2018届高三数学第78练离散型随机变量及其分布列练习
2018年全国高考数学试题分类汇编考点48离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差
考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.(2018年浙江高考T7)设0＜p＜1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时, ()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小【命题意图】考查期望与方差的性质.【试题解析】选D.由分布列可知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋,所以方差D(ξ)＝×＋×＋×＝-p2＋p＋,所以D(ξ)是关于p的二次函数,开口向下,所以D(ξ)先增大后减小.二、解答题2.(本小题12分)(2018年北京高考理科·T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型,事件的运算,以及方差的计算,意在考查,培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【试题解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25＝50,所以所求概率为＝0.025.(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,记“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为A＋B,由表知,P(A)＝0.25,P(B)＝0.2,所有电影是否获得好评相互独立,所以P()＝1-P(A)＝0.75,P()＝1-P(B)＝0.8,P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35,即所求概率为0.35.(3)由表及已知,P(ξ1＝1)＝0.4,P(ξ1＝0)＝1-0.4＝0.6,P(＝1)＝P(ξ1)＝0.4,P(＝0)＝P(ξ1＝0)＝0.6,.4＋0×0.6＝0.4,E＝0.4,所以EξE-(Eξ1)2＝0.4-0.42＝0.24.DξE-(Eξ2)2＝0.2-0.22＝0.16,同理,DξE-(Eξ3)2＝0.15-0.152＝0.1275,DξE-(Eξ4)2＝0.25-0.252＝0.1875.DξE-(Eξ5)2＝0.2-0.22＝0.16,DξE-(Eξ6)2＝0.1-0.12＝0.09,Dξ所以Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1.3.(本小题13分)(2018年北京高考文科·T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型、事件的运算、以及方差的计算,意在考查、培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【试题解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140＋50＋300＋200 ＋800＋510＝2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25＝50,所以所求概率为＝0.025.(2)方法一:记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A,由表知,没有获得好评的电影部数为140×(1-0.4)＋50×(1-0.2)＋300×(1-0.15)＋200×(1-0.25)＋800×(1-0.2)＋510×(1-0.1)＝1628,所以P(A)＝＝0.814,即所求概率为0.814.方法二:记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A,则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件,由表知,获得好评的电影部数为140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25 ＋800×0.2＋510×0.1＝372,所以P(A)＝＝0.186,所以P()＝1-P(A)＝0.814,即所求概率为0.814.(3)由表及已知,第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,符合要求.4.(本小题满分13分)(2018年天津高考理科·T16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【命题意图】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【试题解析】(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(ⅱ)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A＝B∪C,且B与C互斥,由(i)知,P(B)＝P(X＝2)＝, P(C)＝P(X＝1)＝,故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.所以,事件A发生的概率为.。
高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布
专项-离散型随机变量及其分布列知识点1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11=∑=ni ip3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．题型一离散型随机变量的理解【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数XB ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度XC ．某超市一天中来购物的顾客数XD ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，小胡在线0，小胡不在线【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ；(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6D ．ξ≤5【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25【过关练习】1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度．2.某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是( ) A ．1,2,3，…，n B ．1,2,3，…，n ，… C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．题型二 离散型随机变量分布列的求法及性质【例1】某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)A.239 B.2310 C.139 D.1109 【例3】已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．【过关练习】1.随机变量ξ的分布列如下：则ξ为奇数的概率为2.若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13D ．13.由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下： 0.50.1根据该表可知题型三 两种特殊分布的应用【例1】某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【过关练习】1.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为________．2.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．课后练习【补救练习】1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．10D ．252.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．3.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【巩固练习】1.设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或02.若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)4.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．【拔高练习】1.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.562.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小王所获奖品的价值，写出X 的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．。
第七节 离散型随机变量及其分布列
【解析】 由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝ ，P(X＝4)＝ 3 ＝ ， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝ ，P(X＝6)＝ 3＝ ， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点： （1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生； （2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即 相互独立，互不影响试验的结果。
5． 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变 量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布） 求出离散型随机变量分布列。
第七节 离散型随机变量及其分布列-高考状元之路
第七节 离散型随机变量及其分布列预习设计 基础备考知识梳理1．离散型随机变量的分布列 如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做2．离散型随机变量的分布列及性质(1)-般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为,1x X x x x n i ,,,,,2 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率,)(i i p x X p ===则表称为离散型随机变量X 的 ，简称为X 的 ．有时为了表达简单，也用等式 表 示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质;,,2,1,0n i Pi =≥①.11=∑=ni i P ②3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中p= 称为成功概率．(2)超几何分布列：在含有M 件次品数的N 件产品中，任取咒件，其中含有X 件次品数，则事件}{k X =发生的概率为：==)(k X P ),,,2,1,0(m k C C C n Nk n M N k M =--其中=m ，且 ，则称分布列为超几何分布列．典题热身1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么4=X 表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗1点，另1颗3点C ．2颗都是2点D ．1颗是l 点，另l 颗是3点，或者2颗都是2点答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五4码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为繁X 的所有可能取值个数为 ( )25.A 10.B 7.c 6.D答案：C3．若随机变量X 的分布列为),3,2,1(2)(===i ai i X p 则==)2(X p （ ） 91.A 61.B 31.c 41.D 答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所人中女生人数不超过1人的概率是 答案：54 5．若ξ是离散型随机变量，31)(,31)(21====x p x p r ξξ且,21x x <又已知,92)(,34)(==ξξD E 则21x x +的值为答案：3课堂设计 方法备考题型一 利用离散型随机变量的分布列求解概率分布问题【例1】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．题型二 离散型随机变量分布列的性质及应用【例2】设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X+1的分布列；(2)︱X-1︱的分布列．题型三 超几何分布【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列．技法巧点(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数，(x)的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量X 是试验结果．(2)对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．(3)求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率，失误防范掌握离散型随机变量的分布列，需注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的，每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.随堂反馈1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )1.A 221.±B 221.-c 221.+D 答案：C2．(2011．烟台模拟)随机变量X 的概率分布规律为=X p ()1()+=n n a n ),4,3,2,1(=n 其中a 是常数，则 )2521(<<X p 的值为( ) 32.A 43.B 54.c 65.D 答案：D3．（2011．安溪模拟）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)， 则)4(=X p 的值为( )2201.A 5527.B 22027.c 2521.D 答案：C4．（2011．荆门模拟）由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失（以“x 、y”代替），其表如下：则丢失的两个数据依次为答案：2，55．随机变量X 的分布列为若321,,P P P 成等差数列，则公差d 的取值范围是 答案：3131≤≤-d 高效作业 技能备考一、选择题1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( )1.A 221.±B 221.-C 221.+D 答案：C2．已知随机变量X 的分布列为：..,,2,1,21)(⋅===k k X P k则)42(≤<X p 等于 ( ) 163.A 41.B 161.c 165.D 答案：A3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则)0( =ξP 的值为 ( )1.A 21.B 31.c 51.D 答案：C4．（2011．广州模拟）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于.156817C C C 的是 ( ) )2(.=X p A )2(.≤X p B )4(.=X P C )4(.≤X P D答案：C5．某射手射击所得环数X 的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为 ( )28.0.A 88.0.B 79,0.c 51.0.D答案：C6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为1的概率 ( )3532.A 3512.B 353.c 352.D 答案：B二、填空题7．从装有3个红球，两个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为：答案：0.10.60.38．抛掷2颗骰予，所得点数之和X 是一个随机变量，则=≤)4(X p答案：619．(2011．济宁实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如下；若a 、b 、c 成等差数列，则==)1|(|ξp 答案：32 三、解答题10．（2011．广州模拟）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求两人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，11．(2011．西安五校联考)已知袋子里有红球3个，蓝球两个，黄球1个，其大小和质量都相同，从中任取一球确定颜色后再放回，取到红球后就结束选取，最多可以取三次．(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率；(2)求取球次数的分布列．12．(2010．天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是,32且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击五次，求恰有两次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击五次，求有三次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击三次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得O 分．在三次射击中，若有二次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列，。
高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)
第十二讲 随机变量及其分布列课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)第一节 离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ，表示正面向上，1=ξ，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X 用等式可表示为P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．1.两点分布),1(~P B X若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.【例题与变式】题型一随机变量【例1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.题型二 随机变量的可能取值及试验结果【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b -c |，求随机变量ξ的取值情况．【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.题型三 分布列及其性质的应用【例1】设随机变量X 的分布列为P (X =i )=ia(i =1,2,3,4)，求：(1)P (X =1或X =2)；(2))2721(<<X P .【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25)(===i k i X P 则)2521(<<X P 等于（ ） A ．152 B ．52 C ．51 D ．151【例3】已知数列{}n a 是等差数列，随机变量X 的分布列如下表：求3a .【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a ．【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为（ ）A ．3817 B ．3827 C ．1917 D ．1927 【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X 的分布列为：则实数a 的值为_______．【例4】设离散型随机变量X 的分布列为：求：(1)2X +1(2)|X -1|的分布列.【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X -2|=1)=（ ）A.712B.12C.512D.16 题型四 求离散型随机变量的分布列【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．(1)设{}R x c bx x x A ∈<+-=,022，求φ≠A 的概率； (2设随机变量ξ=|b -c |，求ξ的分布列．【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.题型五 两点分布【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ=0)等于（ ）A ．0B ．13C ．12D ．23题型六 超几何分布【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率．【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列.1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( )A.1B.32±336C.32－336D.32＋3362.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.233.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.363435.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |=1)A.16 B.13 C.12 D.236.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y =|X -2|，则P (Y 7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)=________.8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列.9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.1.实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结：第二节 二项分布及其应用【知识与方法】一．条件概率1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1))()()()()(A n AB n A P AB P A B P ==； (2)1)(0≤≤A B P ，当A 事件与B 事件对立时0)(=A B P ，当A 事件与B 事件相等时1)(=A B P ； (3)如果B 与C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P += ； (4))()()()()(B P B A P A P A B P AB P ⋅=⋅=；(5)要注意)(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在)(A B P 中，事件A 成为样本空间，在)(AB P 中，样本空间则为全体情况. 二．相互独立实验1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )=P (B )，P (A |B )=P (A )． 2．相互独立事件与互斥事件的区别互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )=P (A )×P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )=P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )． 三．二项分布1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )n －k，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．【例题与变式】题型一 条件概率【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A 与B 互斥，则P (B |A )=0.( ) (2)若事件A 等于事件B ，则P (B |A )=1.( ) (3)P (B |A )与P (A |B )相同．( )【例2】设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【变式1】设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )=13，P (A )=23，则P (B |A )=________.【变式2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．【例3】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．【例5】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【变式3】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第一次抽取到理科题的概率；(2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率；(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.【变式4】从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )=( )A.18B.14C.25D.12【变式5】将一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是合数”为事件A ，“第二次抛出的是质数”为事件B ，则 )(A B P _______.【变式6】(2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 【变式7】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
2018版高中数学第二章概率课时训练10离散型随机变量的分布列新人教B版选修2_3201806232
课时训练10离散型随机变量的分布列(限时：10分钟)1．已知随机变量X的分布列如下表，则m的值为()X 1 2 3 4 51 2 4 1P m15 15 15 31 2A. B.15 151 4C. D.5 15答案：C2．若离散型随机变量X的分布列为X 0 1P 2a 3a则a＝()1 1A. B.2 31 1C. D.5 101解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝.5答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为__________．27答案：2204．随机变量ξ的分布列如下，则ξ为奇数的概率为__________.ξ0 1 2 3 4 51 2 7 8 1 2P9 15 45 45 5 92 8 2 8解析：P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.15 45 9 158答案：155．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加雅安抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．C k3C2－2k解析：依题意可知，随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．C25C03C 12P(X＝0)＝＝＝0.1，C2510C13C12 6P(X＝1)＝＝＝0.6，C2510C23C02 3P(X＝2)＝＝＝0.3.C2510(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．故随机变量X的分布列为X 0 1 21P 0.1 0.6 0.3(限时：30分钟)一、选择题n1．某一随机变量X的概率分布如表，且m＋2n＝1.2.则m－的值为()2X 0 1 2 3P 0.1 m n 0.1A.－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1答案：B12．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜ξ≤4)等于()2k3 1A. B.16 41 1C. D.16 51 1 3解析：P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.23 24 16答案：A3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ－1 0 1P 121－2q q2则q的值为()2A．1 B．1±22 2C．1＋D．1－2 21 1解析：由＋(1－2q)＋q2＝1，即q2－2q＋＝0，2 22 ± 2 2解得q＝.又因为P(ξ＝i)＞0，故有1－2q＞0，故q＝1－.2 2答案：D4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白C212C14＋C222球的个数记为X，则下列概率等于的是()C226A．P(0＜X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)解析：本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．答案：B5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10C47C68个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是()C105A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)C27C8解析：A项，P(ξ＝2)＝；C1502C47C68B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；C150C47C68C项，P(ξ＝4)＝；C150C47C68D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＞.C150答案：C二、填空题6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为__________．解析：设当选的3人中女生的人数为X.则X＝1,2,3.C26C1460 C16C2436∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，C130120 C130120C06C34 4P(X＝3)＝＝.C130120∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)60＋36＋4 5＝＝.120 65答案：67．某射手射击一次命中环数X的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率为__________．解析：根据射手射击一次命中环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22，P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.88.答案：0.888．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为__________．解析：设ξ的分布列为ξx1 x2 x3P a－d a a＋d由离散型随机变量分布列的基本性质知1 1Error!解得－＜d＜.3 31 1答案：－＜d＜3 3三、解答题：每小题15分，共45分．9．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．解析：X的可能取值为：0,1,2,3,4.C i4C4－4iP(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)．C48即X 0 1 2 3 43P 17016703670167017010.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．解析：当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝2 117)＝＝.16 81 1同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；4 41 1P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.4 8所以随机变量Y的分布列为Y 17 18 19 20 21P 181414141811.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．14 5解析：(1)设乙厂生产的产品数量为m件，依题意得＝，所以m＝35，98 m答：乙厂生产的产品数量为35件．(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，2 ∴估计乙厂生产的优等品的数量为35×＝14件．5(3)依题意，ξ可取值0,1,2，则C23 3 C12C13 3P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，C2510 C25 5C 12P(ξ＝2)＝＝，C2510所以ξ的分布列为ξ0 1 2P 3103511045。
最新-2018届高三数学一轮复习 18-7离散型随机变量及其分布列课件北师大版 精品
5．若随机变量X的概率分布如下表所示，
则表中a的值为________．
6 ．由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分 数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：
X P
1 0.20
2 0.10
3 0.x5
4 0.10
5 0.1y
6 0.20
同丢失的两个数据依次为________．
[答案] 2,5 [解析 ] 由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1， 得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5.
4．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表 示的随机试验结果是( A．2颗都是4点 B．1颗是1点，另一颗是3点 C．2颗都是2点 )
D．1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2点
[答案] D [解析] 由于抛掷1颗骰子可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的 点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是： 1颗是1点，另一颗是3点或者2颗都是2点．
用投掷结果确定X，Y. [解析] (1)X可取0,1,2.
X＝0表示所取三球没有白球．
X＝1表示所取三球是一个白球，两个黑球． X＝2表示所取三球是两个白球，一个黑球．
(2)X 的可 能取值 有 2,3,4,5 ， … ， 12.Y 的 可能取 值 为 1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点 数．则X＝2表示(1,1)， X＝3表示(1,2)(2,1)， X＝4表示(1,3)(2,2)(3,1)， … X＝12表示(6,6)， Y＝1表示(1,1)， Y＝2表示(1,2)(2,1)(2,2)， Y＝3表示(1,3)(2,3)(3,3)(3,1)(3,2)， … Y＝6表示(1,6)(2,6)(3,6)…(6,6)(6,5)…(6,1)．
人教版高中数学选修三第二课时 离散型随机变量的分布列及两点分布 课件
问题 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 提示 通过学习本节课的离散型随机变量的分布列及其性质，我们可以很快解决 此类问题．
1．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个
()
X －1 0 1
Pa b c
A.13
B.14
1
2
C.2
D.3
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性质得 a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝13. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－13＝23. 答案 D
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
答案 C
4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0
1
P
1 2
1－2q
q2
则 P(X≤0)＝__________． 解析 由分布列的性质，得 1－2q≥0，q2≥0， 12＋(1－2q)＋q2＝1，
所以 q＝1－ 22，q＝1＋ 22(舍去)． P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0) ＝12＋1－2×1－ 22＝ 2－12. 答案 2－12
范围内各值的概率之和．
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.
( √)
[微训练] 1．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X1 2 3 4
P
1 6
1 3
1 6
p
则 p 的值为( )
1
1
1
1
A.2
B.6
C.3
2018版高考数学一轮复习课件：第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十六分。
高三一轮总复习
因此 η＝|X－1|的分布列为
(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布 列和数学期望．
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十六分。
高三一轮总复习 [解] (1)由已知，有 P(A)＝C13CC14＋210 C32＝13. 所以，事件 A 发生的概率为13.5 分 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X＝0)＝C23＋CC21230＋C24＝145， P(X＝1)＝C13C13C＋120C13C14＝175， P(X＝2)＝CC13C12014＝145.8 分
[规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤： (1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布； (2)求每一个随机变量取值的概率； (3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步． 2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的 概率；(2)灵活运用分布列的性质求 P(X＝400)的概率，简化了计算．
X2 5 P 0.3 0.7 (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分 布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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第五页，编辑于星期六：二十二点 二十六分。
高中数学 概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)
概率与离散型随机变量的分布列试题1. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。
2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。
若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。
3. 对同一目标进行3次射击，第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7，求：（1）在这3次射击中，恰好有1次击中目标的概率； （2）在这3次射击中，至少有1次击中目标的概率。
4. 已知A 、B 、C 为三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为21，事件B 发生的概率为32，事件C 发生的概率为43，求下列事件的概率： （1）事件A 、B 、C 都不发生； （2）事件A 、B 、C 不都发生； （3）事件A 发生且B 、C 恰好发生一个5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。
（1）赛满3局，甲胜2局的概率是多少？（2）若比赛采用三局二胜制，先赢两局为胜，求甲获胜的概率。
6. 某种项目的射击比赛规则是：开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 远处，若第三次命中则记1分，同时停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。
（1）求射手甲在200m 处命中目标的概率；（2）设射手甲得k 分的概率为P 0，求P 3，P 2，P 1，P 0的值； （3）求射手甲在三次射击中击中目标的概率。
7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。
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1
第78练 离散型随机变量及其分布列
训练目标
理解离散型随机变量的意义，会求离散型随机变量的分布列．
训练题型
(1)求离散型随机变量的分布列；(2)利用分布列性质求参数．
解题策略
(1)正确确定随机变量的取值；(2)弄清事件的概率模型，求出随机变量对应的
概率；(3)列出分布列.
一、选择题
1．已知随机变量ξ～B(9，15)，则使P(ξ＝k)取得最大值的k的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．若随机变量η的分布列如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1
0.1
则当P(η
取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9
C．10 D．25
4．(2017·合肥质检)随机变量X的分布列规律为P(X＝n)＝an(n＋1)(n＝1,2,3,4)，其中
a
是常数，则P12
C.45 D.56
5．设随机变量ξ的分布列为Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P110<ξ<710等于( )
A.35 B.45
C.25 D.15
6．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件则抽到1件次品的概率是( )
2
A.C12C948C1050 B.C12C950C1050
C.C12C1050 D.C948C1050
7．下列表达式中是离散型随机变量X的分布列的是( )
A．P(X＝i)＝0.1，i＝0,1,2,3,4
B．P(X＝i)＝i2＋550，i＝1,2,3,4,5
C．P(X＝i)＝i10，i＝1,2,3,4,5
D．P(X＝i)＝0.2，i＝1,2,3,4,5
8．随机变量X的分布列如下：
X －1 0
1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
A.16 B.13
C.12 D.23
二、填空题
9．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得
3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤7)＝________.(用分数表示结果)
10．(2016·长沙模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个
球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X＝k)，则
P(X
＝5)的值为________．
11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，
到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人
数X的分布列为________．
12．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，
则直至取到正品时所需次数X的分布列为P(X＝k)＝________.
3
答案精析
1．A [因为ξ～B(9，15)，那么P(ξ＝k)＝Ck9(15)k·(45)9－k求出各个概率值，则取得最大值
的时候k＝2，因此选A.]
2．D [由题给出的分布列，可知相应的频率值，则P(η
4．D [由11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a＝1，得45a＝1，∴a＝54.
故P12
ξ 15 25 35 45 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，∴a＝115，
∴P110<ξ<710＝115＋215＋315＝25.]
6．A [50件产品中，次品有50×4%＝2(件)，设抽到的次品数为X，则抽到1件次品的概
率是P(X＝1)＝C12C948C1050.]
7．D [由离散型随机变量的分布列的性质可知，分布列的概率和为1，故选D.]
8．D [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝13，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.]
9.1335
解析 分析题意可知，若得分不大于7，则四个球都是红球或三个红球一个黑球，若四个球
都是红球，P＝1C47＝135，此时得分为4分，若四个球有三个红球一个黑球，P＝C34C13C47＝1235，此
时得分为6分，故P(ξ≤7)＝1335.
4
10.2755
解析 ∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝5，即旧球的
个数增加了2个，∴取出的3个球必为1个旧球，2个新球，
故P(X＝5)＝C13C29C312＝2755.
11.
X 0 1 2
3
P
16 12 310 1
30
解析 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k
＝0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2
3
P
16 12 310 1
30
12.(310)k－1710，k＝1,2,3，…
解析 由于每次取出的产品仍放回，所以每件产品被取到的概率完全相同，
则X的可能取值是1,2，…，k，…，
相应的取值概率为
P(X
＝1)＝710，
P(X
＝2)＝310×710＝21100，
P(X
＝3)＝310×310×710＝631 000，
…
P(X＝k
)＝(310)k－1710.