2020高考数学(文)刷题首选卷：导数的应用二(含解析)
2020高考数学刷题首选专题突破练2利用导数研究不等式与方程的根理含解析
专题突破练(2) 利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1．(2019·佛山质检)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)；②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)；③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)．其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 依题意，x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g ′(x )＝3x 2－6x ＋2－λ的两个零点，则Δ＝12(λ＋1)>0，即λ>－1，且x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝2－λ3．研究f (x 1)<f (x 2)成立的充要条件：f (x 1)<f (x 2)等价于(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2]<0，因为x 1<x 2，所以有(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2＝－2－λ3>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B ． 2．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f (x )＝e xx ＋3x －3－a x，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．e 2D ．e 答案 D解析 因为f (x )＝e x x ＋3x －3－a x≤0有正实数解，所以a ≥(x 2－3x ＋3)e x ，令g (x )＝(x 2－3x＋3)e x ，则g ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋3)e x ＝x (x －1)e x，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e．故选D ．3．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 构造函数f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，f ′(x )＝x e x(x －2)x4，当x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，故f (8)>f (7)>f (6)，即c >b >a ．故选C ．4．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (x )＋2＞f ′(x )，f (0)＝1，则不等式ln (f (x )＋2)－ln 3＞x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C．(－∞，1) D ．(1，＋∞) 答案 A解析 构造函数g (x )＝f (x )＋2ex，则g ′(x )＝f ′(x )－(f (x )＋2)ex＜0，则g (x )在R 上单调递减，且g (0)＝f (0)＋2e＝3．从而原不等式lnf (x )＋23＞x 可化为f (x )＋23＞e x，即f (x )＋2ex＞3，即g (x )＞g (0)，从而由函数g (x )的单调性，知x ＜0．故选A ．5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x ，y 都有2x －y e ln y x ≤xm e 成立，则实数m 的取值范围为( )A ．1e ，1B ．1e 2，1C ．1e 2，eD ．0，1e 答案 D解析 因为x >0，y >0，2x －y e ln y x ≤x m e ，所以两边同时乘以e x ，可得2e －y x ln y x ≤1m ，令y x＝t (t >0)，令f (t )＝(2e －t )·ln t (t >0)，则f ′(t )＝－ln t ＋(2e －t )·1t ＝－ln t ＋2et－1．令g (t )＝－ln t ＋2e t －1(t >0)，则g ′(t )＝－1t －2e t2<0，因此g (t )即f ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，又f ′(e)＝0，所以函数f (t )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (t )max ＝f (e)＝(2e －e)ln e ＝e ，所以e≤1m ，得0<m ≤1e．故选D ．6．(2018·郑州质检三)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[e 2，＋∞) B．[e ，＋∞) C ．[2，e] D ．[e ，e 2] 答案 A解析 f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，令g (x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，则g ′(x )＝a x (ln a )2＋2>0，所以函数g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝a 0×ln a ＋2×0－ln a ＝0，即f ′(x )≥0，则函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0)＝a －ln a ≤a －2，解得a ≥e 2．故选A ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，2)解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝0时，x ＝±1，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋a ，f (x )的极小值为f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (－1)＝2＋a >0，且f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2)．8．若不等式2x(x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 不等式2x (x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，即a <x －2－x在(0，＋∞)上恒成立．令f (x )＝x －2－x(x >0)，则f ′(x )＝1＋2－xln 2>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a ≤－1，即a ∈(－∞，－1]．三、解答题9．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数，a ∈R )． (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x >0，f (x )＋e x≥x 3＋x ，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点； 当0<a <12时，f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a ，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；当a >12时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；综上所述，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x ，得x e x －x 3－ax 2－x ≥0， 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x－x 2－1x对∀x >0恒成立，设g (x )＝e x －x 2－1x(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)(e x－x －1)x2． 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x－1． ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x>x ＋1，∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2． ∴a 的取值范围是(－∞，e －2]．10．(2018·郑州质检一)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)，a ∈R 在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求f (x )的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )－x 22＋2x ＋12>k (x －1)成立，求k 的取值范围．解 (1)由已知可得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x )＝1x－a ，∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)不等式f (x )－x 22＋2x ＋12>k (x －1)可化为ln x －x 22＋x －12>k (x －1)，令g (x )＝ln x －x 22＋x －12－k (x －1)(x >1)，则g ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x，令h (x )＝－x 2＋(1－k )x ＋1(x >1)，h (x )的对称轴为直线x ＝1－k 2，①当1－k 2≤1，即k ≥－1时，易知h (x )在(1，x 0)上单调递减，∴h (x )<h (1)＝1－k ，若k ≥1，则h (x )≤0，∴g ′(x )≤0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减， ∴g (x )<g (1)＝0，不符合题意； 若－1≤k <1，则h (1)>0，∴必存在x 0，使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意．②当1－k 2>1，即k <－1时，易知必存在x 0，使得h (x )在(1，x 0)上单调递增，∴h (x )>h (1)＝1－k >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意．综上，k 的取值范围是(－∞，1)．11．(2018·山西考前适应性测试)已知函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ．(1)当a <1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥x 22＋x a ＋1－e 对于任意x ∈[e －1，e]成立，求正实数a 的取值范围．解 (1)由题知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋ax＝(x －a )(x －1)x，若0<a <1，则当0<x <a 或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当a <x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；若a ≤0，则当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当0<a <1时，函数f (x )在(a ，1)上单调递减，在(0，a )和(1，＋∞)上单调递增．(2)不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥x 22＋x a ＋1－e 对任意x ∈[e －1，e]成立等价于对任意x ∈1e ，e ，有－a ln x ＋x a≤e－1成立， 设g (x )＝－a ln x ＋x a，a >0， 所以g (x )max ≤e－1，g ′(x )＝－a x ＋ax a －1＝a (x a －1)x，令g ′(x )<0，得0<x <1；令g ′(x )>0，得x >1， 所以函数g (x )在1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，g (x )max 为g 1e＝a ＋e －a 与g (e)＝－a ＋e a 中的较大者．设h (a )＝g (e)－g 1e ＝e a －e －a－2a (a >0)，则h ′(a )＝e a＋e －a－2>2e a ·e －a－2＝0，所以h (a )在(0，＋∞)上单调递增，故h (a )>h (0)＝0， 所以g (e)>g 1e，从而g (x )max ＝g (e)＝－a ＋e a，所以－a ＋e a ≤e－1，即e a－a －e ＋1≤0， 设φ(a )＝e a－a －e ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝e a－1>0，所以φ(a )在(0，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以e a－a －e ＋1≤0的解为a ≤1． 因为a >0，所以正实数a 的取值范围为(0，1]．12．(2018·石家庄二中模拟)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x(a ∈R ，e为自然对数的底数)．(1)若不等式f (x )>0对于一切x ∈0，12恒成立，求a 的最小值；(2)若对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．解 (1)由题意得(2－a )(x －1)－2ln x >0在0，12上恒成立，即a >2－2ln x x －1在0，12上恒成立．令h (x )＝2－2ln x x －1，x ∈0，12，则h ′(x )＝2ln x ＋2x －2(x －1)2，x ∈0，12， 设φ(x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈0，12，则φ′(x )＝2x －2x 2＝2(x －1)x2<0， 所以φ(x )>φ12＝2ln 12＋2>0，则h ′(x )>0，因此h (x )<h 12＝2－4ln 2，则a ≥2－4ln 2，即a 的最小值为2－4ln 2． (2)因为g ′(x )＝(1－x )e 1－x，所以g (x )＝x e1－x在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，由g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e 2－e∈(0，1)，得g (x )＝x e1－x在(0，e]上的值域为(0，1]，因为f ′(x )＝(2－a )x －2x，所以当a ≥2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减； 当2－2e ≤a <2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减，不符合题意．当a <2－2e ，此时f (x )在0，22－a 上单调递减，在22－a，e 上单调递增， 令m (a )＝f 22－a ＝a －2ln 22－a a <2－2e，则m ′(a )＝－a2－a ，易得m (a )在(－∞，0)上单调递增，在0，2－2e上单调递减，m (a )≤m (0)＝0，注意到，当x →0时，f (x )→＋∞，所以欲使对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，则需满足f (e)≥1， 即a ≤2－3e －1，又因为2－2e －2－3e －1＝e ＋2e (e －1)>0，所以2－2e >2－3e －1，所以a ≤2－3e －1，综上，a ∈－∞，2－3e －1． 13．(2018·湖北八市联考)已知函数f (x )＝e x，g (x )＝1x －a． (1)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，试讨论函数F (x )零点的个数；(2)若a ＝－2，x >0，求证：f (x )·g (x )>x ＋1＋x 2－82x ＋4．解 (1)函数F (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)． 当x ∈(a ，＋∞)时，e x>0，1x －a>0， ∴F (x )＝e x＋1x －a>0，即F (x )在(a ，＋∞)上没有零点； 当x ∈(－∞，a )时，F (x )＝e x＋1x －a ＝e x(x －a )＋1x －a ，令h (x )＝e x(x －a )＋1(x <a )， 只要讨论h (x )的零点即可．h ′(x )＝e x (x －a ＋1)，h ′(a －1)＝0，则当x ∈(－∞，a －1)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴h (x )在(－∞，a )上的最小值为h (a －1)＝1－ea －1．显然，当a ＝1时，h (a －1)＝0，∴x ＝a －1是F (x )的唯一的零点； 当a <1时，h (a －1)＝1－e a －1>0，∴F (x )没有零点；当a >1时，h (a －1)＝1－ea －1<0，且当x →－∞或x →a 时，h (x )→1，∴F (x )有两个零点．(2)证明：若a ＝－2，x >0，要证f (x )·g (x )>x ＋1＋x 2－82x ＋4，即要证e x>(x ＋2)x ＋1＋12x 2－4，∵x ＋1<x 24＋x ＋1＝x2＋1， 下证e x>(x ＋2)x 2＋1＋12x 2－4，设M (x )＝e x－(x ＋2)x 2＋1－12x 2＋4＝e x －x 2－2x ＋2，则M ′(x )＝e x －2x －2，令φ(x )＝e x－2x －2， 令φ′(x )＝e x－2＝0，解得x ＝ln 2，∴φ(x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， ∵φ(1)φ(2)<0，φ(－1)φ(0)<0，∴M ′(x )在(0，＋∞)上只有一个零点x 0且1<x 0<2， 则e x 0－2x 0－2＝0，∴M (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． ∴M (x )≥M (x )min ＝M (x 0)＝e x 0－x 20－2x 0＋2＝4－x 20>0，∴e x>(x ＋2)x 2＋1＋12x 2－4，∴e x>(x ＋2)x ＋1＋12x 2－4，∴f (x )·g (x )>x ＋1＋x 2－82x ＋4得证．14．(2018·河南六市联考一)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx (k ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<－32．解 (1)f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x ＋x －2k ＝x 2－2kx ＋1x，①当k ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当k >0时，令t (x )＝x 2－2kx ＋1，当Δ＝4k 2－4≤0，即0<k ≤1时，t (x )≥0恒成立， 即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当Δ＝4k 2－4>0，即k >1时，x 2－2kx ＋1＝0， 则t (x )的两根为k ±k 2－1，所以当x ∈(0，k －k 2－1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(k －k 2－1，k ＋k 2－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(k ＋k 2－1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当k ∈(－∞，1]时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当k ∈(1，＋∞)时，f (x )在(0，k －k 2－1)和(k ＋k 2－1，＋∞)上单调递增，在(k －k 2－1，k ＋k 2－1)上单调递减．(2)证明：f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx (x >0)，f ′(x )＝1x＋x －2k ，由(1)知当k ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时f (x )无极值， 当k >1时，f ′(x )＝1x ＋x －2k ＝x 2－2kx ＋1x，由f ′(x )＝0得x 2－2kx ＋1＝0，Δ＝4(k 2－1)>0，设x 2－2kx ＋1＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1，其中0<x 1＝k －k 2－1<1<x 2＝k ＋k 2－1，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．从而f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f (x 2)＝ln x 2＋12x 22－2kx 2＝ln x 2＋12x 22－(x 1＋x 2)x 2＝ln x 2＋12x 22－1x 2＋x 2x 2＝ln x 2－12x 22－1，令g (x )＝ln x －12x 2－1(x >1)，则g ′(x )＝1x－x <0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝－32，故f (x 2)<－32．。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型选填题(二)文(最新整理)
2020 届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 选填题（二）文
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2020 届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 选填题（二）文
所以错误!＝0。7×4.5＋0.35,解得 m＝3。 14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的"；丙说：“甲、乙两人中 有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实,四人中有两人说的是真话，另外 两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________． 答案 乙 解析 由题可知,乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话,那么甲、 丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯,由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是 罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话，由甲、 丙供述可得，乙是罪犯． 15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2－b2＝ 3bc，且 sinC＝2错误!sinB， 则角 A 的大小为________． 答案 错误! 解析 由 sinC＝2错误!sinB 得 c＝2错误!b.则 a2－b2＝错误!bc＝错误!×2错误!b2。即 a2＝7b2。 则 cosA＝错误!＝错误!＝错误!。 又 A∈（0，π），∴A＝错误!。 16．(2019·宁夏模拟）已知函数 f(x）＝（x－m)2＋(ln x－2m）2，当 f（x)取最小值时, 则 m＝________。 答案 错误!－错误!ln 2 解析 （x－m)2＋(ln x－2m）2 可转化为点 A（x,ln x）与 B(m,2m）之间距离的平方，点 A 在函数 y＝ln x 的图象上，点 B(m，2m)在直线 y＝2x 上，所以原问题转化为函数 y＝ln x 的图 象上任意一点与直线 y＝2x 上任意一点距离最小问题,设直线 y＝2x＋t 与 y＝ln x 相切于点 P(x0，y0），因为 y′＝（ln x)′＝错误!，所以错误!＝2，故 P错误!，解方程组错误! 得 x＝错误!－错误!ln 2，即为所求的 m 值．
2020年高考数学压轴必刷题附解答：导数及其应用(文理合卷)
导数及其应用(文理合卷)1．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，＝（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．2．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．B．C．D．1【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C．3．【2015年新课标1理科12】设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x时，g′（x）＜0，当x时，g′（x）＞0，∴当x时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得a＜1故选：D．4．【2015年新课标2理科12】设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x），则g（x）的导数为：g′（x），∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵g（﹣x）g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．6．【2014年新课标2理科12】设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）＝±，即kπ，k∈z，即x0m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．7．【2013年新课标2理科10】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵f（x）x3+ax2+bx+c2c，，∵f（x），∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x 1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．8．【2013年浙江理科08】已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣1）k（k＝1，2），则（）A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极小值B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极大值C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极小值D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极大值【解答】解：当k＝1时，函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）＝e x（x﹣1）+（e x﹣1）＝（xe x﹣1），f'（1）＝e﹣1≠0，f'（2）＝2e2﹣1≠0，则f（x）在在x＝1处与在x＝2处均取不到极值，当k＝2时，函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）＝e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）＝（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x＝1，f'（x）＝0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x＝1取得极小值．对照选项．故选：C．9．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数上的点到直线y＝x的距离为，设g（x）（x＞0），则g′（x），由g′（x）0可得x≥ln2，由g′（x）0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．10．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a 的最大值是．【解答】解：存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|，可得2a（3t2+6t+4）﹣2，即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，可得0＜a，可得a的最大值为．故答案为：．11．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．12．【2017年江苏11】已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x2+20，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a，故答案为：[﹣1，]．13．【2016年新课标2理科16】若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．【解答】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k，得x1＝x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．14．【2016年北京理科14】设函数f（x）．①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．【解答】解：①若a＝0，则f（x），则f′（x），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x＝﹣1时，f（x）的最大值为2；②f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）15．【2014年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3＝0平行，则a+b的值是．【解答】解：∵直线7x+2y+3＝0的斜率k，曲线y＝ax2（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3＝0平行，∴y′＝2ax，∴，解得：，故a+b＝﹣3，故答案为：﹣316．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，解之得，因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣2，x3＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2）、（﹣2，﹣2）上是增函数，在区间（﹣2，﹣2）、（﹣2，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2）＝f（﹣2）＝16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．17．【2012年上海理科13】已知函数y＝f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【解答】解：由题意可得，f（x），∴y＝xf（x），设函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S10x2dx（﹣10x2+10x）dx＝10（﹣10）105．故答案为：．18．【2011年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）＝e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m＝e m（x﹣m）．令x＝0，解得y＝（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m＝﹣e﹣m（x﹣m）．令x＝0，解得y＝e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'＝0解得：m＝1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m＝1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．19．【2010年江苏14】将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3﹣x，（方法一）利用导数求函数最小值．，，当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；故当时，S的最小值是．（方法二）利用函数的方法求最小值．令，则：故当时，S的最小值是．1．【2017年新课标3文科12】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．B．C．D．1【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C．2．【2016年新课标1文科12】若函数f（x）＝x sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]【解答】解：函数f（x）＝x sin2x+a sin x的导数为f′（x）＝1cos2x+a cos x，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1cos2x+a cos x≥0，即有cos2x+a cos x≥0，设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t，由4t在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t，由4t在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a．综上可得a的范围是[，]．另解：设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[，]．故选：C．3．【2014年新课标1文科12】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．4．【2014年新课标2文科11】若函数f（x）＝kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：f′（x）＝k，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k，而y在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．5．【2013年新课标2文科11】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（x）+f（x）＝（x）3+a（x）2+b（x）+c+x3+ax2+bx+c2c，f（）＝（）3+a（）2+b（）+c c，∵f（x）+f（x）＝2f（），∴点P（，f（））为对称中心，故B正确．C、若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，对于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，），（1，+∞），减区间为：（，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，故D正确．由于该题选择错误的，故选：C．6．【2016年新课标3文科16】已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，则f′（x）＝e x﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．7．【2015年新课标2文科16】已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．。
2020年高考数学(理)必刷题《11 导数的应用》(解析版)
专题三 导数及其应用11 导数的应用1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-【答案】A【解析】由题可得2222()2x f 'x x xx -=-=，显然当[1,2]x ∈时，()0f 'x ≥，故函数()f x 在[1,2]上单调递增，故函数()f x 在[1,2]上的最大值为()422ln 2f =-． 故选A ． 2．函数21()2ln 2f x x x x =--的单调增区间是 A ．(1,)-+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞-【答案】B【解析】函数21()2ln 2f x x x x =--的定义域为(0,)+∞，2()1f x x x'=--， 令()0f x '>，0x >，210x x∴-->，解得2x >，∴函数21()2ln 2f x x x x =--的单调增区间为(2,)+∞．故选B ．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，易错点是忘记求函数的定义域，属于基础题．先求出函数的定义域，再求导数，令导数大于0，解得x 的范围即为函数的单调增区间． 3．当01x <<时，ln ()xf x x=，则下列大小关系正确的是 A ．22()()()f x f x f x << B ．22()()()f x f x f x << C ．22()()()f x f x f x <<D ．22()()()f x f x f x <<【答案】D【解析】根据01x <<得到201x x <<<，而21ln ()xf x x-'=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()0f x '>，故函数()f x 单调递增，所以2()()10()f x f x f <<=，而22ln ()()0x f x x=>，所以有22()()()f x f x f x <<． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查函数值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与2()f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()f x '利用导函数的正负判断函数的增减，即可比较出()f x 与2()f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与2()f x 的大小，从而求得最后的结果．4．已知函数2e ()2xf x x x x=+-，1[,2]2x ∈，则A ．()f x 的极小值为e 1-，极大值为32e 4-B ．()f x 的极小值为e 1-，极大值为2e 2C ．()f x 的极小值为e 1-，无极大值D ．()f x 的极大值为2e 2，无极小值【答案】C【解析】由题可得22e e e ()22(1)(2)x x xx f x x x x x-'=+-=-+， 当1[,1)2x ∈时，()0f x '<；当(1,2]x ∈时，()0f x '>， 故函数()f x 的极小值为(1)e 1f =-，无极大值， 故选C ．5．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若(1)()0x f x '-<，则下列式子正确的是 A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +<C ．(0)(2)2(1)f f f +=D ．(0)(2)f f +与2(1)f 大小关系不能确定【答案】B【解析】由题可知当1x <时()0f x '>，当1x >时()0f x '<， 即函数()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以(0)(1)f f <，)(2)(1f f <， 上述两式相加可得(0)(2)2(1)f f f +<， 故选B ．6．若函数32()236f x x mx x =-+在区间[1,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围为 A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】由题可得2()666f x x mx '=-+，因为函数()f x 在区间[1,)+∞上为增函数，所以当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立， 设2()666g x x mx =-+，则()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立， 则原问题转化为1m x x≤+在[1,)+∞恒成立， 因为当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，所以2m ≤， 所以实数m 的取值范围为(,2]-∞， 故选C ． 7．若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ[,]63上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．(,2)-∞B ．(1,2]-C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞【答案】C【解析】由题可得222cos (sin )sin sin 1()cos cos x a x x a x f x x x -+--'==， 若函数()f x 在区间ππ[,]63上单调递增，则()0f x '≥在区间ππ[,]63上恒成立，即sin 1a x ≥在区间ππ[,]63上恒成立，当ππ[,]63x ∈时，sin 0x >，所以1sin a x ≥在区间ππ[,]63上恒成立．又当6x π=时，1sin x取得最大值为2，所以2a ≥，故实数a 的取值范围为[2,)+∞． 故选C ．8．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()(1)()0f x x f x '+->，则 A ．(1)0f = B ．()0f x < C ．()0f x >D ．1()0()x f x -<【答案】C【解析】令1(()())g x f x x =-，则()()(1)()0g x f x x f x '=-'+>， 所以函数()g x 在R 上单调递增，又(1)0g =，所以当1x >时()1()()0g x x f x =->，当1x <时1(0))(()g x x f x =-<， 所以当1x ≠时，()0f x >．又(1)(11)(1)(1)0f f f '+-=>，所以()0f x >恒成立． 故选C ．9．已知某正三棱柱的外接球的表面积为16π，则该正三棱柱的体积的最大值为 A ．4 B ．6 C ．8D ．15【答案】C【解析】设外接球的半径为R ，则24π16πR =，解得2R =．设正三棱柱的底面三角形的边长为x ，则该三角形的外接圆的半径为3x ， 故三棱柱的高为2222()2433x x R -=-， 所以该正三棱柱的体积2664243312()24443232x x x x V x x x -+=⨯-=⋅-=， 令64()12f x x x =-+，则()f x '=36(22)(22)x x x --+，易知函数()f x 在22x =时取得最大值，因为(22)8V =，所以该正三棱柱的体积的最大值为8， 故选C ．10．已知函数1()e 2exx f x x =--，若2(3)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为 A ．3[1,]2- B ．3(,1][,)2-∞-+∞C ．3[,1]2-D ． 3(,][1,)2-∞-+∞ 【答案】C【解析】由题可得函数()f x 的定义域为R ，且1()e 2()e xxf x x f x ---=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数，则2(3)(2)0f a f a -+≤可化为2(2)(3)f a f a ≤-．又1()e 20exx f x '=+-≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增， 所以223a a ≤-，即2203a a +-≤，解得312a -≤≤，所以实数a 的取值范围为3[,1]2-，故选C ．11．已知函数12)(23++-=nx mx x x f ，)(x f '是函数()f x 的导数，且函数()f x '的图象关于直线23x =对称，若在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，则实数n 的取值范围为 A ．1(,]2-∞ B ．1(,]2-∞- C ．1[,)2+∞D ．[,)π+∞【答案】C【解析】依题意可得n mx x x f 223)(2+-='， 又函数()f x '的图象关于直线23x =对称，所以2263m --=， 解得2=m ，所以122)(23++-=nx x x x f ， 因为在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，所以)2(212x x n --≥在[1,]π上恒成立， 因为函数)2(21)(2x x x g --=在[1,]π上单调递减，所以函数()g x 在[1,]π上的最大值为21，所以12n ≥，故实数n 的取值范围为),21[+∞，故选C ．12．若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式|ln |2x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,2]-∞B ．(,1ln 2]-∞+C ．[1ln 2,)++∞D ．[1ln 2,2]+【答案】B【解析】当1x ≥时，不等式|ln |2x x m +≥可化为ln 2x x m +≥，显然函数ln 2y x x =+在[1,)+∞上单调递增，所以min (ln 2)(ln121)2m x x ≤+=+⨯=． 当01x <<时，不等式|ln |2x x m +≥可化为原式化为ln 2x x m -+≥，令()ln 2g x x x =-+，则121()2x g'x x x-=-+=， 易得当1(0,)2x ∈时，()0g'x <，当1(,1)2x ∈时，()0g'x >，所以当(0,1)x ∈时，min 1()()1ln 22g x g ==+，所以min ()1ln 2m g x ≤=+．因为1ln 22+<，所以1ln 2m ≤+，故实数m 的取值范围为(,1ln 2]-∞+． 故选B ．13．已知a 为函数f (x )=x 3–12x 的极小值点，则实数a =______________．【答案】2【解析】23123(2)(2)()x x f x x =-=+-'，令0()f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =．【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程()0f x '=的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，()0f x '<，0x x >时()0f x '>，则0x 是极小值点，如果0x x <时，()0f x '>，0x x >时，()0f x '<，则0x 是极大值点．14．已知函数3()27f x x x =-在[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围为______________．【答案】(4,3)(2,3)--【解析】由题可得2()327f x x '=-，令()0f x '>可得3x >或3x <-，所以函数()f x 在(,3)-∞-，(3,)+∞上单调递增，令()0f x '<可得33x -<<， 所以函数()f x 在(3,3)-上单调递减．因为函数()f x 在区间[,1]a a +上不是单调函数，所以31a a <-<+或31a a <<+， 即43a -<<-或23a <<． 故实数a 的取值范围为(4,3)(2,3)--．15．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为27π且用料最省，则水桶底面圆的半径为______________． 【答案】3【解析】设水桶底面圆的半径为R ，水桶的高为l ， 则水桶的容积227V R l =π=π，所以227l R =． 要使用料最省，只需圆柱的侧面积与下底面的面积之和S 最小． 由题意可得222S R Rl R =π+π=π+2227542R R R Rππ⋅=π+， 则3225)42272(R S R R R ππ-'=π-=，令0S '=得3R =，易知254S R Rπ=π+在(0,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增， 则当3R =时，S 取得最小值． 故水桶底面圆的半径为3．16．已知函数12)(23++-=nx mx x x f ，)(x f '是函数()f x 的导数，且2(2)()3f x f x ''+=--，若在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，则实数n 的取值范围为______________． 【答案】1[,)2+∞【解析】依题意可得n mx x x f 223)(2+-='， 又2(2)()3f x f x ''+=--，所以函数()f x '的图象关于直线23x =对称， 由2263m --=可得2=m ，所以122)(23++-=nx x x x f ， 因为在[1,]π上1)(≥x f 恒成立，所以)2(212x x n --≥在[1,]π上恒成立，因为函数)2(21)(2x x x g --=在[1,]π上单调递减，所以函数()g x 在[1,]π上的最大值为21，所以12n ≥，故实数n 的取值范围为),21[+∞．17．已知函数()f x 的导函数的图象如下图所示，①函数()f x 在(0,1)上单调递增； ②函数()f x 在(1,)+∞上单调递增； ③当1x =时，函数()f x 取得极小值； ④当1x =时，函数()f x 取得极大值． 则上述结论中，正确结论的序号为 A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③【答案】C【解析】根据函数()f x 的导函数的图象，可知当(0,1)x ∈时，()0f x '>， 函数()f x 单调递增，①正确；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，②不正确； 由于函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，③不正确，④正确． 综上，正确结论的序号为①④，故选C ． 18．已知函数1()f x x ax=+在(,1]-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．[1,)+∞B ．(,0)(0,1]-∞C ．(,0)[1,)-∞+∞D ．(0,1]【答案】C【解析】由题可得21()1f x ax'=-， 因为函数()f x 在(,1]-∞-上单调递增，所以()0f x '≥在(,1]-∞-上恒成立， 即21x a ≤在(,1]x ∈-∞-上恒成立，所以11a≤，即10a a -≥， 解得0a <或1a ≥，故实数a 的取值范围为(,0)[1,)-∞+∞，故选C ．19．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且3()()0f x xf x '+>恒成立，其中()f x '是()f x 的导函数，若3(2020)(2020)(1)m f m f -->，则实数m 的取值范围是A ．(2019,2020)B ．(2019,2021)C ．(2019,)+∞D ．(2021,)+∞【答案】D【解析】令3()()h x x f x =，则232()3()()[3()()]0h x x f x x f x x f x xf x '''=+=+>， 所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．3(2020)(2020)(1)m f m f -->可化为33(2020)(2020)1(1)m f m f -->，即(2020)(1)h m h ->，所以20201m ->，解得2021m >， 所以实数m 的取值范围是(2021,)+∞． 故选D ．20．若函数32()(6)7f x x mx m x =+++-在[0,3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为A ．(,6][3,)-∞--+∞B ．(,3][1,)-∞--+∞C ．[6,3]--D ．[3,1]--【答案】A【解析】由题可得2()326f x x mx m '=+++，因为()f x 在[0,3]上是单调函数，所以当[0,3]x ∈时，()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，由()0f x '=得23621x m x +=-+，令236()21x g x x +=-+，[0,3]x ∈，则max ()m g x ≥或min ()m g x ≤．易得26(2)(1)()(21)x x g'x x +-=-+，当[0,1)x ∈时，()0g'x >，函数()g x 单调递增；当(1,3]x ∈时，()0g'x <，函数()g x 单调递减， 因为(0)6g =-，(1)3g =-，33(3)7g =-，所以min ()6g x =-，max ()3g x =-， 所以6m ≤-或3m ≥-，故实数m 的取值范围为(,6][3,)-∞--+∞． 故选A ．21．已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()xf x '-2()0f x >，若函数()f x 是偶函数，2(e)e f a =，(2)4f b =，(3)9f c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】设函数2()()f x g x x =，0x ≠，则243()()2()()2()x f x xf x xf x x xg f x x ''--=='， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增． 易得2(e)(e)e f a g ==，(2)(2)4f b g ==，(3)(3)9f cg -==-， 又函数()f x 是偶函数，所以(3)c g =-=(3)g ， 因为2e 3<<，所以(2)(e)(3)g g g <<，即b a c <<， 故选A ．22．在正四棱锥S ABCD -中，已知63SA =，则当该正四棱锥的体积最大时，该正四棱锥的高为A ．12B ．62C ．6D ．32【答案】C【解析】设正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，高为h ，则2222()10822a a h SA =-=-， 所以该正四棱锥的体积62411108332a V a h a ==-，设64()108()02a t a a a =->，则3()432t'a a =-5333(12)(12)a a a a =+-，当012a <<时，()0t'a >，当12a >时，()0t'a <， 所以函数()t a 在(0,12)上单调递增，在(12,)+∞上单调递减， 所以max ()(12)t a t =，即12a =时正四棱锥S ABCD -的体积最大， 此时108726h =-=． 故选C ． 23．已知2()121xf x =-+，当0x >时，不等式2()(2e )0xf ax f +-≤恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．2e (,]2-∞B ．2e [,)2+∞C ．2e (0,]2D ．2e [0,]2【答案】A【解析】易知2()121xf x =-+在R 上单调递增， 因为221()12121x x x f x -=-=++，且()f x -=2112()2121x xx x f x ----==-++，所以函数()f x 为奇函数，所以当0x >时，不等式2()f ax +2e 0()xf -≤恒成立等价为2()(2e )xf ax f ≤，即当0x >时，22e xax ≤恒成立，所以当0x >时，22e xa x≤恒成立．设22e ()xg x x=，则32(2)e ()x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以min2e ()(2)2g x g ==，所以2e 2a ≤，所以实数a 的取值范围为2e(,]2-∞，故选A ．24．若存在正实数,,x y z ，使得e 2zxy z =，且2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是 A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]2【答案】B【解析】易得e ln ln ln ln ln ln2ln 2zx y y x x x xx z z z z z =-=-=--，由2e x z x ≤≤可得1e 2x z ≤≤，设xt z=，则1[,e]2t ∈， 令l (n )n2l f t t t --=，1[,e]2t ∈，则11()1t f t t t-=-='．易得函数()f t 在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min ()(1)1ln2f t f ==-，因为1111()ln ln22222f =--=，1(e)e 1ln 22f =-->， 所以max (e e 1n 2()l )f f t =--=， 所以[1ln2,e 1ln2]()f t ---∈，即ln [1ln2,e 1ln2]yx∈---． 故选B ．25．已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且12())2(f x f x +=，则12x x +的最小值为 A ．2B ．e 1-C ．32ln2-D ．32ln3-【答案】C【解析】由题可知当1x ≥时，函数()f x 单调递增，min ()(1)1f x f ==， 当1x <时，()1f x <，设12x x <，则必有121x x <<，所以1212121113()1(ln ln 2222)2f x f x x x x x +=+++=++=，所以1212ln x x =-， 所以122212ln x x x x +=-+，设()12ln (1)g x x x x =-+>，则22()1x g x x x+'-=-=，则12x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以min ()(2)g x g ==12ln2232ln2-+=-， 所以12x x +的最小值为32ln2-， 故选C ．26．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0y x y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e ++ C ．1(,1e]e+D ．1(1,e]e+【答案】D【解析】2ln e 0y x y a +-=可化为2e ln yy a x =-，令2e ()yf y y =，l (n )ag x x -=，易知函数()ln g x a x =-在[1,e]上单调递减，最小值为(e)1g a =-，最大值为(1)g a =．易得22()2e e e (2)yyyf y y y y y '=+=+，当[1,0)y ∈-时，()0f y '<，此时函数()f y 单调递减； 当(0,1]y ∈时，()0f y '>，此时函数()f y 单调递增，则函数()f y 的最小值为(0)0f =，且e(11)f -=，(1)e f =， 因为对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0yx y a +-=成立，所以11e a ->且e a ≤，即11e ea +<≤， 所以实数a 的取值范围为1(1,e]e+，故选D ．27．已知函数()f x 的定义域为R ，()f 'x 是函数()f x 的导函数，若()2()0x 'f x f ->，且1()e 2f =，其中e 为自然对数的底数，则不等式1(ln )2f x x <的解集为 A ．(0,e) B ．(e,)+∞ C ．(1,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令2()()ex x x f g =，则22222()e 2e ()()2()()(e )e x x x xf 'f f 'x x x 'x fg x --==． 因为()2()0x 'f x f ->，所以()0g'x >，所以函数()g x 在R 上单调递增．因为12ln 211(ln )(ln )122(ln )2e x f x f x g x x ⨯==，0x >， 所以不等式1(ln )2f x x <等价于1(ln )21f x x<，即1(ln )12g x <． 又1()e 2f =，所以1221()12()12ef g ⨯==，所以1(ln )12g x <等价于11(ln )()22g x g <． 因为函数()g x 在R 上单调递增，所以11ln 22x <，解得0e x <<．故不等式1(ln )2f x x <的解集是(0,e)． 故选A ．28．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f 'x 是函数()f x 的导函数，若()(1)()0xf 'x f x x -+>，且(1)e f =，其中e 为自然对数的底数，则不等式(ln )ln f x x x <的解集为A ．(0,e)B ．(e,)+∞C ．(1,e)D ．(0,1)【答案】C【解析】令()()exf g x x x =，0x >，则22()e ()(1)e ()(1)()()(e )e x x x x f 'x x f x xf 'x f g'x x x x x x ⋅-⋅+-+==． 因为()(1)()0xf 'x f x x -+>，所以()0g'x >，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增．易得(ln )g x =ln (ln )(ln )ln e ln xf x f x x x x=⋅，因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以ln 0x >， 解得1x >，所以不等式(ln )ln f x x x <等价于(ln )1ln f x x x<，即(ln )1g x <． 又(1)e f =，所以(e1)()11f g ==，所以(ln )1g x <等价于(ln )(1)g x g <． 因为函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以ln 1x <，解得e x <，结合1x >可得1e x <<． 故不等式(ln )ln f x x x <的解集是(1,e)． 故选C ．29．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，32()3f x x x =-．若函数()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围为______________． 【答案】(4,0)-【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()()g x f x a =-有4个零点， 所以0x =不是函数()g x 的零点，且当0x >时，函数()g x 有2个零点， 即当0x >时，函数()f x 的图象与直线y a =有2个交点． 当0x >时，2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，解得02x <<，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 又(0)(3)0f f ==，(2)4f =-，所以40a -<<， 故实数a 的取值范围为(4,0)-．30．已知函数e ()2x ax f x x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()0()f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为______________． 【答案】(,e]-∞【解析】因为1221()0()f x f x x x -<，120x x >，所以1122(())x f x x f x <， 令2()()e 2xx g x xf x a -==， (0,)x ∈+∞，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()e 0xg x ax =-≥'在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以min e ()xa x≤，(0,)x ∈+∞．令()e xh x x=，(0,)x ∈+∞，则2(1)()e x x h x 'x -=， 当01x <<时，()0h'x <，当1x >时，()0h'x >， 所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)e h x h ==，所以e a ≤， 故实数a 的取值范围为(,e]-∞．31．已知点M 在圆22:430C x y y +-+=上，点N 在曲线1ln y x =+上，则线段MN 的长度的最小值为______________． 【答案】21-【解析】由题可得(0,2)C ，圆C 的半径1r =．设(,1ln )(0)N t t t +>，令2()||f t CN =，则22()(1ln (0))f t t t t =+->，所以212(ln 1)()22(1ln )()t t f t t t t t+-'=+--=．令2()ln t t t ϕ=+01()t ->，易知函数()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，所以当01t <<时，()0f t '<；当1t >时，()0f t '>， 所以()f t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)2f t f ==． 因为||||121MN CN ≥-≥-，所以线段MN 的长度的最小值为21-．32．已知函数()e (1)x f x x =-，()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】2[e ,)+∞【解析】函数()e (1)xf x x =-的导数为()e xf x x '=，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 故当0x =时，函数()f x 取得最小值1-，又22(2)3e ,(2)e f f --=-=，则当22x -≤≤时，21()e f x -≤≤．由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-上单调递增，可得当22x -≤≤时，3()m g x m -≤≤， 因为对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-使得12()()f x g x =，所以2[1,e ][3,]m m -⊆-，则231em m -≤-≥⎧⎨⎩，解得2e m ≥， 故实数m 的取值范围是2[e ,)+∞．33．已知函数()|ln |f x x =，20,01()|4|2,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩，若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围为______________． 【答案】(2ln2,0]--【解析】()()f x m g x +=可变形为()()m g x f x =-，设()()()h x g x f x =-，则由题意可知直线y m =与曲线()h x 有三个不同的交点，易知22ln ,01()2ln ,12ln 6,2x x h x x x x x x x <≤⎧⎪=--<<⎨⎪--≥⎩，当12x <<时，()2h x x =-'-10x<恒成立，所以函数()h x 在(1,2)上单调递减， 当2x ≥时，1()20h'x x x=->恒成立，所以函数()h x 在[2,)+∞上单调递增， 当1x =时，22ln 1x x --=，当2x =时，22ln 2ln2x x --=--，2ln 62ln2x x --=--， 当3x =时，2ln 63ln31x x --=->，画出函数()h x 的大致图象如图所示， 易知2ln20m --<≤，故实数m 的取值范围为(2ln2,0]--．34．【2017年高考浙江卷】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．35．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-．故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．36．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C ．故选D ．【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键．37．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数2e e ()x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】2e e 0,()(),()x xx f x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A ； 1(1)e e 0f -=->，∴舍去D ；243()(e e )e e 2(2)e (2)e (),x x x x x xx x x x f x x x ---+---++'==2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C ．故选B ．【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．38．【2019年高考天津卷理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,e]D ．[1,e]【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=---- 11(12)(2(1)2)011x x x x=--+-≤--⋅-=--， 当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >． 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]． 故选C ．【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题．39．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足2112(e e)x x x x a --+-=-+， 设11()eex x g x --+=+，则()21111111e 1()eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为(1)2g =．设2()2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当(1)(1)ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =．故选C ． 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．40．【2019年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x =ax b --恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点．根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴＜0且 ＞＜， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a +1）3，则a >–1，b <0． 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用．当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．41．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】， 所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为5ππ[2π,2π]()33k k k --∈Z ， 函数的递增区间为ππ[2π,2π]()33k k k -+∈Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数 取得最小值，此时，所以， 故答案是． 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值．42．【2018年高考江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在上的最大值与最小值的和为______________． 【答案】–3【解析】由2()620f x x ax '=-=得0x =或3ax =， 因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且(0)1f =，所以0,()033a af >=， 因此322()()1033aa a -+=，解得3a =．从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以max ()(0),f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，则max min ()()f x f x +=(0)+(1)14 3.f f -=-=- 故答案为3-．【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．43．【2017年高考江苏卷】已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是______________．【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥， 所以函数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．44．【2019年高考北京卷理数】设函数e (e )x xx f a -=+（a 为常数）．若()f x 为奇函数，则a =______________；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是______________． 【答案】1(,0]--∞【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围．【解析】若函数e (e)xxx f a -=+为奇函数，则()()x f x f =--，即(e e e e )x x x xa a --+=-+，即()1 e (e 0)x xa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-．若函数e (e )x xx f a -=+是R 上的增函数，则() e e0xxf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(,0]-∞．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围．解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题．注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查．。
2020年高考数学 导数 解答题专项练习(含答案解析)
2020年高考数学导数解答题专项练习（含答案解析）1.已知函数f(x)=x2-mln x，h(x)=x2-x＋a.(1)当a=0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．2.设函数已知函数f(x)=ae x-x+1.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,3)上只有一个零点，求a的取值范围；3.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0).（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0，证明：.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.5.已知函数f(x)=2lnx-2mx+x 2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当时，若函数f(x)的导函数f /(x)的图象与x轴交于A,B两点，其横坐标分别为x 1,x 2(x 1<x 2)，线段AB的中点的横坐标为x 0，且x 1,x 2恰为函数h(x)=lnx-cx 2-bx的零点.求证：.6.已知函数，g(x)=mx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a=1时，求证：当x>1时，.(I)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[e a,+∞]时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．8.已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．9.已知函数f(x)=ln x－kx，其中k∈R 为常数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：ln x 2>2－ln x 1.10.已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.（1）研究函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个不同的零点x 1,x 2,且x 1<x 2.①求a 的取值范围；②求证：x 1x 2>e 2.11.设函数f(x)=ex-1-x-ax 2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．12.已知函数f(x)=lnx-mx 2，g(x)=0.5mx 2+x，m ϵR,令F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m 的最小值.13.已知函数f(x)=lnx-mx(m 为常数).(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当时,设g(x)=2f(x)+x 2的两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)恰为h(x)=lnx-cx 2-bx 的零点,求的最小值.14.设函数f(x)=(x－1)e x －kx 2.(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．15.已知函数f(x)=ln x＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．16.已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.17.设函数f（x）=alnx﹣bx2．（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；，（2）当a=1，b=0时，函数g（x）=f（x）﹣kx，k为常数，若函数g（x）有两个相异零点x1x，证明：．218.已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．19.已知函数在处的切线与轴平行，()(1)试讨论f(x)在上的单调性；(2)①设，求g(x)的最小值；②证明：.20.已知函数f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R，且a为常数)(1)当a=4时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(1，+∞)，都有f(x)＞0成立，求a的取值范围；(3)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1，2)上有且只有一个实根，求a的取值范围．2020年高考数学导数解答题专项练习（含答案解析）答案解析1.解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)=x ln x ，则g′(x)=ln x－1ln x2，当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x=e 时，g(x)的最小值为g(e)=e.所以m≤e.即m 的取值范围是(-∞，e]．(2)由已知可得k(x)=x-2ln x-a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)=x-2ln x 与直线y=a 有两个不同的交点．φ′(x)=1-2x =x－2x，当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)=1，φ(2)=2-2ln 2，φ(3)=3-2ln 3，要使直线y=a 与函数φ(x)=x-2ln x 有两个交点，则2-2ln 2＜a＜3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3)．2.解:3.解：4.解：5.解：6.解：7.解：8.解：9.解：10.解：11.解：(1)a=0时，f(x)=e x－1－x，f′(x)=e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)=e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x=0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax=(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤0.5时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由e x>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<e x－1＋2a(e－x－1)=e－x(e x－1)(e x－2a)，故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，0.5]．12.解：13.解：14.15.16.17.18.19.解：20.解：。
通用版2020高考数学文二轮复习专题检测7 导数的简单应用 含解析
导数的简单应用专题检测（七）”考点落实练＋3＋3组A——“6 一、选择题满足下列条件：′(x)1．已知函数f(x)的导函数f ；1或x>2′(x)>0时，x<－①f ；时，－1<x<2②f′(x)<02. ＝1或x＝－(x)＝0时，x③f′) 的大致图象是(则函数f(x))∞，(2，＋1,2)上是减函数．在(－∞，－1)解析：选A根据条件知，函数f(x)在(－A.上是增函数，故选x为自然对数的(其中e＝ae＋x相切合肥质检)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y2．(2018·)(底数)，则实数a的值是11 B． A.2eD2．C．x＝1－，代入曲线方程得2，则a>0，x＝－ln a＝解析：选B由题意知y′aey＋1＝1.a＝x＋1?＋＝2xln a＋1＝2－ln a，所以切线方程为y－(1ln a)＝2(x＋ln a)，即y232处的极值1在xx＝＋ax＋bx＋a(20193．届高三·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝))为(为10，则数对(a，b11,4)－B．( A．(－3,3)11)，－3,3)或(411)C．(4，－D．(－，?＝0f′?1??2b，依题意可得3x＋2ax＋C解析：选f′(x)＝?，＝10f?1???，＋2ab＝03＋??2－12＝0即消去b可得a，－a?2，＋a＝101＋a＋b??，a＝4，＝－3a3a ＝－，??????时，当4，故或或解得a＝－3a＝???311.b＝bb＝3＝－??????22C. x)无极值，不合题意，舍去，故选－1)(≥0，这时fx＋)f′(x＝3x－6x3＝3(2) (a(1＋ax3ln x在，＋∞)上是增函数，则实数的取值范围为x)(．已知4fx＝＋??6 6](A．－∞，－2 B.－∞，??2．)5，＋∞D．[C．[－－26，＋∞)23ax＋2x＋3)x)上恒成立?g(ax＋＋＝≥0在(1，＋∞解析：选C由题意得f′(x)＝2xx a??，－≤1422?或26≤a24≤0或≤?－62＋＝2xax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立?Δ＝a －??0?≥g?1，4a≥－??C. 6≥－，故选2?a?5≥－a??32＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线xy＝f(x)．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x在＋(a－1)5点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xD．y＝x C．y＝2x32＋ax，－1)x)＝x＋(a解析：选D法一：∵f(x2＋2(a－1)x)＝3x＋a.∴f′(x又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，3232－ax恒成立，1)xx－(即－xa＋(a－1)x－－ax＝－2＋1，∴f′x(0)＝1，∴a＝1，∴f′(x)＝3∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.223＋(a－1)x＋a]，因为ax＝x[x f(x)法二：易知f(x)＝x＋(a－1)x为奇函数，所以函＋23＋x，所以f′(x，所以f(x)＝x)a＋(a－1)x＋a为偶函数，所以－1＝0，解得a＝(数gx)＝x12＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点＝3x(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.x，且f(1)＝e，则＝e() )′(x)，若xf′(x)＋f(x的导函数为6．函数f(x)(x>0)f A．f(x)的最小值为e B．f(x)的最大值为e11 的最小值为D．f(x)的最大值为C．f(x)ee x e(x)－，x解析：选A设g()＝xf x，)xf)＋′(x－e＝0(x所以g′()＝fx x e为常数函数．xxf()－)所以g(x＝，＝0e×g因为(1)＝1f(1)－x x 所以g()＝xf＝0，e)(x－(1)＝g xx?e x?－1e ′＝x()，f(＝)，xf所以2xx′时，x当0<<1f(′f时，)>0(x，>1x，当x)<0e. f所以≥)x((1)f＝二、填空题2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角在点(ey＝2ln x7．(2019届高三·西安八校联考)曲线形的面积为________．222,4)处的切线斜率为，在点(e所以切线方程为y′＝，所以曲线y＝2ln x解析：因为y2xe2222，所以切线与坐标＝－e＝0，则x0，则y＝2；令－ey)，即x－y＋2＝0.令x＝－4＝(x22ee122. ＝e×2轴所围成的三角形的面积S＝×e22答案：e2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是f8．已知函数(x)＝x________．22x－5x＋222＝＋x－5′(x)＝2＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f解析：函数f(x)＝x－5xxx?x－2??2x－1?11??，0的单调递增区间是)(x或x>2，故函数f>0，＋∞)．＝，解得0<x<和(2??2x21??，0答案：) (2，＋∞和??29．若函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是________．a解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋aln x不xa是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.x答案：(－∞，0)三、解答题x2，曲线y＝f(x)在点(1，fx)＝e(1))－ax处的切线方程为y＝bx＋1. 10．已知f((1)求a，b的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．x－2ax，x)＝e 解：(1)f′(所以f′(1)＝e－2a＝b，f(1)＝e－a＝b＋1，解得a＝1，b＝e－2.x2，xe －(1)得f(x)＝(2)由xx－2x，x∈[0,1]，e＝x－2x，令g()＝e(则f′x)x－2，)＝e ′则g(x由g′(x)<0，得0<x<ln 2；由g′(x)>0，得ln 2<x<1，所以f′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，，2ln 2>0－2＝(ln 2)′f≥)x(′f所以．所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)＝f(1)＝e－1.maxx＋ax，其中x>0，a＝e<0.若f(x)F(2018·潍坊统一考试)已知函数f(x)＝ax－ln x，(x)11．和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．ax－11x＋a，x>0，，F′(x)＝e解：由题意得f′(x)＝a－＝xx∵a<0，∴f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1≤a<0时，F′(x)>0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意，当a<－1时，由F′(x)>0，得x>ln(－a)；由F′(x)<0，得0<x<ln(－a)，∴F(x)的单调递减区间为(0，ln(－a))，单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)．∵f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，∴ln(－a)≥ln 3，解得a≤－3，综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．x＋ax，x>1. f(x)＝12．已知函数xln(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值．ln x－1＋＝a，解：(1)f′(x)2xln由题意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，11111??2－＝≤－－. ∴a2??2xln 4lnxln x∵x∈(1，＋∞)，∴ln x∈(0，＋∞)，111111??2－＝t＝∴当0时，函数－的最小值为－，－??2ln xx24ln 411??，－－∞的取值范围为a－，即实数. ∴a≤??44x＋2x(x>1)，a＝2时，f(x)＝(2)当xln 2x＋2lnln x－1f′(x)＝，2xln2x＋ln x－2ln1＝0，)令f′(x＝0，得112. e)，即x＝x解得ln x＝或ln ＝－1(舍去21122′(，x)>0，当′当1<x<e时，f(x)<0x时，>ef11112e222.∴＝＋)(e的极小值为)xf(f＝2e4e12．大题专攻补短练B组——2R. ∈＋x，a已知函数f(x)＝ln x－ax1．(2019届高三·益阳、湘潭调研) (e，f(e))处的切线方程；＝a＝0时，求曲线yf(x)在点(1)当f(x)的单调性．(2)讨论11y(e)＝1＋，∴曲线(x)＝＋1，f′(时，fx)＝ln x＋x，f(e)＝e＋1，f′解：(1)当a＝0x e11????11＋＋＝1)(e＋)在点(e，f(x－e)，即y＝(e))处的切线方程为y－x. ＝f(x????ee21＋x＋－2ax1 ，x>0＝)－2ax＋1＝，(2)f′(x xx上单调递增；∞)，∴f(x)在(0，＋①当a≤0时，显然f′(x)>021＋＋－2axx2 0，易知其判别式为正，2ax1＋x＋＝②当a>0时，令f′(x)＝＝0，则－x )，x，x(x<x设方程的两根分别为21211 x，xx＝－<0，∴x<0<则2211a22?－x?x－x??－2axx＋x＋1－2a21>0.x(x)＝＝，∴f′xx1a＋1＋8 x∈(x，＋∞)，其中x，＝)<0(令f′x)>0，得x∈(0，x)，令f′(x得222a4????1＋1＋811＋8a＋a????在上单调递增，在上单调递减．∴函数f(x)∞，＋0，????a44a?1x－a?>0. a2．已知函数f(x)＝，其中2x的单调区间；x)(1)求函数f( a的值．(x)的切线，求实数－1＝0是曲线y＝f若直线(2)x－y2) e为自然对数的底数上的最小值．(其中(x)在区间[1，e]x)＝xln x－xf(x)，求g(3)设g(?1－a?x＝，(x)解：(1)因为函数f2x22?x2－1x－?xa－?x??′·a?·a[?x－1?]′，＝＝f′(x)所以34xx；x<2x)>0，得0<由f′( >2，x<0或x由f′(x)<0，得．∞(2，＋)，单调递减区间为(－∞，0)和故函数f(x)的单调递增区间为(0,2) ，，y)(2)设切点为(x00?x2－a?03a，①＝－xax＋2由切线斜率k＝1＝?300x0?1x－a?02－1)＝0?x＝1，xa－－＝－1－x由yx(01－＝?x)(x＝±a. 20000000x0．1，1x＝代入①得a＝把0，＝1＝a代入①得a把x0＝－a代入①无解，把x01.故所求实数a的值为2 x－a(x－1)(x)＝xln x－x，f(x)＝xln 因为(3)g1a－，得x>e；x′()＝ln x＋1－a，由g′(x)>0所以g11aa1a－－上，故g(x)在区间(ee)，＋∞)上单调递增，在区间<e由g′(x)<0，得0<x(0，－单调递减，1a－(1)＝0；a≤1时，g(x)在区间[1，e]上单调递增，其最小值为①当eg ≤1，即0<1aa1a1－－－e；＝)的最小值为g(ea－②当1<e)<2<e，即1<a时，g(x1a－e.－a)在区间[1，e]上单调递减，其最小值为g(e)＝e＋③当ea2≥e，即a≥时，g(x，≤10，0＜a??1a－?，<2a－e，1<a x)＝故g(min??2.e＋a－ae，a≥2．－n(m，n∈R23．(2019届高三·南昌调研)设函数f(x)＝ln x－mx) f(1)讨论(x)的单调性；x)有最大值－ln 2，求m＋n的最小值．(2)若f( x)的定义域为(0，＋∞)，解：(1)函数f(2mx－411 ，4＝－mx＝f′(x)xx 上单调递增；∞)，∴0时，f′(x)>0f(x)在(0，＋≤当mm <f当m>0时，令′(x)>0，得0<x，m2m >，，得f′(x)<0x令m2mm????在上单调递增，在上单调递减．)∴f(x∞，，＋0????mm22 ，＋∞)上单调递增，无最大值．≤0时，f(x)在(0知，当(2)由(1)mmm??上单调递减．上单调递增，在在x)，＋∞当m>0时，f(，0??m2m2m111m??，＝－ln 2m－－nln m＝ln－2·)∴f(x＝f－n＝－ln 2－max??2m422mm21111∴n＝－ln m－，∴m＋n＝m－ln m－.222211令h(x)＝x－ln x－(x>0)，22．2x－11＝，h′(x)＝1－则xx2211由h′(x)<0，得0<x<；由h′(x)>0，得x>，2211????∞，，＋0在x上单调递减，在)∴h(上单调递增，????2211??＝ln 2，＝h ∴h(x)??min221∴m＋n的最小值为ln 2.24．已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，a＋2xaf′(x)＝＋2＝.xx2x－4当a＝－4时，f′(x)＝.x∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2.a＋2x，)＝(2)∵f′(x x∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；a当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，2a??∞－，＋在)(x上单调递增；∴f??2a由f′(x)<0得，x<－，2a??，－0在x) ∴f(上单调递减．??2aaa??????－－－f的最小值为(x). ln＝a ∴当a<0＋2时，f??????222aaa??????－－－f 根据题意得－＋2a，≥ln＝a ??????222即a[ln(－a)－ln 2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2,0)．。
2020年 高考数学(文科)常考基础题、易错题 提分必刷题之 导数的概念及运算
第1讲导数的概念及运算一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 26．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8二、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数：①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第二部分 解答题(一) Word版含解析
解答题(一)17．(2019·安徽皖南八校第三次联考)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品有3件，合格品有2件．②记3件优等品分别为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P(M)＝6 10＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T 1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T 2元，可得T 1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T 2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T 1＜T 2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，故该扶贫单位应选择乙种生产方式来帮助该扶贫村脱贫．18．已知等差数列{a n }的公差d >0，其前n 项和为S n ，且S 5＝20，a 3，a 5，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 5＝5(a 1＋a 5)2＝20，所以a 1＋a 5＝8， 所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4， ①因为a 3，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 3a 8， 所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简，得 a 1＝2d ， ②联立①和②，得a 1＝2，d ＝1， 所以a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n ， 所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＋n (n ＋1)2＝n 2(n ＋2)＋n (n ＋1)2＝n 3＋3n 2＋3n2(n ＋2).19．(2019·广东梅州总复习质检)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′－EC －B 是直二面角．(1)证明：BE⊥CD′；(2)求点E到平面BCD′的距离．解(1)证明：∵AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC.又∵平面D′EC⊥平面BEC，平面D′EC∩平面BEC＝EC，BE⊂平面BEC，∴BE⊥平面D′EC，∵CD′⊂平面D′EC，∴BE⊥CD′.(2)由已知及(1)得，BE⊥平面D′EC，BE＝2，∴V B－D′EC ＝13BE·S△D′EC＝13×2×12×1×1＝26.ED′⊂平面D′EC，∴BE⊥ED′，ED′＝1，∴BD′＝ 3.在△BD′C中，BD′＝3，CD′＝1，BC＝2.∴BC2＝(BD′)2＋(CD′)2，∠BD′C＝90°.∴S△BD′C ＝12BD′·CD′＝32.设点E到平面BCD′的距离为d.则V B－D′EC ＝V E－BCD′＝13d·S△BCD′，∴13×32d＝26，得d＝63.所以点E到平面BCD′的距离为6 3.20．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知函数f (x )＝x －11＋x，g (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋13a .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若存在x 1∈[0,1]，使得对任意的x 2∈[1，e 2]，f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1＋1(1＋x )2>0，又x ≠－1，故f (x )在(－∞，－1)为增函数，在()－1，＋∞也为增函数．(2)由(1)可知，当x ∈[0,1]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1)＝12，由题意可知g (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋13a ≤12对任意的x ∈[0,2]恒成立．令t ＝ln x ，则当x ∈[1，e 2]时，t ∈[0,2]，令h (t )＝t 2－2at ＋13a －12，问题转化为h (t )≤0对任意的t ∈[0,2]恒成立，由抛物线h (t )的开口向上，知⎩⎨⎧h (0)≤0，h (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧13a －12≤0，4－4a ＋13a －12≤0，解得2122≤a ≤32.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，32.21．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点E (－2,0)，F (2,0)，P (x ，y )是平面内一动点，P 可以与点E ，F 重合．当P 不与E ，F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围． 解 (1)当P 与点E ，F 不重合时，k PE ·k PF ＝－14， 得y x ＋2·y x －2＝－14，即x 24＋y 2＝1(y ≠0)， 当P 与点E ，F 重合时，P (－2,0)或P (2,0)． 综上，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S ＝8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，则其对边方程为y ＝kx －m ，另一边所在直线方程为y ＝－1k x ＋n ，则其对边方程为y ＝－1k x －n ，联立⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝0， 即4k 2＋1＝m 2. 矩形的一边长为d 1＝|2m |k 2＋1，同理，4k 2＋1＝n 2， 矩形的另一边长为d 2＝|2n |1k 2＋1， S ＝d 1·d 2＝|2m |k 2＋1·|2n |1k 2＋1＝|4mnk |k 2＋1＝4 (4k 2＋1)(k 2＋4)(k 2＋1)2＝44k 4＋17k 2＋4(k 2＋1)2＝44＋9k 2(k 2＋1)2＝44＋9k 2＋1k 2＋2∈(8,10]． 综上，S ∈(8,10]．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ(t 为参数)，θ∈[0，π)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；(2)设点P (1，3)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：|P A |·|PB |为定值，并求出该定值．解 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝43sin θ＋4cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 则圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0，圆心坐标为C (2，23)． (2)证明：将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ代入圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0，得 t 2－(23sin θ＋2cos θ)t －12＝0，设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－12， ∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12.23．(2019·四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试)已知不等式|2x ＋1|＋|x －1|<3的解集为M .(1)求M ；(2)若m ，n ∈M ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1. 解 (1)当x <－12时，不等式即为－2x －1－x ＋1<3，解得－1<x <－12； 当－12≤x ≤1时，不等式即为2x ＋1－x ＋1<3， 解得－12≤x <1；当x >1时，不等式即为2x ＋1＋x －1<3，此时无解． 综上可知，不等式的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：m ，n ∈(－1,1)，欲证⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1， 需证|m －n |<|mn －1|，即证(m －n )2<(mn －1)2， 即m 2＋n 2－2mn <m 2n 2－2mn ＋1， 即证(m 2－1)(n 2－1)>0， 因为m ，n ∈(－1,1)，所以(m 2－1)(n 2－1)>0显然成立． 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1成立．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第一部分+考点五+程序框图+Word版含解析
考点五程序框图一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入() A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案A解析对于选项A，A＝12＋A.当k＝1时，A＝12＋12，当k＝2时，A＝12＋12＋12，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.2．(2019·湖北八校第二次联考)如图程序中，输入x＝ln 2，y＝log32，z＝12，则输出的结果为()A．x B．y C．z D．无法确定答案A解析图中程序的功能是输出x，y，z的最大值，因为ln 3>1，所以y＝log32＝ln 2ln 3<ln 2＝x，x＝ln 2>ln e＝12＝z，所以输出x.3．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于()A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s＝1＋12＋14，x＝18，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18，x＝116，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116，x＝132，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x＝164，x<不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x＝1128，x<成立，此时输出s＝2－126.故选C.4．(2019·山东临沂三模)秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法将f(x)＝2019x2018＋2018x2017＋2017x2016＋…＋2x＋1化为f(x)＝(…((2019x＋2018)x＋2017)x＋…＋2)x＋1再进行运算，计算f(x0)的值时，设计了如图所示的程序框图，则在◇和▭中可分别填入()A．n≥2和S＝Sx0＋n B．n≥2和S＝Sx0＋n－1C．n≥1和S＝Sx0＋n D．n≥1和S＝Sx0＋n－1答案C解析由题意可知，当n＝1时程序循环过程应该继续进行，n＝0时程序跳出循环，故判断框中应填入n≥1，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为S＝Sx0＋n，故选C.5．(2019·河南八市重点高中联考)相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x的值为()A.6481 B.3227 C.89 D.1627答案B解析由题意，执行循环结构的程序框图，可得第1次循环：x＝23，i＝2，不满足判断条件；第2次循环：x＝89，i＝3，不满足判断条件；第3次循环：x＝3227，i＝4，满足判断条件，输出结果3227，故选B.6．(2019·辽宁丹东质量测试(一))计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba化为十进制数的公式为…dcba＝a·20＋b·21＋c·22＋d·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·20＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是()A．i>4 B．i≤4 C．i>5 D．i≤5答案B解析在将二进制数11111化为十进制数的程序中循环次数由循环变量i决定，∵11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，∴退出循环的条件根据程序框图和答案选项，应设为i≤4，故选B.7．(2019·黑龙江哈尔滨三中二模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A．i<20，S＝S－1i，i＝2iB．i≤20，S＝S－1i，i＝2iC ．i <20，S ＝S 2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，S ＝S 2，i ＝i ＋1答案 D解析 根据题意可知，截取1天后S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1i ，故排除A ，B ；由框图可知，计算截取20天后的剩余时，有S ＝S 2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.8．(2019·湖北重点中学高三起点考试)美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a ，n ，ξ的值分别为8,2,0.5，每次运算都精确到小数点后两位，则输出的结果为( )A ．2.81B ．2.82C ．2.83D ．2.84答案 D解析 输入a ＝8，n ＝2，ξ＝0.5，m ＝82＝4，n ＝4＋22＝3，|4－3|＝1>0.5；m＝83≈2.67，n ≈2.67＋32≈2.84，|2.67－2.84|＝0.17<0.5，输出的结果为2.84.二、填空题9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为12，则输入的实数x的值是________．答案2解析因为输出的结果为12，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log2x＝12，x>1或⎩⎪⎨⎪⎧x－1＝12，x≤1.解得x＝ 2.所以输入的实数x的值为 2.10．(2019·辽宁沈阳育才学校八模)我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与古希腊的算法——“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝288，b＝123时，输出的a＝________.答案3解析解法一：按照程序框图运行程序，输入：a＝288，b＝123，则r＝42，a＝123，b＝42，不满足r＝0，循环；则r＝39，a＝42，b＝39，不满足r＝0，循环；则r＝3，a＝39，b＝3，不满足r＝0，循环；则r＝0，a＝3，b＝0，满足r＝0，输出a＝3.解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数，因为288与123的最大公约数为3，所以a＝3.11．(2019·安徽A10联盟最后一卷)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m＝________.答案50 7解析运行该程序，第一次循环，S＝50－m，k＝1；第二次循环，S＝50－3m，k＝2；第三次循环，S＝50－7m，此时要输出k的值，则50－7m＝0，解得m＝50 7.12．(2019·湖北七校联盟期末)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝746，则I(a)＝467，D(a)＝764)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的a为123，则输出的b为________．答案495解析由程序框图，知第一次循环a＝123，b＝321－123＝198；第二次循环a＝198，b＝981－189＝792；第三次循环a＝792，b＝972－279＝693；第四次循环a＝693，b＝963－369＝594；第五次循环a＝594，b＝954－459＝495；第六次循环a＝495，b＝954－459＝495，满足条件a＝b，跳出循环体，输出495.一、选择题1．(2019·湖南衡阳三模)著名的“3n＋1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1.如图的程序框图示意了“3n＋1”猜想，则输出的n为()A．5 B．6 C．7 D．8答案B解析a＝10是偶数，a＝5，n＝1，a>1，a＝5是奇数，a＝16，n＝2，a>1，a＝16是偶数，a＝8，n＝3，a>1，a＝8是偶数，a＝4，n＝4，a>1，a＝4是偶数，a＝2，n＝5，a>1，a＝2是偶数，a＝1，n＝6，a≤1成立，输出n＝6，故选B.2．(2019·福建高三检测)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为()A．120 B．84 C．56 D．28答案B解析i＝0，n＝0，S＝0；i＝1，n＝1，S＝1，i≥7，否；i＝2，n＝3，S＝1＋3，i≥7，否；i＝3，n＝6，S＝1＋3＋6，i≥7，否；i＝4，n＝10，S＝1＋3＋6＋10，i≥7，否；…i＝7，n＝28，S＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28，i≥7，是；输出S＝84.3．(2019·湖南长沙高三统考)若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如10＝2(mod 4)．如图所示程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于()A．3 B．9 C．27 D．81答案C解析第一次执行循环体，得i＝3，N＝14，此时14＝2(mod 3)，但14≠1(mod 7)．第二次执行循环体，得i＝9，N＝23，此时23＝2(mod 3)，但23≠1(mod 7)．第三次执行循环体，得i＝27，N＝50，此时50＝2(mod 3)，且50＝1(mod 7)，退出循环，所以输出i的值为27，故选C.4．(2019·江西九校重点中学协作体第一次联考)《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6 C．7 D．8答案C解析∵a＝114，b＝30，满足a，b都是偶数，则a＝a2＝57，b＝b2＝15，k＝2；不满足a，b都是偶数，且不满足a＝b，满足a>b，则a＝57－15＝42，n＝1，不满足a＝b，满足a>b，则a＝42－15＝27，n＝2，不满足a＝b，满足a>b，则a＝27－15＝12，n＝3，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝12，a＝15，b＝12，则a＝15－12＝3，n＝4，不满足a＝b，不满足a>b，则c＝3，a＝12，b＝3，则a＝12－3＝9，n＝5，不满足a＝b，满足a>b，则a＝9－3＝6，n＝6，不满足a＝b，满足a>b，则a＝6－3＝3，n＝7，满足a＝b，结束循环，输出n＝7，故选C.5．(2019·江西新八校第二次联考)如图所示的程序框图所实现的功能是()A．输入a的值，计算(a－1)×32021＋1B．输入a的值，计算(a－1)×32020＋1C．输入a的值，计算(a－1)×32019＋1D．输入a的值，计算(a－1)×32018＋1答案B解析由程序框图，可知a1＝a，a n＋1＝3a n－2，由i的初值为1，末值为2019，可知，此递推公式共执行了2019＋1＝2020次，又由a n＋1＝3a n－2，得a n＋1－1＝3(a n－1)，得a n－1＝(a－1)×3n－1，即a n＝(a－1)×3n－1＋1，故a2021＝(a－1)×32021－1＋1＝(a－1)×32020＋1，故选B.6．(2019·四川泸州第二次质量诊断)某班共有50名学生，其数学学业水平考试成绩记作a i(i＝1,2,3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A．求该班学生数学学业水平考试的不合格人数B．求该班学生数学学业水平考试的不合格率C．求该班学生数学学业水平考试的合格人数D．求该班学生数学学业水平考试的合格率答案D解析执行程序框图，可知输入50个学生成绩a i，k表示该班学生数学成绩为该班学生数学学业水平考试的合格合格的人数，程序结束时i＝51，输出的ki－1率，故选D.7．如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌，下同)，且每对小兔子刚出生的前两个月没有生育能力，但从出生后的第三个月开始便能每月生一对小兔子．假定这些兔子都不发生死亡现象，现有一对刚出生的兔子，那么从这对兔子刚出生开始，到第十个月会有多少对兔子呢？同学A据此建立了一个数列模型，设F(0)＝0，第n个月兔子的对数为F(n)，由此得到F(1)＝1，F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥2，n∈N*)．如图是同学B根据同学A的数列模型设计的程序框图，求该数列的前10项和，则在空白框内分别填入的语句是()A．P＝M；n≤9? B．N＝P；n≤9?C．P＝M；n≤10? D．N＝P；n≤10?答案B解析F(1)＝1，F(2)＝1，F(3)＝2，F(4)＝3，F(5)＝5，F(6)＝8，F(7)＝13，F(8)＝21，F(9)＝34，F(10)＝55，输出的S＝F(0)＋F(1)＋F(2)＋…＋F(10)．由程序框图可知，当n＝2时，S＝0＋1，P＝0＋1＝1，S＝1＋1，M＝1，N＝1；当n ＝3时，S＝0＋1＋1＋2，则处理框内应填入“N＝P”，排除A，C；又最终输出S 时，n＝10，所以判断框内应填入“n≤9？”，故选B.8．(2019·河北邯郸一模)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是( )答案 B解析 由题意得，田的价值S ＝300x ＋5007y ，可排除C ，亩数x ＋y ＝100.由⎩⎨⎧ 300x ＋5007y ＝10000，x ＋y ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12.5，y ＝87.5，若初始变量x ＝0.5，则累加变量x ＝x ＋3满足题意，故选B. 二、填空题9．(2019·湘赣十四校第一次联考)执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为________．答案23解析当n＝7时，可知n＝2×7＋1＝15，又i＝1＋1＝2<3，循环；当n＝15时，可知n＝15－4＝11，又i＝2＋1＝3，循环；当n＝11时，可知n＝2×11＋1＝23，又i＝3＋1＝4>3，输出n，则n＝23.10．(2019·广西南宁第一次适应性考试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x＝________.答案21 23解析 i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x－3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝13x ，解得x ＝2123.11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为________．(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)答案 24解析 由程序框图，n ，S 值依次为：n ＝6，S ≈2.598；n ＝12，S ＝3；n ＝24，S ≈3.1056，此时满足S ≥3.10，输出n ＝24.12．(2019·山东德州一模)在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税．一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14，…”．现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，则运行此程序，输出n 的值为________．答案6解析n＝1，a＝72，S＝0，S<60，是；S＝0＋11×2×72＝36，n＝2，S<60，是；S＝36＋12×3×72＝48，n＝3，S<60，是；S＝48＋13×4×72＝54，n＝4，S<60，是；S＝54＋14×5×72＝57.6，n＝5，S<60，是；S＝57.6＋15×6×72＝60，n＝6，S<60，否；输出n＝6.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷2,含答案).docx
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A1，2，3， B 2，3，4，则 A U B =A. 1，2，3,4B.12，，3C.2，3，4D.13，，42.（ 1+i）（2+i） =A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i3.函数 f x=sin（ 2x+）的最小正周期为3A.4B.2C.D.24.设非零向量 a ，b满足a +b = a-b则A a⊥b B. a = b C. a ∥b D.a b5. 若a＞ 1，则双曲线x2- y21的离心率的取值范围是a2A. （2，+）B.（ 2，2）C.（ 1， 2）D.（1，2）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90B.63C.42D.367.设 x、 y 满足约束条件A. -15B.-9C. 1 D 92x+3y 302x 3y 3 0 。
则z2x y 的最小值是y 308.函数 f (x) ln( x22x8) 的单调递增区间是A.(-,-2)B. (-,-1)C.(1, +)D. (4, +)9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A. 乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩10. 执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=A.2B.3C.4D.511. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.1132 B.5C. D. 1010512.过抛物线2的直线交 C 于点 M（ M在 x 轴上方），l为 C 的准线，点 N 在l C: y =4x的焦点 F，且斜率为 3上且 MN⊥l,则 M到直线 NF 的距离为A. 5B.22C. 2 3D. 33二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数 f x=2cosx sinx 的最大值为.14.已知函数f x是定义在 R 上的奇函数，当x -，0时， f x2 x3x2,则 f 2 =15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ，其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为16.△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 2b cosB=a cosC+c cosA, 则 B=三、解答题：共生都必须作答。
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考点测试16 导数的应用(二) 一、基础小题 1．函数f(x)＝x－ln x的单调递增区间为( ) A．(－∞，0) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 C
解析 函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1－1x，令f′(x)>0，得x>1.故选C. 2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 答案 B 解析 由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0. 3．若曲线f(x)＝x，g(x)＝xα在点P(1，1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则实数α的值为( ) A．－2 B．2
C.12 D．－12 答案 A 解析 f′(x)＝12x，g′(x)＝αxα－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝12，k2＝α，因
为l1⊥l2，所以k1k2＝α2＝－1，所以α＝－2，选A. 4．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
答案 D 解析 当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有选项D符合题意． 5．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 答案 D 解析 由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3. 6．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.1，32 C．[1，2) D.32，2 答案 B 解析 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.据题
意得 解得1≤k<32.故选B. 7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________． 答案 (1，2) 解析 ∵导函数f′(x)是偶函数，且f(0)＝0，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1，1)，又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)的取值范围是(1，2)．
8．已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示， x －1 0 2 4 5
f(x) 1 2 1.5 2 1
下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)的值域为[1，2]； ②函数f(x)在[0，2]上是减函数； ③若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4； ④当1其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上) 答案 ①②④ 解析 由导函数的图象可知，当－10，函数单调递增，当0及4＝2，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5.又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]，①②正确；因为当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为
5，所以③不正确；因为极小值f(2)＝1.5，极大值f(0)＝f(4)＝2，所以当1f(x)－a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④.
二、高考小题 9．(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f1k<1k B．f1k>1k－1
C．f1k－1<1k－1 D．f1k－1>kk－1 答案 C 解析 构造函数g(x)＝f(x)－kx＋1，则g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在R上为增函
数．∵k>1，∴1k－1>0，则g1k－1>g(0)．而g(0)＝f(0)＋1＝0，∴g1k－1＝f1k－1－kk－1
＋1>0，即f1k－1>kk－1－1＝1k－1，所以选项C错误．故选C. 10．(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x) 具有M性质．下列函数中具有M性质的是( ) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cosx 答案 A
解析 当f(x)＝2－x时，exf(x)＝ex2x＝e2x.∵e2>1，∴当f(x)＝2－x时，exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，故函数f(x)具有M性质．易知B，C，D不具有M性质，故选A. 11．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 B．－2 C．4 D．2 答案 D 解析 由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D. 12．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案 －1，12 解析 易知函数f(x)的定义域关于原点对称． ∵f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，
∴f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－1e－x ＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数， 又f′(x)＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2＝3x2≥0(当且仅当x＝0时，取“＝”)，从而f(x)在R上单调递增，
所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤12. 13．(2015·安徽高考)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的编号) ①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2. 答案 ①③④⑤ 解析 设f(x)＝x3＋ax＋b. 当a＝－3，b＝－3时，f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，得x>1或x<－1；令f′(x)<0，得－1在(1，＋∞)上为增函数，又f(－1)＝－1，f(1)＝－5，f(3)＝15，故方程f(x)＝0只有一个实根，故①正确． 当a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2，易知f(x)在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，又f(－1)＝4，f(1)＝0，x→－∞时，f(x)→－∞，从而方程f(x)＝0有两个根，故②错误． 当a＝－3，b>2时，f(x)＝x3－3x＋b，易知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋b>0，极小值为f(1)＝b－2>0，x→－∞时，f(x)→－∞，故方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故③正确． 当a＝0，b＝2时，f(x)＝x3＋2，显然方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故④正确． 当a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，易知f(x)的值域为R，故f(x)＝0有且仅有一个实根，故⑤正确． 综上，正确条件的编号有①③④⑤. 三、模拟小题 14．(2018·郑州质检一)已知函数f(x)＝x3－9x2＋29x－30，实数m，n满足f(m)＝－12，f(n)＝18，则m＋n＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12 答案 A 解析 设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则有2b＝f(x)＋f(2a－x)，整理得2b＝(6a－18)x2－(12a2－36a)x＋8a3－36a2＋58a－60，则可得a＝3，b＝3，所以函数f(x)图象的对称中心为(3，3)．又f(m)＝－12，f(n)＝18，且f(m)＋f(n)＝6，所以点(m，f(m))和点(n，f(n))关于(3，3)对称，所以m＋n＝2×3＝6，故选A.