带禁区约束的直线上选址问题

杭州电子工业学院学报　第24卷第4期JOURNALOFHANGZHOUINSTITUTEOFVol.24,No.4　　2004年8月ELECTRONICENGINEERINGAug.2004　

带禁区约束的直线上选址问题陈光亭,丁　巍,张　固(杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018)

收稿日期:2004-02-24

基金项目:国家自然科学基金(10371028),浙江省教育厅重点项目(20030622)作者简介:陈光亭(1965-),男,浙江磐安人,教授,博士,组合优化及其应用.

摘要:设欧氏平面上直线L的一侧有n个点的点集N,L上则有一个禁区集合F,现要在L上禁区集合以外找一点p,使得联结N∪{p}的最小网络之长达到最短。文章对这一问题提出了一个O

(n2)的近似算法,其性能比为32。

关键词:选址问题;最小生成树;分治法;性能比中图分类号:O157.5 文献标识码:A 文章编号:1001-9146(2004)04-0006-04

0　引　言在欧氏平面上有一条直线L,直线一侧有n个点:A

1,A2,…,An,在直线L上有若干个禁区区间:

(a1,b1),…,(am,bm),

问题是要在

L上禁区以外找一个点P,以及一个连接方式,使联结点集{P,A1,

A2,…,An}中各点的网络总长达到最短。把这一问题称为带禁区约束的直线上选址问题。这一问题在网络设计中有广泛应用。显然,当P选定后,{P,A

1,A2,…,An}

中各点间的连接问题实际上是个Steiner

最小树问题,这是一个NPC问题。因此上述选址问题也是一个NPC问题,由此,考虑用点集{P,A

1,A2,

…,A

n}的最小生成树来近似代替Steiner最小树。寻找P使{P,A1,A2,…,An}

的最小生成树之长达到

最短的问题称为带禁区约束的最小生成树(MST)问题。本文首先考虑带禁区约束的最小生成树问题的计算复杂性,然后用分治法确定直线L的一种划分,在此基础上给出了一个求解带禁区约束的最小生成树问题的O(n

2

)的算法。

1　带禁区约束的MST的若干结论设N={A

1,A2,…,An}为平面上直线L一侧的n个点,L上有若干个开区间构成的禁区集合,

直线

上禁区以外的点集称为可行集。设P为可行集中的一个点,易知在N∪{p}的最小生成树中,与P关联的边数至多为3条。设Ai,Aj,Ak是N中任取3点,现要在L上可行集内找一点P,使P到A

i,Aj,Ak3

点距离之和达到最小,这项工作的进行可由引理1得以保证。引理1　设L上到A

i,Aj,Ak3点距离之和最小的点x落在某个禁区区间(ai,bi)中,则只要比较ai

与bi到3点距离之和,和值小的一个即为P。

由此引理,为求L上可行集内到A

i,Aj,Ak3

点距离之和最小的点,可以不管禁区集合而求得L上到

Ai,Aj,Ak3点距离之和最小的点x,若x不在可行集内,则按引理1处理即可。在给定的精度要求下,这一工作可在常数时间内完成[1],由此即可推得一个穷举型的求解带禁区约束的最小生成树问题的方法:

N中任取s(s≤3)个点,求出L上F以外一点P,使P到s个点距离之和最小,然后求N∪{p}的最小生成树,当遍历N中所有s个点的不同取法,即可得到一个最优解。由于求平面上最小生成树算法的计算复杂性为O(nlogn),而N中任取s个点的取法有O(n

3),则此方法的复杂性为O(n4

logn)。

以上算法中,对每一个点P,都要求一次N∪{p}的最小生成树,而利用文献4中的引理3.1和引理3.2即可以简化这一工作,使得总的计算量可降到O(n3)。本文则进一步把计算量降到O(n

2

)。

2　L的一个划分以L作为X轴,N中所有点均在L上方,其中最左边及最右边的点的坐标分别为0与t。以θ1,θ2

表示与X轴正向成角度θ1,θ2的两个方向,x是L上某一点(其坐标也记为x),记k(x,

θ

1,θ2)为顶点在

x且以θ1,θ2的两个方向为界的一个锥,如图1所示。

对A∈N,定义A的邻近集如下:R

N(A,θ1,θ2)={x|x∈[0,t],且A是N∩k(x,θ1,θ2)中距

x最近

的点},可以说明R

N(A,θ1,θ2)由若干区间组成,这些区间称之为邻近区间。注意这里邻近集或邻近区

间都不考虑是否在可行集中的问题。

图1　θ1,θ2所确定的锥引理2　设A1,A2∈N,A1≠A2,I1与I2分别为A1,A2的一个邻近区间,则I1与I2至多有一个公共点,若y∈I1∩I2,则y是A1,A2的中垂线与L的交点。引理证明此处从略。由引理结果可以说明邻近区间的总数至多为C2n+2n≤n2。下面用分治法(Divide-and-Conquer)来找出N中各点的邻近集:

第一步　把N分成左右两个部分N1与N2,N1与N2中点数相差不超过1;

第二步　确定N1与N2中各点的邻近集,它们分别记为S1与S

2;

第三步　把S1与S2交叠,得到一个新的区间集S。所谓交叠,即是把S1与S2中所有区间端点重新由小到大排序,然后以这些端点依次构成区间,得到区间集S;

第四步　检查S中的区间。设[a,b]既是R

N1(A,θ1,θ2)中区间也是RN2

(B,θ1,θ2)的区间,A,B

的中垂线LAB与L的交点为c,不妨设A在LAB的左侧,B在LAB的右侧。当aR

N(

A,

θ1,θ2)而[c,b]∈RN(B,θ1,θ2);当a≥c,则[a,b]∈RN(B,θ1,θ2);当b≤c,则[a,b]∈RN(A,θ1,θ2)。

若[a,b]只是R

N1(A,θ1,θ2)(或RN2(B,θ1,θ2))中的区间,则[a,b]∈RN(A,θ1,θ2)(或[a,b]∈RN(

B,

θ1,θ2))。

7第4期 陈光亭等:带禁区约束的直线上选址问题 设T(n)是用分治法计算N的邻近集的计算量,T(n)由两部分组成,其一为计算N1与N2的邻近集的计算量2T(n/2),其二是对N1与N2的邻近集的交叠与检查。因为邻近区间总数不超过n

2

,故第

二部分计算量至多为n2次。则T(n)≤2T(n2)+n2,由此容易推得T(n)≤n2+n22+…+n22logn≤2n2。分别取(

θ

1,θ2)为(0°,60°),(60°,120°)(120°,180°),得到3个邻近集族,交叠这3族邻近集得到[0,

t]的一个划分,划分中每个区间I对应于N中至多3个点A,B,C,而I正是A,B,C3个点分别对应于上述3个方向角度区间的邻近区间,记C(I)={A,B,C}。设I是上面所得到的一个邻近区间,x∈I,C(I)={A,B,C},则有如下结论。定理3　存在N∪(x)的一个最小生成树,使得x只与C(I)中的点邻接。

证明:设Q是N∪(x)的最小生成树中与x邻接的一个点,且Q|C(I)。不妨设Q与A同属K(X,

0°,60°)。(1)x不在最小生成树中从A到Q的路上,则因为x∈RN(A,0°,60°),则|xA|≤|xQ|,若以xA

代替

xQ,只会使得生成树长度减少。(2)x在最小生成树中从A到Q的路上但x与A不邻接。考虑△QAx,则∠AxQ<60°,因此AQ

之长

必定小于△QAx最长边之长。而xQ在最小生成树中且x∈R

N(A,0°,60°)

,则|xA|≤|xQ|,|xQ|≤|AQ

|。这是一个矛盾。若Q与A同属k(x,120°,180°),则与前面情形完全对称。若Q与A同属于k(x,60°,120°),这时只要考虑∠AxQ=60°即Q与A分别在k(x,60°,120°)的两边边界上,而此时可把Q看成是在k(x,0°,60°)

或k(x,120°,180°)上,则又可一样加以证明。因此,必可有Q∈C(I)。

推论4　若关于N的带禁区约束的最小生成树已找到,且在L上的点为P,则当P在[0,t]内时,生成树中与P邻接的点集S必是某个C(I)的子集,且P是可行集中到S中各点距离之和最小的点。

3　算法及其性能比设L的划分已找到,且每个区间I相应地有C(I)。若关于点集N的带禁区约束的最小生成树问题的解已找到,且在L上的点为P。则由推论4可得,至于P是否在相应的I中则是次要的,因此前面所给划分中区间本身并不是最重要的,重要的是给出了C(I),C(I)的个数不会超过邻近区间的个数,

因此至多为n2。S为C(I)的一个子集,x为L上可行集中到S中各点距离之和最短的点。T为N的最小生成树,则根据文献[4],可按下法修正生成树:(1)当S为单点集{A},则N∪{x}的MST为{xA}∪T;(2)S为两个

点的集合{A,B},则N∪{x}的MST为{xA,xB}∪T\{E(A,B)},这里E(A,B)为T上A到B的路上的最长边;(3)S={A,B,C},则N∪{x}的MST为{xA,xB,xC}∪T\{e1,e2},这里e1,e2为E(A,B)

,

E(B,C)与E(A,C)中互不相同的两条边。E(A,B),E(B,C)与E(A,C)定义同上。对每个C(I),比较C(I)的各个子集S相对应的N∪{x}的MST,即可得到最短者作为C(I)相对

应的N∪{x}的MST。对所有C(I),重复以上工作,则可找到问题的解,这正是以下算法的思想。算法:

第一步　求出N的最小生成树T,记l(T)为T的长度。对每个C(I)中之点对(i,j),求出T中从i

到j的路上的最长边E(i,j)以及T中的最长边。若N中最低点到可行域的最短距离大于T中最长边的长度,则带禁区约束的最小生成树为T并上B中最低点到可行域的最短距离。否则,转入下一步;

第二步　对方向角度[0°,60°],[60°,120°],[120°,180°]分别求出N的邻近区间集;

第三步　对3个邻近区间集进行交叠,得到L的一个划分,划分中每个区间I对应于一个集合;

第四步　对于每个C(I),按前面所说修正方法,找到可行集中一个点x以及相应于N∪{x}的最小生成树;

第五步　比较上一步中所得的所有最小生成树,其中最短者即为所求的解,相应的x即为L上所求

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