.设乂 = {|从| | f < |从| < f}, r = |乂|.假设乂 = {a0, a1, , ^ — 1},满足< ... <_1.情形 1.1 m = 0 (mod 3).对任意乂，有叫=f十^0 < f < r - 1.在上述图K2f中，设边集五1 = {Wf+1Wf+3,Uf+4^f+6, ... , U2f — 6t — 2U2f—6t, ^2f—6t+1^2f—6t+2, ^2f — 6t+3W2f—6t+4, ... , ^2f — 1^2f },则五1为K2f的一个匹配，且|五1| = 2f-36t—f十f = f = at.令M =五1,在K2f中删去M中所有的边及其边上的颜色，再将边Wf+3_j+1Wf+3_j+2上的颜色换为3i十2, i = 0,1,... , f3 3 — 2t, 所得到的染色记为仏则g为K2f -M的一个正常(2m)-边染色，且满足：当1 < j < m时，&(%) = {j};当m 十1 < j < 2m — 时，

f {j,j - m}, j 三1 (mod 3);Sg (uj) = l {j - 1}, j 三 2 (mod 3);{j - m - 1,j - m}, j 三 0 (mod 3).326高校应用数学学报第33卷第3期当2m — 6尤 + 1 S j S 2m时，S ( A i {j,j — m}, j = 1 (mod

2);

{j — 1,j — m}, j = 0 (mod 2).

易验证上述任意两个集合互不相同，故3为M的一个(2m)-AVDPEC.情形 1.2 m = 1 (mod 3).对任意G式有％ = m+2 +久0 S尤S r — 1.在上述图兄2m中，设边集五1 = {"^m+lWm+S，Um+4Um+6,''',U2m — 6t — 6U2m—6t—4,U2m — 6t—3U2m—6t—2,U2m—6t — lU2m—6t,''',U2m—lU2m},则丑1为兄2m的一个匹配，且|丑l| = ^^t—4—m +年=^ + t = 〇t.令M =丑1,在K2m中删 去M中所有边及其边上的颜色，再将边Um十3i+lUm+3i+2上的颜色换为3i + 2，i = 0, 1,…，m—7 — 2尤，所得到的染色记为3,则3为冗2m -M的一个正常(2m)-边染色，且满足：当1 S j S m时，Ss(u.) = {j};当m + 1 S j S 2m — 6尤一4时，

f {j,j — m}, j 三 2 (mod 3);Sg (uj) = l {j — 1}, j = 0 (mod 3);{j — m — 1,j — m}, j = 1 (mod 3).

当2m — 6尤一3 S j S 2m时，S ( .、= J {j,j — m}, j = 1 (mod 2);{j — 1,j — m}, j = 0 (mod 2).

易验证上述任意两个集合互不相同，故3为K2m - M的一个(2m)-AVDPEC.情形 1.3 m = 2 (mod 3).对任意〇t G 有at = m十十1 + ^ 0 S尤S r — 1.在上述图兄2m中，设边集五1 = {Um十lUm十3,Um+4Um+6，• • •，u2m —6t—4U2m—6t —2, u2m —6t—1U2m—6t, u2m—6t+1U2m—6t+2, • • • , u2m—1U2m

},

则丑1为兄2m的一个匹配，且|丑1| = 2m—6tT2—m + 6十2 =辛+ i = at.令M =丑1,在K2m中删 去M中所有边及其边上的颜色，再将边Um十3i+1Um十3i十2上的颜色换为3*+ 2, * = 0, 1,…，宁— 2尤，所得到的染色记为3,则3为冗2m -M的一个正常(2m)-边染色，且满足：当1 S j S m时，Sg(Uj) = {j};当m + 1 S j S 2m — 6尤一2时，

f {j,j — m}, j = 0 (mod 3);Sg (uj) = l {j — 1}, j = 1 (mod 3);l {j — m — 1,j — m}, j = 2 (mod 3).

当2m — 6t — 1 S j S 2m时，{j,j — m}, j = 1 (mod 2);{j — 1,j — m}, j = 0 (mod 2).

易验证上述任意两个集合互不相同，故3为^2m - M的一个(2m)-AVDPEC.