Wm∨C4的点可区别正常边色数

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两类3正则图的邻点可区别E全染色

ｍ
Ｖ（Ｒ，，）一｛７３。ｌｔ一１，２，… ，忌｝ＵＵ｛ｌ一１，２， …，２一・）；
①
收稿日期：２Ｏｌ１一Ｏ６—２０基金项目：甘肃省自然科学基金（０９６ＲＪＺＥ１０６）；天水师范学院中青年教师科研资助项目（ＴＳＹ２０１２０６）作者简介：杨随义（１９７７一），男，甘肃天水人，硕士，副教授，主要从事代数图论与染色．
定义２＿７设Ｇ是阶至少为２的连通图，，是图Ｇ的使用颜色为１，２，… ，是的全染色．如果Ｇ的任意
相邻的点染不同的颜色，并且Ｇ的任意点与该点相关联的所有边的颜色不同，那么称－厂为Ｇ的Ｅ一全染色．设，是Ｇ的Ｅ一全染色，对３２ ∈ Ｖ（Ｇ），令Ｃ（ｚ）表示在厂下点ｚ的颜色及与关联的全体边的颜色构成的集合，称之为在，下点ｚ的色集合．如果对ＶＵ＂Ｕ∈ Ｅ（Ｇ），有Ｃ（ “ ）≠ ｃ（），则－厂称为Ｇ的忌一邻点可区别Ｅ一全染色（简记为ｋ－ＡＶＤＥＴ染色）．称ｅ（Ｇ）一ｍｉｎ｛是ＩＧ有尼～邻点可区别Ｅ一全染色｝为Ｇ的邻点可
ｉ＝１ｍ１
Ｅ（Ｇ … ）一｛０￡甜１，３卜２，ｏ１，３卜１，０１ｌｔ —ｌ，２，… ，志｝ＵＵ｛ “ “ 汁１，２ｒｌ，【７汁ｌ，２，ＩＪ一１，２，… ，

Fm∨Pn的点可区别边色数

果，提出了有关猜想［．文研究了ＦＶＰ并２本］的点可区别边染色，出Ｆ给ＶＰ的点可区别边色数．
定义１］设厂图Ｇ的一个是一是正常边染色，且满足ＶＵ ∈Ｖ（，≠ ，中Ｃ（）Ｃ）则，Ｇ） “ 其 “≠ （；
Ｖ（）ＧＶＨ一Ｖ（ＵＶ（）Ｅ（一Ｅ（ＵＥ（）｛Ｖ ∈Ｖ（， ∈Ｖ（），Ｇ）Ｈ，ＧＶＨ）Ｇ）ＨＵＵｌＵＧ）＂／ｄＨ｝
则称ＧＶＨ是Ｇ与Ｈ的联图．在这篇文章里我们研究了Ｆ的点可区别边染色，出了Ｆ的点可区别边色数．中没ＶＰ给ＶＰ文
有加说明的术语和记号可参见Ｅｉｌ．
２主要结论
引理１Ｅ对 ≥３的阶完全图Ｋ有，
ｃ一 ’：ｄＫ｛１三ｍ２ ’￣。．ｏ，０（）
记
Ｖ（一｛ｉ０１ … ，｝Ｆ）Ｕ１一，，，
Ｅ（一｛ｏｆｉ１ … ，｝ＵＵ＋ｌ一１ … ，一１，Ｆ）Ｕ一，Ｕ｛ｆｆｌＵｌ，｝Ｖ（一｛ｌ一１２ … ，，Ｅ（｛Ｐ）Ｊ，，｝Ｐ）
以下总设ｍ≥ ２１，≥ ．
［稿日期］２０ —１１收０６０ —６
称．是图Ｇ的点可区别边染色，厂简记为是ＶＤＥｆ而（一ｒｉ｛是一一ＣｏＧ，Ｇ）ａｎ是ｌＶＤＥｆ称为Ｇ的点ＣｏＧ｝
可区别边色数，中Ｃ（）｛（ｗ）ｕ其 “ 一厂ｕｌｗ６Ｅ（｝Ｇ）．显然，对于ｌＧ） ≥ ３的连通图，（存在．Ｖ（ｌＧ）猜想［卜若Ｇ是一个连通图，ｌＧ） ≥ ３那么（ ≤ （ ≤ （＋１且Ｖ（ｌ，Ｇ）Ｇ）Ｇ）．定义２４设Ｇ和Ｈ是点边都不相交的简单图，Ｉ］

图的色数与其补图边色数的关系

图的色数与其补图边色数的关系
关于图的色数与其补图边色数的关系，将不失为一个相当有趣而又重要的课题。

据统计，有关图的色数与其补图边色数问题近年来已经引起了许多学者、专家以及商业市场研究者的关注，使人们受益良多。

图的色数，以及其补图边色数的变化，是指当图被给定基础颜色时，其补图边
的颜色数发生的变化。

由于不同的绘图技术，究其原因可能有很多。

在讨论图的色数与其补图边色数之前，首先要明确图和其补图边之间的关系。

图和其补图边是一种相对表达关系。

它们可以划分为两个部分，即图和它的补
图边。

图由连接图节点的边构成，而补图边则是将所有节点连接起来的边。

它们之间的关系，是“每一条补图边都需要使用一种图色，以便将图着色”，而没有存在多余的图色。

因此，在研究图的色数与其补图边色数时，首先要明确图和其补图边之间的关系，并确定每一种颜色在图和其补图边之间的影响。

根据不同的绘图技术，研究者们经常利用各种算法、方法，尤其是基于排序的算法来优化着色结果，以最少的图色即可着色图的全部节点。

换句话说，当采用一种恰当的算法时，有关图的色数与其补图边色数的变化就
得以较容易地控制，从而使得着色的效果得到极大的提升。

比如，采用最小着色问题的贪心算法，人们可以较容易地求解出给定图中补图边最少要使用多少种不同颜色，从而实现有效的着色。

总之，图的色数与其补图边色数是一个相当重要的问题，研究发现，采用恰当
的算法以及着色技术，可以极大的提高给定图的着色效果，使着色效果变得更优秀、更准确、更高效。

因此，在实际应用中，运用图的色数与其补图边色数研究当中取得的成果是十分重要的。

有关图的染色问题的研究

j 2 1
nj j 1
.
引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色，所以对任意图 G 的边色数有 ' G ，其中指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理：任意(简单，无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里，人们一直在为解决简单图的分类问题做着不懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是第一类的。对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为临界图( ≥3) ,则 n 2

完全图的点可区别强全染色算法

ｐｒｐｓｓａｅｓｒｎｅｅ — ｉｔｇｉｈｉｇｏａｃｌｒｎａｇｒｔｏｏｅｎｗｔｏｇｖｒｘｄｓｉｕｓｎｔｔｌｏｏｉｇｌｏｉｔｎｈｍ．Ｔｌｏｉｍｉｉｅｈｆｌｄｏｏｓｉｔｔｐｒｓｖｒｏｏｎｄｈｅａｇｒｔｈｄｖｄｓｔｅｉｌｃｌｒｎｏｗｏａｔ：ｏｅｃｌｒａｅ
［ｙｗｏｄｓｏｇｖｒｘｄｓｉｇｉｉｇｔｔｌｏｏｉｇｓｏｇｖｒｘｄｓｎｕｓｉｇｔｔｌｏｏｉｇｃｒｍａｉｎｍｂｒｃｍｐｅｅｇａｈｏｅｃｌｒＫｅｒｓｔｎｅｅ．ｉｎｕｓｎａｃｌｒ；ｔｎｅｔ．ｉｉｇｉｎａｃｌｎｈｏｔｕｅ；ｏｌｒｐ；ｖｒｏｏＩｒｔ．ｔｈｏｎｒｅ．ｔｈｏｒｃｔ
２ＳｈｏｆｌｔｎｃｎｆｒｔｎＥｇｎｅｉｇＬｎｈｕｉｏｏｇｉｅｓｙＬｎｈｕ７０７，ｈｎ）．ｃｏｌｅｒｉａｄＩｏｍａｉｎｉｅｒ，ａｚｏａｔｎｖｒｉ，ａｚｏ３００ＣｉｏＥｃｏｎｏｎＪＵｎｔａ
第３卷第１期８７
Ｖｌｌ３ｏ＿８
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算
机
ห้องสมุดไป่ตู้
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２１０２年９月
Ｓｅｔｍｂｅ０１ｐｅｒ２２
ＮＯ１．７
ＣｏｍｐｕｅｇｉｅｒｎｔｒＥｎｎｅｉｇ
软件技术与数据库・
文章编号：１４８０２７３＿０ｏ０２（１）－０２＿３文献标识码：２１Ａ

图K2n＼E(K1,5))(n=10,11)的点可区别边染色

图Ｋ２Ｅ（．）＝１，的点可区别边染色Ｋ１）（＼５１）０１
田京京，杨立夫王治文，
（．陕西理工学院数学系，陕西汉中１７３０２０１２宁夏大学数学与计算机学院，宁夏银川７０２）．５０１
ＵＥＥ（｝ＶＧ），如果厂足满
猜想１１ｌ
对阶数不小于３的连通图Ｇ（，
Ｅ），有（ ≤ ｄ（ ≤ Ｇ），其中（为图Ｇ）Ｇ）（＋１Ｇ）Ｇ的组合度．显然猜想１左端为真．
１引言
图的染色问题是图论的主要研究内容之一．近
≠ ｆ（ｗ）ｕ；
２对任意的 “ ｖ），ＥＥ（，有Ｃ “ ≠Ｃ．Ｇ）（）（）
则称＿是图Ｇ的点可区别边染色（记为厂简
ＶＤＣ，并称Ｅ）
年来，以计算机科学与信息科学等学科为背景提出的图的点可区别边染色ｒ］１、邻点可区别边染色Ｌ］２、邻点可区别全染色。］。、点可区别全染色Ｌ］。４、距离不超过的点可区别边染色＿］５、距离不超过点可区别全染色等已经成为人们研究的热点问题，
第４６卷２１００年第２期
Ｖｏ１４６２Ｏ０Ｎｏ．１．２
西
北
师
范
大学
学
报（自然科学版）
２３
ＪｕｎｌｆＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｒｈｓｒｌｏＵｎｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ

图的直积与半强积的邻点可区别边染色

图的直积与半强积的邻点可区别边染色索郎王青;杨青;田双亮【摘要】研究了图的直积与半强积的邻点可区别边染色,得到了直积与半强积的邻点可区别边染色数的上界,证明了染色数的上界是可达的.最后给出轮、扇与星构成的任意序列对应的直积与半强积的邻点可区别边染色数的精确值.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)003【总页数】4页(P277-280)【关键词】直积;半强积;邻点可区别边染色;邻点可区别边色数【作者】索郎王青;杨青;田双亮【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院,兰州730030;西北民族大学数学与计算机科学学院,兰州730030;西北民族大学数学与计算机科学学院,兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O157.5张忠辅等人于2002年引入了图的邻点可区别边染色概念.所谓图G的邻点可区别边染色是指G的满足任意相邻两点色集不同的正常边染色.张忠辅等人在文献[1]中研究了完全图、圈、轮、扇、树和完全偶图等特殊图的邻点可区别边染色，在此基础上，提出了有关邻点可区别边色数的猜想：阶至少为3的连通图G(G≠C5)的邻点可区别边色数不超过Δ(G)+2，其中Δ(G)表示图G的最大度.关于图的邻点可区别边染色，文献[2]给出了图的邻点可区别边色数的上界.关于运算图的邻点可区别边染色，文献[3-7]研究了特殊图的联图、特殊完全图、网格图、特殊图的笛卡尔积、超立方体等图的邻点可区别边染色.本文主要研究图的直积与半强积的邻点可区别边染色.文中所考虑的图G都是有限无向的简单连通图，用V(G)与E(G)分别表示图G的顶点集和边集.文中未加说明的术语及记号可参见文献[8-10].图G的k-正常边染色[3]σ是用k种颜色对G的边进行染色，使得相邻边染不同的颜色，最小的k值称为G的边色数，记为χa′(G).由Vizing定理可知，对任意简单图或若则称G为第一类图；若则称G为第二类图.1 预备知识在正常边染色的定义中，用Sσ(v)表示在染色σ下顶点v的关联边的颜色构成的集合.在文献[1]中,张忠辅等通过增加约束条件提出了如下特殊边染色的概念：定义1[1] 设σ为阶至少为3的简单图G的k-正常边染色,若对任意两个相邻的顶点u,v∈V(G),有Sσ(u)≠Sσ(v),则称σ为G的邻点可区别边染色或邻强边染色,且最小的k值称为G的邻点可区别边染色数,记为引理1 对阶至少为3的简单图G,若G存在相邻的最大度点,则定义2[11] G和H的直积是指具有顶点集V(G)×V(H)的图G×H，其中两个顶点(u1,v1)与(u2,v2)相邻当且仅当u1u2∈E(G)且v1v2∈E(H).由图的直积定义，显然，Δ(G×H)=Δ(G)Δ(H)，G×H≅H×G.定义3[12] 简单图G与H的半强积G·H是具有顶点集V(G)×V(H)的简单图，其中两个顶点(u1,v1)与(u2,v2)相邻当且仅当u1u2∈E(G)且v1v2∈E(H)，或u1=u2且v1v2∈E(H).根据定义3，若G为2阶完全图，即G=K2，则K2·H为H倍图[13]D[H]；若G为n≥2阶完全图，即G=Kn，则Kn·H为H的n-倍图[14]Dn[H].两个图G与H的半强积包括两个图G·H与H·G,一般而言它们是不同构的.如C4与S5两个半强积C4·S5与S5·C4是不同构的，因为S5·C4中没有3度点,而C4·S5中有3度点.设G与H是分别具有顶点集V(G)={t0,t1,…,tn-1}与V(H)={y0,y1,…,ym-1}的两个简单图,其中n≥2,m≥3.在G·H中,记vij=(ti,yj).由定义3可知,顶点集Vi={vi0,vi1,…,vi,m-1}在G·H中的导出子图与H同构,称它为H的拷贝,记为Hi，其中i=0,1,…,n-1.同时，在G中，若titj∈E(G)，则两个顶点集Vi与Vj之间的边在G·H中的导出子图是一个最大度为Δ(H)的二部图，将这个二部图记为Gij.根据半强积的定义，可将G·H分解为若干个边不交的图之并，即在下文中要用到以下引理：引理2[3] 设G是二部图，则有χ′(G)=Δ(G).引理3[1] 对n≥3阶的树T,若T中存在相邻的最大度点，则否则引理4[1] 对n≥3阶完全图Kn，若n为奇数，则否则在引理4中，当n为偶数时，Kn存在一个(n+1)-邻点可区别边染色，使得某一种颜色在Kn的每一顶点上表现，具体染色如下：设Kn的顶点集为V(Kn)=v1,v2,…,vn，颜色集合为{0,1,…,n}.令:σ(vivj)=(i+j)mod(n+1)，i≠j, i,j=1,2,…,n-1；σ(vivn)=2i mod(n+1)，i=1,2,…,n-1.由σ定义可知，未在顶点vi上表现的颜色构成的集合为{i-1,i}，其中i=1,2,…,n-1；未在顶点vn上表现的颜色构成的集合为{n-1,0}，且颜色n在Kn的每一顶点上表现.引理5[9] 对任意整数n≥3，Kn,n存在一个n-边染色，使得Kn,n有一个匹配的边染n种不同的颜色.2 主要结果及其证明定理1 设G和H为阶至少为3的简单连通图，则证明仅需证明G×H存在邻点可区别边染色.设G*是具有顶点集{V1,V2,…,Vn}(每一个Vi被视为顶点)且同构于G的图.因G*可用种颜色进行邻点可区别边染色,染色记为σ0，其中G*的各色类分别标记为A1,A2,…,Aχa(G).因对G*中每一色类Ap 的每一边ViVj,顶点集合Vi∪Vj在G×H中的导出子图是一个最大度为Δ(H)的二部图，所以可用Ap={ap,1,ap,2,…,ap,Δ(H)}中的Δ(H)种颜色对色类Ap的每一边对应G×H的导出子图进行正常边染色，其中且对有Ap∩Aq=φ.因此，可用种颜色对G×H进行边染色，染色记为σ.显然，σ是G×H的一个正常边染色.现在说明σ是邻点可区别的.任取G×H中两个相邻的顶点vip与vjq，因Sσ0(ti)≠Sσ0(tj)，所以存在标号As，使得As∈Sσ0(ti)且As∉Sσ0(tj).因此，|Sσ(vip)∩As|≥1，|Sσ(vjq)∩As|=0，故Sσ(vip)≠Sσ(vjq)，即σ是邻点可区别的.定理1的上界是可达的，具体见以下推论：推论1 设G与H为阶至少为3的简单连通图，若则证明由已知与定理1可得,而Δ(G×H)=Δ(H)Δ(G),所以设G1,G2,…,Gp是由p个最大度均为Δ的n阶连通图构成的序列,用符号Gk×(Gk-1×(…×(G2×G1)…))表示Gk与Gk-1×(…×(G2×G1)…)的直积,其中k=2,3,…,p.与图序列G1,G2,…,Gp对应的直积记为Gp×(Gp-1×(…×(G2×G1)…)),关于这个直积的邻点可区别边色数，有以下结论：定理2 若则证明反复应用推论1,可证明结论成立.定理2的结果与图序列G1,G2,…,Gp的顺序无关.根据定理2,p个n阶的轮、扇与星构成的任意序列对应的直积的邻点可区别边色数为(n-1)p,其中p≥2，n≥5.定理3 设G与H为阶至少为3的简单连通图，则证明仅需证明G·H存在邻点可区别边染色.根据半强积的定义，可将G·H分解为与G(2)=G×H.因此,可分两步构造G·H的邻点可区别边染色.首先，对G(1)进行边染色.具体地，用种颜色分别对G·H中H的各拷贝进行邻点可区别边染色,使得对应H同一边的边染相同的颜色，所用的颜色构成的集合记为A.其次，对G(2)进行边染色，染色方法与定理1证明中的σ相同，其中所用颜色不同于A中的颜色，且颜色集合记为B.显然，由以上两步构成的染色是正常边染色，记为现在说明是邻点可区别的.在G·H中,对H的每一拷贝的任意相邻两点vip与viq,有又因A∩B=φ及所以即vip 与viq是可区别的.对属于H的不同拷贝的任意相邻两点vip与vjq,由定理1证明可知，所以，即vip与vjq是可区别的.因此,是邻点可区别的.定理3的上界是可达的，具体见以下定理：定理4 设G与H为阶至少为3的简单连通图.若且则特殊地，当Δ(G)=Δ(H)时，有证明由半强积的定义可知,由已知与定理因此,类似地,可证明当Δ(G)=Δ(H)时，有因此,定理结论成立.因n≥5阶的轮Wn、扇Fn与星Sn的邻点可区别边色数等于它们的最大度n-1，即由定理4，有以下结论：当G与H均为n≥5阶的轮Wn或扇Fn或星Sn时，两个不同半强积G·H与H·G的邻点可区别边色数均为n(n-1).定理5 设G是满足的n≥3阶简单连通图,H为m≥3阶完全图即H=Km,则证明显然,现在分两种情况证明:情况1 m为奇数.由引理由定理情况2 m为偶数.设G的顶点集为V(G)={t0,t1,…,tn-1}，并记Δ(G)=Δ.因所以G的最大度点均不相邻，记为t0.设颜色集为其中不同的Bi互不相交，且Bi={bi0,bi1,…,bi,m-2},i=0,1,…,Δ-1,BΔ={a0,a1,…,am-1}.与定理3证明类似，将G·H分解为与G(2)=G×H.现在分以下三步构造G·H的(Δ(m-1)+m)-邻点可区别边染色：首先，对G(2)进行边染色.因所以可将E(G)划分为Δ个匹配，并用B0,B1,…,BΔ-1分别标记，使其满足邻点可区别边染色的要求，不妨设t0t1标记为B0，该染色记为σ0.对G的邻点可区别边染色σ0，每一色类与每一边titj对应.G(2)中的子图Gij 是最大度为m-1的正则二部图，所以σ0中每一色类的每一边可用m-1个匹配代替，并得到了G(2)的一个边染色，记为σ1.其次，在G(2)的边染色σ1中，对其子图G01重新进行染色.记其中M={v0iv1i|i=0,1,…,m-1}，显然，≅Km,m.根据引理5，可用B0∪{a0}中的m种色对进行正常边染色，使得M中的各边染不同的颜色.然后，从中删去M的所有边可得到G01的一个新的边染色.G(2)的这个新的边染色记为σ2.显然，在σ2中，Vi的不同顶点是可区别的，其中i=0,1.最后，对G(1)进行边染色.因偶阶完全图是第一类的图，所以χ′(H)=m-1.因此，可用BΔ-{a0}中的m-1种颜色分别对H的两个拷贝H0与H1进行正常边染色.对任意ti∈V(G)-{t0,t1}，因dG(ti)≤Δ-1，所以在G的邻点可区别边染色σ0中，至少存在一种标号Bji不在ti上表现.因此，由引理4的说明，可用Bji∪{a1,a2}中的m+1种颜色对Hi进行邻点可区别边染色，使得颜色a1在Hi的每一顶点上表现，记G(1)的这一染色为σ3.将σ2与σ3合并得到G·H的边染色，记为σ.显然，σ是G·H的一个正常边染色.现在说明σ是邻点可区别的.对于G·H的任意两个相邻顶点vir与vjs，若i=j，则由σ的定义，Sσ(vir)≠Sσ(vjs).若i≠j，当dG(ti)≠dG(tj)时，vir与vjs在G·H中具有不同的度数，所以它们是可区别的；当dG(ti)=dG(tj)时，在σ0中，存在一种标号Bp，使得Bp∈Sσ0(ti)且Bp∉Sσ0(tj).根据σ的定义,则有|Sσ(vir)∩Bp|=m-1,|Sσ(vjs)∩Bp|≤m-2.所以，Sσ(vir)≠Sσ(vjs).由以上分析可知,σ是G·H的邻点可区别边染色.因此，综合以上两种情况，定理结论成立.设G1,G2,…,Gp是由p个最大度均为Δ的n阶连通图构成的序列,用符号Gk·(Gk-1·(…·(G2·G1)…))表示Gk与Gk-1·(…·(G2·G1)…)的半强积,其中k=2,3,…,p.与图序列G1,G2,…,Gp对应的半强积记为Gp·(Gp-1·(…·(G2·G1)…)),关于这个半强积的邻点可区别边色数，有以下结论：定理6 若则证明反复应用定理4，可证明结论成立.值得注意的是，定理6的结果与图序列G1,G2,…,Gp的顺序无关.根据定理6，p 个n阶的轮、扇与星构成的任意序列对应的半强积的邻点可区别边色数为np-1(n-1)，其中p≥2，n≥5.参考文献:【相关文献】[1] ZHANG Z F,LIU L Z,WANG J F.Adjacent strong edge coloring of graphs[J].Applied Mathematics Letters,2002,15(5):623-626.[2] HATAMI H.Δ+300 is a bound on the adjacent vertex distinguishing edge chromatic number[J].J Combin Theory Ser B,2005,95:246-256.[3] CHEN M,GUO X.Adjacent vertex-distinguishing edge and total chromatic numbers of hyper-cubes[J].Information Processing Letters,2009,109:599-602.[4] WANG T,ZHAO Y B,LI D M.Adjacent strong edge coloring and equitable adjacent strong edge coloring of the joins of paths[J].Journal of Anhui University (Natural Science Edition),2012,36(1):33-37.[5] AKBARI S,BIDKHORI H,NOSRATI N.r-Strong edge colorings of graphs[J].Discrete Math，2006,306:3005-3010.[6] BALISTER P N,GYORI E,LEHEL J,et al.Adjacent vertex distinguishing edge-colorings[J].SIAM J Discrete Math，2007,21:237-250.[7] TIAN S L,LI J W,MA S X.On the Adjacent Strong 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扇与轮的联图F_m ∨ W_n的均匀全色数

１引言
图的染色是图论研究的主要内容之一，图的点染色、染色以及全染色［之后，们又提出了均匀继边人
全染色的概念和猜想］确定图的均匀全色数是一个十分困难的问题，献Ｅ］究了 △ Ｇ．文６研（）＝３时图的均匀全染色问题；文献Ｅ－出了对图按均匀全色数分类的概念，得到了第一类图的两个充分条件；献［３７］提并文８研究了多重联图的均匀全染色问题；献［一ｌ］到了一些联图的均匀全色数．文给出了扇Ｆ文９１得本与轮ｗ的联图的均匀全色数．中未加述及的术语、号可参见［ —２．文记１］
Ｅ（ＧＶＨ）一Ｅ（Ｇ）ＵＥ（Ｈ）Ｕ｛ｌ（， ∈ （）聊 “∈ Ｇ）Ｈ）．
则称ＧＶＨ为Ｇ与Ｈ的联图．
引理１５］对简单图Ｇ，［有
（Ｇ）≥ Ａ（Ｇ）＋１．
引理２５［
对Ｐ阶完全图Ｋ，有
李成录马刚，
（．海师范大学民族师范学院，海共和ｉ青青８３０；１００
２西北民族大学数学与计算机科学学院，肃兰州７０３）．甘３００
摘
要：一个正常的全染色满足各种颜色所染元素数（或边）差不超过ｌ时，为均匀全染色，所用最少染色数称为均匀对点相称其

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Ｓ ≠Ｓ）所以上述染色是 Ⅵ ４一（）（．，ＶＣ的定理３
证明
边Ｕ，２２Ｕ，２４依次用颜色３个８ＶＤＥ．而，２ “ ＂，２Ｕ＇１０３０，一Ｃ从定理结论为真．
４５６；，，染
Ｉ引言
显然有
Ｘ；Ｇ）（ ≥ （．Ｇ）
图的染色问题是图论研究的主要内容之
一
．
图的染色的基本问题就是确定其各种染
一
猜想］若Ｇ是没有孤立边且最多有卜。
个孤立点的图，则（一（或／Ｇ）Ｇ）Ｇ）ａ（
Ｕ（ｉｌｉ１ … ，ｕ＋Ｉ－，一１ｕ）
Ｕ｛１．ＵＵ）２主要结论定理１
证明
若Ｓ）Ｓ）则称 ∞与是可区别（ ≠ （，
的．然给出Ｇ的一个正常边染色之后，显为证
它是点可区别的，只需说明任意两个同度点可区别即可．
ＶＧ的点可区别正常边
Ｓ “ 为点在－（）厂下的色集合．并且记（）染色，出了ｗＶＧ的点可区别正常边色＝给
数．中没有说明的术语和记号可参见［，文轮ｗ的顶点集
为
有Ｓ “ ≠ｓ；么称，是图Ｇ的一个ｋ（）（）那点可区别正常边染色，简记为ｋＶＣ，－ＤＥ且
一
称
（一ｍｉ｛ｆＧ存在志ＶＤＣＧ）ｎｋ图一Ｅ）
为Ｇ的点可区别正常边色数．
Ｖ（）｛ｆｉ，，，，一ＵＩ＝０１ … ｍ）边集为Ｅ（）ＵＵ｝＝１ … ，ｗ＝｛ｏｆ，ｍ）
（５４：９Ｃ）．Ｖ
（５Ｃ）Ｖ
边Ｕｌ “ ２Ｕ３３依次用颜色４３，３，３，，
５６７染；，。
对图Ｇ，令表示度为ｋ的顶点个数，
≤志 ≤Ａ，设
（４－８Ｗ３ＶＣ）．
（３）ＷＣ４Ｖ
ｎ
收稿日期：０００ —４２１ — １０
Ｅ・ｉ：ｎｘｌｃ．ｄ．ｎｍａｌｗａｇｇ＠ｚｃｅｕｃ
五） ≤， △
第２卷第３９期
２１００年３月
数学教学研究
５１
ＶＣ的点可区别正常边色数４
王国兴
（．１西北师范大学数学与信息科学学院。肃兰州７０７；甘３００
２兰州商学院信息工程学院甘肃兰州７０２）．３００
有一个８ＶＤＣ即可．一Ｅ
Ｕ，２ｚｕ，３４８去染．０１，２ｌ ““ 用ｌ
对这样的染色有：
Ｓ（ｏ一《，ｕ）｛）Ｓ（ｚ一｛｝ｕ）２Ｓ（１＝１，ｕ）２，》
ＳＵ）｛）Ｓ（一｛）Ｓ（）｛｝（。一３， “ ）４，１＝５，Ｓ（）｛）Ｓ（３一｛）Ｓ（４：｛）一６，ｖ）７，ｖ）＝８．：
摘
要：于轮 Ⅳ 和圈Ｃ对的联图，出了一种点可区别的正常边染色方法，给并得到了其点可区别
正常边色数．关键词：；；；图；可区别边染色；可区别边色数图轮圈联点点
中图分类号：５．Ｏ１７５
下面给出染色方法：
边ｏｌ “ ２Ｕ３ ‰ 依次用颜色ｌ，０，０，７３，
２，，３４染；
边１，ｌ２Ｕ，１依次用颜色２ｌ“ ＂，ｌ３ＵＵｒ４０，
３４５染；，，
因而对Ｖ ∈Ｖ（，ＷＶＣ） “ ４， ≠ ，有
＋１．
色法的色数．ｕｒ，ｃｅＢｒｉＳｈｌ人提出点可区ｓｐ等别边染色（强边染色）概念，或的得到了若干结果，提出了有关猜想［］本文给出了图并１．ｗＶＧ的点可区别正常边色数．
＝ｍｌＩＩ＝ｎｆ：Ｉ、
．
【Ｊ
（４：，（４
作者简介：国兴（９６）男，士，究方向为图论及其应用．王１７一，硕研
５２
数学教学研究
第２卷第３期２１９ｏ０年３月
为了证明结论成立，只需给出。ＶＧ
种色ｌ２ … ，，，ｋ的正常边染色，任意的Ｕ对 ∈ （，Ｓ（）｛ｕＩＷ∈Ｅ（）称Ｇ）记 “ ＝厂（ｗ）ｔＡＧ），
｛，，，）Ｓｕ．１２ … ｋｋ（）如果对ＶＵ ∈ （） ≠ ，Ｇ，
，
本文研究了
定义２ Ⅲ 设Ｇ和Ｈ是点不相交且边
定义ｌ１［
不交的简单图，ＧＶＨ）（Ｕ（，Ｖ（＝Ｇ）Ｈ）设－是图Ｇ的一个使用了ｋ厂Ｅ（一Ｅ（ＵＥ（Ｕ（ｌ ∈ （，ＧＶＨ）Ｇ）Ｈ）Ｇ） ∈ Ｈ），（）则称ＧＶＨ是Ｇ与Ｈ的联图．