新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《简单的线性规划》单元练习题及解析

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高中数学北师大必修五活规范训练简单线性规划的应用含解析

4.3 简单线性规划的应用双基达标(限时20分钟)1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为 ( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0解析比较选项可知C 正确．答案 C2. 车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工， 3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为 ( )． A ．甲4组、乙2组 B ．甲2组、乙4组 C ．甲、乙各3组 D ．甲3组、乙2组解析设甲、乙两种工作小组分别有x 、y 组，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1.作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．答案 D3．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买两盒，则不同的购买方式共有 ( )． A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种解析设买x 片软件，y 盒磁盘，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≤50，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋.当x ＝3时，y 可取2,3,4；当x ＝4时，y 可取2,3. 当x ＝5时，y 可取2；当x ＝6时，y 取2. 答案 C4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 62的最少费用为________(百万元)．解析设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，则z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 答案 155．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元．解析设需租赁甲种设备x 天，乙种设备y 天．租赁费为z 元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N .z ＝200x ＋300y .如图可知z 在A (4,5)处取到最小值， z min ＝4×200＋5×300＝2 300. 答案 2 3006．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，总运费为z 元，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )，即z ＝716－0.5x －0.8y .x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，260－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤200，0≤y ≤260，x ＋y ≤280，x ＋y ≥100.作出可行域(略)．作直线l ：716－0.5x －0.8y ＝0，当l 移至260－y ＝0和x ＋y ＝280的交点M 时，z 取最小值．因为点M 的坐标为(20,260)，所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．综合提高（限时25分钟）7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 ( )． A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元解析设对甲、乙两个项目分别投资x ，y 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，x ＋y ≤60.作出可行域如右图阴影所示，最大利润为L ＝0.4x ＋0.6y .在点P 处有最大值，而P (24,36)，故L ＝0.4×24＋0.6×36＝ 31.2. 答案 B8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是 ( )． A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元解析设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为 z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案 D9．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌 2个，绘画标牌1个，为了使总用料面积最小，则甲种规格的原料应用________张，乙种规格的原料应用________张．解析设甲种规格的原料应用x 张，乙种规格的原料应用y 张，根据题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≥3，x ，y ∈N .目标函数z ＝3x ＋2y .画出可行域(图略)，由图知当x ＝1，y ＝1时，z 最小．答案 1 110．某生产车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲种产品需要原材料A 5个、原材料B 3个；制造一件乙种产品需要原材料A 3个、原材料B 3个；现有原材料A 180个，原材料B 135个．据市场调查知，每件甲产品可获利润20元，每件乙产品可获利润15元，在现有条件下，生产获得最大利润为________．解析设生产甲产品x 件，乙产品y 件，获得利润为 z 元，则z ＝ 20x ＋15y ，根据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋，5x ＋3y ≤180，3x ＋3y ≤135.z ＝20x ＋15y ，作出可行域，如图，由图可知，当直线z ＝20x ＋15y 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝180，3x ＋3y ＝135，得A ⎝⎛⎭⎫452，452. 因为x ，y 都是正整数，所以易知当x ＝22，y ＝23时，z 有最大值为20×22＋15×23＝ 785(元)．答案 785元11．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种工具运输，每天每艘轮船可运300 t 粮食和250 t 石油，每架飞机可运150 t 粮食和100 t 石油，现在要在一天内运输完2 000 t 粮食和1 500 t 石油，且使轮船和飞机的数量之和最小，需安排多少艘轮船和多少架飞机？解设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000，250x ＋100y ≥1 500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .且目标函数z ＝x ＋y .画出可行域如图所示，作l ：x ＋y ＝0.则l 的平行线l ′经过点A ⎝⎛⎭⎫313，623时，z 最小，但A 为非整数点，不是此题最优解，当l ′过B (4,6)时最优，故需轮船4艘，飞机6架 . 12．(创新拓展)某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2.出售一张方书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可列表格如下：方木料(m 3) 五合板(m 2)利润(元) 书桌(个)0.1 2 80书橱(个)0.21120则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x∈N，y∈N，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤900，2x＋y≤600，x∈N，y∈N.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝900，2x＋y＝600，解得点M的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

北师大版高中数学必修五练习简单线性规划的应用

4.3 简单线性规划的应用课时过关·能力提升1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3 t 、B 原料2 t;生产每吨乙产品要用A 原料1 t 、B 原料3 t .销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 t,B 原料不超过18 t,那么该企业可获得的最大利润是( ) A.12万元 B.20万元 C.25万元D.27万元x t,y t,获得利润为z 万元,由题意知{3x +y ≤13,2x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0,目标函数z=5x+3y.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l 0:5x+3y=0,当平移l 0至点M 时,z 取得最大值.由{3x +y =13,2x +3y =18,得M (3,4),故z max =5×3+3×4=27.故选D .答案:D2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表:若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是( ) A.480万元 B.960万元 C.570万元D.1 080万元A 产品x 件,B 产品y 件,预计收益z=80x+60y. 则{20x +30y ≤300,10x +5y ≤110,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域,如图阴影部分中的整数点.作出直线l 0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过点M 时,z 取最大值, 由{2x +3y =30,2x +y =22,得{x =9,y =4,即M (9,4).所以z max =80×9+60×4=960(万元).故搭载A 产品9件,B 产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50公顷,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:公顷)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30D.0,50x 公顷,y 公顷,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x ,y 满足条件{x +y ≤50,1.2x +0.9y≤54,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域如图阴影部分所示,得最优解为A (30,20).故选B .4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元D.24万元x 万元、y 万元,利润为z ,则{x +y =60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,z =0.4x +0.6y.当x=24,y=36时,z max =31.2万元. 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h,可加工出7 kg A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6 h,可加工出4 kg B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意可知{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.点M (15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知,在点M (15,55)处z 取得最大值. 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元xt,y t,由题意知,x ,y 需满足约束条件{2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,每天可获得利润z=3x+4y. 由约束条件画出可行域,如图所示,l 0:y=−34x,平移l 0过点C ,使z 取得最大值.由{3x +2y =12,x +2y =8,得C (2,3),故z max =6+12=18(万元).7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15 t .已知生产甲产品1 t 需煤9 t,电力4 kW·h,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1 t 需煤4 t,电力5 kW·h,劳动力10个.甲产品每吨价格是7万元,乙产品每吨价格是12万元.但每天用煤量不得超过300 t,电力不得超过200 kW·h,劳动力只有300个,当每天生产甲产品 t,乙产品 t 时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.x t,乙产品y t,总利润为S 万元,依题意约束条件为{4y ≤300,4x +5y ≤200,3x +10y ≤300,x ≥15,y ≥15.目标函数为S=7x+12y ,作出可行域如图阴影部分所示,当直线S=7x+12y 经过点A 时,直线的纵截距最大,所以S 也取最大值.解方程组{4x +5y -200=0,3x +10y -300=0,得A (20,24),故当x=20,y=24时,S max =7×20+12×24=428(万元).24★8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A,B 两种设备上加工,在每台A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1h,2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h,1 h,A,B 两种设备每月有效使用时数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大?x 件,y 件,约束条件是{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .目标函数是z=3x+2y ,要求出适当的x ,y ,使z=3x+2y 取得最大值. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.将z=3x+2y 变形为y=−32x +z2, 由图可知,当直线过点A 时, 目标函数z 取得最大值, 由{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100.所以z max =3x+2y=3×200+2×100=800(千元), 800千元=80万元.故甲、乙两种产品每月分别生产200件、100件时,可得最大收入80万元.★9.某厂用甲、乙两种原料生产A,B 两种产品,已知生产1 t A 产品、1 t B 产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示:在现有原料下,A,B 产品应各生产多少才能使利润总额最大?A,B 两种产品分别为x t,y t,其利润总额为z 万元. 根据题意,得约束条件为{2x +5y ≤10,6x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0.目标函数z=4x+3y.作出可行域如图阴影部分所示.作直线l 0:4x+3y=0,平移直线l 0经过点P 时,z=4x+3y 取得最大值. 由{2x +5y =10,6x +3y =18,得P (52,1).所以z max =4×52+3×1=13(万元).故生产A 产品2.5 t,B 产品1 t 时,总利润最大为13万元.。

【高中数学必修5】3.3.2简单的线性规划问题3

设需要第一种钢板ｘ张，第二种ｙ张
列列出约束条件所
2x y 15
对应的不等式组目标函数为：ｚ＝ｘ＋ｙ
xx
Hale Waihona Puke 2y 3y18 27
画画出可行域
x 0 y 0
B(3,9) C(4,8)
M
2x y 15
xx
2y 3y
18 27
x 0
y 0
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
例7.在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
设设生产甲种肥料ｘ车皮，乙种ｙ车皮
列列出约束条件所
4x y 10
对应的不等式组
18x 15y 66
目标函数为：ｚ＝ｘ＋0.5ｙ x 0
3.3.2简单的线性规划 (三)
复习：解线性规划应用问题的步骤
1.设——分析条件，设未知数x,y 2.列——列出约束条件、目标函数 3.画——规范、精确地画出可行域 4.移——平移直线，注意斜率和移动方向
5.求——解出最优解对应的点的坐标，求出Z的最值 6.答——应用题要作答
例６.在上一节例3中，各截这两张钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
1
O1
x
x+y=1
还有别的方法解这类问题吗？ 2x+4y=0
画画出可行域
y 0
4x y 10 18x 15y 66 x 0 y 0
解方程组求M点的坐标
18x 15y 66 4x y 10

2018年高中数学必修五达标练习：第3章§4-4.2简单线性规划

[A 基础达标 ]
（ x－ y＋ 3）（ x＋y）≥ 0，
1．不等式组－ 32≤x≤ 3
表示的平面区域是 ( )
A ．矩形
B ．三角形
C．直角梯形ຫໍສະໝຸດ D ．等腰梯形解析：选 B. 不等式组
（ x－y＋ 3）（ x＋ y） ≥ 0
－ 3≤x≤ 3
?
2
x－ y＋ 3≥ 0 x－ y＋ 3≤0
－3≤x≤3 2
6.如图中阴影部分的点满足不等式组
x＋ y≤ 5， 2x＋ y≤ 6，
在这些点中，使目标函数 x≥0， y≥ 0.
z＝6x＋ 8y 取得最大值的点的坐标是 ________．
解析：首先作出直线 6x＋ 8y＝ 0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的
点(0 ， 5)时截距最大，此时 z 最大．
令 z＝ λ－ μ
y＝λ＋ μ，
＝－ 2(λ＋ 2μ)＋ 3(λ＋μ)＝－ 2x＋ 3y，变形得
y＝23x＋
z 3.当直线
y＝
2 3x＋
z3过点
A(－ 1， 0)时， z 取得最大值，且 zmax＝ 2；当直线
y＝
2 3x＋
3z过点
B(3，0) 时， z 取得最小值
，
且 zmin＝－ 6.故 λ－ μ的取值范围是 [ － 6， 2] ．答案： [－ 6， 2]
平移直线过可行域内的 B 点时， z 取得最大值．
x＝ 1，
5
解
得A x－ 3y＝－ 4，
1， 3
.
x－ 3y＝－ 4，
解
得 B(5， 3)．
3x＋ 5y＝30，
所以
zmax
＝
2×
5＋

高中数学必修五同步练习专题3.3.2 简单的线性规划问题(原卷版)

第三章不等式3.3.2 简单的线性规划问题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设x ，y 满足如图所示的可行域（阴影部分），则12z x y =-的最大值为A ．12 B ．0 C ．12-D ．1-2．若x ，y 满足不等式组2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则22z x y =+的最小值为A ．2B 5C ．4D ．53．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为A ．2B ．2-C ．3-D ．1-4．若实数,x y 满足不等式组2100x y y x x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的取值范围为A ．1[2]2B ．2]C ．1[,2]4D ．[0,2]5．已知实数x ，y 满足3020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+-≤⎩，则22(1)z x y =-+的最小值为A ．12BC ．1D6．若变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为A ．7-B ．4-C ．1D ．27．已知点(5,2)A ，(0,1)B ，22(1,)5C ，若(,)P x y 在ABC △表示的平面区域内（包含边界），且目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的值为AB ．35 C ．5D ．158．若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为A ．10B ．8C ．5D ．29．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．若实数,x y 满足约束条件210220 230x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则yz x =的最大值为________________．11．若x ，y 满足约束条件1022040x x y x y -≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则yz x =的取值范围为________________．12．已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-12320y x y x y x ，则目标函数y x z 4+=的取值范围为________________．13．已知实数,x y 满足3501030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若z ax by =+的最大值为10，其中0a >，0b >，则22a b +的最小值为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料30.1m ，五合板22m ，生产每个书橱需要方木料30.2m ，五合板21m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少? （2）如果只安排生产书橱，可获利润多少? （3）怎样安排生产可使所得利润最大?。

[推荐学习]2018北师大版高中数学必修五学案：第三章 4.2 简单线性规划

4.2 简单线性规划学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．问题已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y ②的最大值．以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．知识点一约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的____次不等式，故又称线性约束条件．知识点二目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x 、y 的____次解析式，这样的目标函数称为二元线性目标函数．知识点三二元线性规划问题一般地，在线性约束条件下求________________的最大值或最小值问题，统称为二元线性规划问题．知识点四可行解、可行域和最优解在线性规划问题中，满足约束条件的解(x ，y )称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫________，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个________，其中能使②式取最大值的可行解称为________．类型一最优解问题命题角度1 唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y 的最大值．反思与感悟 (1)图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤 ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．命题角度2 最优解不唯一例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0，，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于()A.14B.35 C ．4 D.53类型二生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负．当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大．(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关．跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲，乙两种货物应各托运的箱数为________．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.522．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．233．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．14．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题，这时要特别注意z ＝ax ＋by 中的b 的正负对z 最优解的影响．答案精析问题导学知识点一一知识点二一知识点三线性目标函数知识点四可行域可行解最优解题型探究例1 解设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为定值－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.跟踪训练1 解作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]．例2 解约束条件所表示的平面区域如图：由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1；当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.跟踪训练2 B [由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.]例3 解设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为 y ＝－43x ＋z 21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一组平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小．如图可见，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17kg ，食物B 47 kg.跟踪训练3 4,1解析设甲，乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)．易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲，乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．当堂训练1．C 2.B 3.A 4.8。

高一下数学必修五第3章 3.3.2 简单的线性规划问题练习题课件

易错点1 忽略截距与目标函数值的关系而致错
9．设E为平面上以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝ 4x－3y的最大值与最小值．
解
易错警示
把目标函数z＝4x－3y化为y＝43x－13z.根据条件画出可行域如图所示，当动直线y＝43x－13z经过点B(－1，－6)时，z取得最大值；当动直线y＝43x－13z经过点C(－3，2)时，z取得最小值．故zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
3.3.2 简单的线性规划问题刷基础
题型1 线性目标函数的最值问题
2．[山东青岛2018高三二模]设实数x，y满足 A．有最小值2，最大值3 B．有最大值3，无最小值 C．有最小值2，无最大值 D．既无最大值也无最小值
则z＝x＋y( C )
解析作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
x+ x∈
4y ≤ 11 Z, y ∈ Z
，求S＝5x＋4y的最大值．
x > 0, y > 0
解
依据已知条件作出图形如图所示，
因为B(2，1)是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，
同理，可得C(1，2)，SC＝5×1＋4×2＝13，由于14>13，故Smax＝14.
题型3 线性规划的实际应用
6．[福建厦门2017高二上学期期末]4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支
铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( B )
A．0.5元
B．1元
C．4.4元
D．8元

高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应用_作业含解析

⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析[学业⽔平训练]1．设x ，y 满⾜2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最⼩值2，最⼤值3B ．有最⼩值2，⽆最⼤值C ．有最⼤值3，⽆最⼩值D ．既⽆最⼩值，也⽆最⼤值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最⼩值，即z m in ＝2，⽆最⼤值．2．设变量x ，y 满⾜x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最⼤值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：选D.作出可⾏域如图所⽰．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最⼤值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最⼤值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最⼤值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最⼤值为55.故选D.3．(2013·⾼考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满⾜约束条件x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最⼩值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表⽰的可⾏域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最⼩值．由?x ＝3，x －y ＋1＝0，得x ＝3，y ＝4，∴z m in ＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x ＋y ＝10与不等式组x ≥0y ≥0x －y ≥－24x ＋3y ≤20，表⽰的平⾯区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．⽆数个解析：选B.画出可⾏域如图阴影部分所⽰．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x ，y 满⾜y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果⽬标函数z ＝x －y 的最⼩值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.画出x ，y 满⾜的可⾏域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使⽬标函数z ＝x －y 取得最⼩值，解?y ＝2x －1，x ＋y ＝m 得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代⼊x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满⾜条件x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最⼩值等于________，最⼤值等于________．解析：画出约束条件对应的可⾏域，如图阴影部分所⽰，∵|PO |表⽰可⾏域上的点到原点的距离，从⽽使|PO |取得最⼩值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最⼤值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2 107．(2013·⾼考⼤纲全国卷)若x ，y 满⾜约束条件x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最⼩值为________．解析：由不等式组作出可⾏域，如图阴影部分所⽰(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业⽣产甲、⼄两种产品，已知⽣产每吨甲产品要⽤A 原料3吨、B 原料2吨；⽣产每吨⼄产品要⽤A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨⼄产品可获得利润3万元．该企业在⼀个⽣产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最⼤利润是________．解析：设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联⽴3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得?x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3，4)．故z 的最⼤值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x ，y 满⾜条件y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，若r 2＝(x ＋1)2＋(y －1)2(r >0)，求r 的最⼩值．解：作出不等式y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2所表⽰的平⾯区域如图：依据上图和r 的⼏何意义可知：r 的最⼩值是定点P (－1，1)到直线y ＝x 的距离，即r m in ＝|1＋1|2＝ 2.10．某⼯⼚制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需⽤薄钢板给每台仪器配⼀个外壳．已知钢板有甲、⼄两种规格：甲种钢板每张⾯积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个．⼄种钢板每张⾯积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、⼄两种钢板各⽤多少张才能⽤料最省？(“⽤料最省”是指所⽤钢板的总⾯积最⼩)解：设⽤甲种钢板x 张，⼄种钢板y 张，依题意x ，y ∈N ，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总⾯积z ＝2x ＋3y .作出可⾏域如图所⽰中阴影部分的整点．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最⼩．由⽅程组3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55得?x ＝5，y ＝5. 所以甲、⼄两种钢板各⽤5张⽤料最省．[⾼考⽔平训练]1．若实数x ，y 满⾜不等式组y ≥0x －y ≤42x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，2)D ．[－12，＋∞)解析：选C.把w ＝y －1x ＋1理解为⼀动点P (x ，y )与定点Q (－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x ＝1，y ＝0时，w m in ＝－12，且w ＜2.2．若实数x 、y 满⾜x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x＋2y的最⼩值是________．解析：由不等式组，得可⾏域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三⾓形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最⼩值0.∴z ＝3x ＋2y 的最⼩值为1.答案：13．某营养师要为某个⼉童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和6个单位的维⽣素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和10个单位的维⽣素C.另外，该⼉童这两餐需要的营养中⾄少含64个单位的碳⽔化合物，42个单位的蛋⽩质和54个单位的维⽣素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费⽤分别是2.5元和4元，那么要满⾜上述的营养要求，并且花费最少，应当为该⼉童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法⼀：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，则z 在可⾏域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.⽐较之，z B 最⼩，因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．法⼆：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，让⽬标函数表⽰的直线2.5x ＋4y ＝z 在可⾏域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最⼩值．因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．4．已知实数x 、y 满⾜x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最⼤值和最⼩值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最⼤值和最⼩值；(3)若z ＝yx，求z 的最⼤值和最⼩值．解：不等式组x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表⽰的平⾯区域如图阴影部分所⽰．由x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)；由x ＝2，x －y ＋1＝0，得x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)；由x ＝2，x ＋y －3＝0，得? x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最⼤，z 也最⼤，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最⼩，z 也最⼩，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最⼤值为7，最⼩值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂⾜为N ，则直线l 的⽅程为y ＝x .由?y ＝x ，x ＋y －3＝0，得?x ＝32，y ＝32，∴N32，32. 点N 32，32在线段AB 上，也在可⾏域内．此时可⾏域内点M 到原点的距离最⼤，点N 到原点的距离最⼩．⼜|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最⼤值为13，最⼩值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2，∴z 的最⼤值为2，最⼩值为12.。

2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章不等式 4-3 简单线性规划的应用含答案精品

4.3简单线性规划的应用[学习目标] 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值．知识点一图解法解线性规划问题的步骤用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．知识点二简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一与最大值有关的实际问题例1 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．① ②(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一簇平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．反思与感悟解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l ； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．跟踪训练1 某糖果厂生产A ，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)：30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？解设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则问题转化为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0下，求目标函数z ＝40x ＋50y 的最大值，作出可行域如图，其边界OA ：y ＝0，AB ：3x ＋y －900＝0，BC ：5x ＋4y －1 800＝0，CD ：x ＋2y －720＝0，DO ：x ＝0. 由z ＝40x ＋50y ，得y ＝－45x ＋z50，它表示斜率为－45，截距为z50的平行直线系，z50越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝720，5x ＋4y ＝1 800⇒C (120,300)．∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800，即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元．题型二与最小值有关的实际问题例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解将已知数据列成下表：那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一簇平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．反思与感悟解决线性规划问题应在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制．跟踪训练2 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为多少？解设需A 型车x 辆，B 型车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤7，x ＋y ≤21，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤7，x ＋y ≤21，3x ＋5y ≥75，x ，y ∈N＋由目标函数z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z 2 400，z2 400表示直线在y 轴上的截距，要z 最小，则直线在y 轴上的截距最小，画出可行域(如图)，平移直线l ：y ＝－23x 到l 0过点A (5,12)时，z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800. 故租金最少为36 800元．题型三实际问题中的整数解问题例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2件，4件 B ．3件，3件 C ．4件，2件 D ．不确定答案 B解析设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，100x ＋160y ≤800，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．2．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司应怎样合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝________元．( ) A ．4 650 B ．4 700 C ．4 900 D ．5 000 答案 C解析设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，如图阴影部分所示．然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点A (7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900元．4．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．解设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则目标函数为：z ＝2x ＋y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤120，4x ＋11y ≤400，4x ＋6y ≤240，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示．作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A 时纵截距z 最大，即z ＝2x ＋y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋6y －240＝0，3x ＋2y －120＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝24.故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。

高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §4-4.3 简单线性规划的应用含解析

[A 基础达标]1．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种教学用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：选B.设买A 种教学用品x 件，B 种教学用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析：选C.设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，画出线性约束条件表示的平面区域，可行域内的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元解析：选B.设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱(x ，y ∈N )，根据题意，得约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图．目标函数z ＝280x ＋200y ，即y ＝－75x ＋z 200，作直线y ＝－75x 并平移，得最优解A (15，55)．所以当x ＝15，y ＝55时，z 取最大值．5．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组解析：选D.设甲种x 组，乙种y 组．则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1，x ∈N ＋，y ∈N ＋总的组数z ＝x ＋y ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x ＝3，y ＝2时，为最优解．6．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216 0007．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析：设买科普书x 本，文具y 套，总数为z ＝x ＋y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋10y ≤300，x ≤y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z ＝x ＋y 化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x 并平移，使之经过可行域，易知经过点A ⎝⎛⎭⎫754，754时，纵截距最大，但因x ，y 均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z 最大为37.答案：378．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．解析：设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N )，总利润为z 万元，则⎩⎨⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，且z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0：10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4，1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．答案：60万元9．A ，B 两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解：设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调40－x 万个到甲地，20－y 万个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎨⎧x ＋y ≤50，40－x ＋20－y ≤30，0≤x ≤40，0≤y ≤20，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0，经平移知直线经可行域上点M (30，0)时与原点距离最小，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地，从B 仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．10．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．(1)若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形．(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：(1)由题意，知x ，y 满足的条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.2x ＋0.1y ≤1.6，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为z ＝x ＋0.6y .如图所示，作直线l 0：x ＋0.6y ＝0.当直线l 0经平移过直线x ＋y ＝10与0.2x ＋0.1y ＝1.6的交点A 时，其纵截距最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.2x ＋0.1y ＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，即A (6，4)，此时z ＝6＋0.6×4＝8.4(万元)，所以当x ＝6，y ＝4时，z 取得最大值．即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．[B 能力提升]11．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元解析：选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .利润z ＝30x ＋20y .不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点，根据目标函数的几何意义，在直线2x ＋3y ＝60和直线4x ＋2y ＝80的交点B 处取得最大值，解方程组得B (15，10)，代入目标函数得z max ＝30×15＋20×10＝650.12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车和4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车为320元，B 型卡车为504元．每天调配A 型卡车______辆，B 型卡车______辆，可使公司所花的成本费用最低．解析：设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本为z 元，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，y ≤4，x ＋y ≤10，4×6x ＋3×10y ≥180（4x ＋5y ≥30），x ，y ∈N ，目标函数z ＝320x ＋504y (其中x ，y ∈N )．作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．由图易知，直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)．答案：8 013．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m 3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m 3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m 3；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m 3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m 3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m 3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万m 3，需满足：2－x 500≤0.2%，0≤x ≤2；设第二化工厂每天处理工业废水y 万m 3，需满足：0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤y ≤1.4. 两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z ＝1 000x ＋800y 元．问题即为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2－x 500≤0.2%，0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，4x ＋5y －8≥0，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4，求目标函数z ＝200(5x ＋4y )的最小值．如图，作出可行域．可知当x ＝1，y ＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万m 3，第二化工厂每天处理工业废水0.8万m 3，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．14．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C 甲4 8 3 乙5 5 10现有A 已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

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新课标----最新北师大版北师大版高中数学必修五高一数学简单的线性规划训练卷班级姓名分数一、选择题（每小题5分） 1、下列说法正确的个数有( ) ①图中表示的区域是不等式2x-y+1≥0的解②图中表示区域是不等式3x+2y-1>0的解 ③图中表示的区域是不等式Ax+By+C≥0的解④图中表示的区域是不等式Ax+By+C≤0的解 ⑤图中表示的区域不是不等式Ax+By+C≥0的解

A.0 B.2 C.4 D.5 2．不在3x＋2y>3表示的平面区域内的点是( ) A．(0,0) B．(1,1)C．(0,2) D．(2,0) 3、如右下图所示，阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是( )

A.02201063201yxyxyxyxB02201063201yxyxyxyx C. 02201063201yxyxyxyx D. 02201063201yxyxyxyx 4、目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时，z的意义是 ( ) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距

5、不等式组 y>xx＋y≤1y≤3表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( ) A．P1∉D，P2∉D B．P1∉D，P2∈DC．P1∈D，P2∉D D．P1∈D，P2∈D 6、设变量x、y满足约束条件,63,2,xyyxxy则目标函数z=2x+y的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.9 7．给出下列四个命题： ①对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同； ②不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集； ③线性约束条件只能用一次不等式来表示，而不能用一次方程表示；新课标----最新北师大版 ④在线性规划问题中，把使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫作该问题的最优解．其中正确的命题是( ) A．①③④ B．①②④C．①②③ D．②③④ 8、已知平面区域如图所示,z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为( )

A.207 B.207 C.21 D.不存在 9、某人上午7:00乘汽车以匀速v1千米/时(30≤v1≤100)从A地出发到距A地300千米的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以匀速v2千米/时 (4≤v2≤20)从B地出发到距B地50千米的C地,计划在当天16:00至21:00时到达C地.设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x、y的范围用阴影部分表示正确的是( )

10．如右图所示，目标函数z＝mx－y的可行域为四边形OACD(含边界)，若(1，85)是唯一的最优解，则实数m的范围是( ) A．[－25，＋∞)∪(－∞，－85]B．(－∞，－25) C．(－85，－25)D．[－85，＋∞) 二、填空题（每小题5分） 11．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．

12、设变量x，y满足约束条件 x－y＋3≥0，x＋y≥0，－2≤x≤3，则目标函数2x＋y的最小值为________ 13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是________． 14．可行域D满足 x－y＋1≥0，x＋y－4≤0，x≥0，y≥0.可行域E满足 0≤x≤4，0≤y≤52，则D、E对应的点集间的关系是________． 15．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B. 三、解答题

16．画出不等式组 y－2x≤0，x＋2y＋3>0，5x＋3y－5<0所表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．新课标----最新北师大版 17、 (本小题满分10分)如下图所示，求△PQR内任一点(x,y)满足的关系式.

18．设满足y≥|x－a|的点(x，y)的集合为A，满足y≤－|x|＋b的点(x，y)的集合为B，其中a，b为正数，且A∩B≠∅.(1)a，b之间有什么关系？(2)求A∩B表示的图形的面积．

19、 (本小题满分10分)某集团为了支援新农村建设,计划在2007年兴办一所中学,投资1 200万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下: 班级学生数配备教师数硬件建设(万元) 教师年薪(万元/人) 初中 60 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费600元,高中生每年可收取学费1 500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20到30个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润为多少万元?(利润=学费收入-年薪支出) 新课标----最新北师大版 20．电视台为某广告公司特约播放两套片集，其中片集甲每片播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．问电视台每周应播映两套片集各多少集，才能获得最高的收视率？

21．实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b－2a－1

的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．

北师大版必修5高一数学简单的线性规划训练卷答案一、选择题（每小题5分） 1、A. 2．解析：∵3×0＋2×0>3不成立，∴选A. 3、 C. 4、B. 5、解析：∵0<－2不成立，∴P1∉D，又∵0>0不成立，∴P2∉D，故选A.

6、B. 7．解析：根据线性规划有关知识可知①②④正确，故选B. 8、B. 9、D．

kAC＝851－2＝－85，kCD＝2－850－1＝－25，由题意知10．解析：令z＝mx－y＝0，则目标函数y＝mx的斜率为m.如图所示，新课标----最新北师大版点(1，85)是唯一最优解，所以推得实数m的范围是－85二、填空题（每小题5分） 11．解析：设F(x，y)＝x＋y－a，由题意知F(0,0)·F(1,1)<0，即－a(2－a)<0，∴012、解析：z＝2x＋y，画出可行域如下图．

最优解为M(－32，32)，zmin＝－32，故填－32. 13．解析：由题意得，点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，∴ 2×1－2b＋1>02×－1＋2b＋1>0 解得：1214．解析：根据题意可得D、E的可行域如下图所示．

由 x－y＋1＝0，x＋y－4＝0求得P(32，52)，∴DE.

15．解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则 2x＋y>84x＋5y<22，两式分别乘22、8得12x－18y>0，即2x－3y>0，故A>B. 三、解答题 16．解析：不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3>0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5<0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域(不含边界)，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如下图所示的△ABC区域．

可求得A(－35，－65)，B(511，1011)，C(197，－207)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－35∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z. 经检验，共有四个整点(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．

17、解：首先求三直线PQ、QR、RP的方程.易得直线PQ的方程为x+2y-5=0;直线QR的方程为x-6y+27=0;直线RP的方程为3x-2y+1=0.注意到△PQR内任一点(x,y)应在直线RP、PQ的上方,而在QR的下方,故应有.0276,0123,052yxyxyx

18．解析：(1)作函数y＝|x－a|及y＝－|x|＋b的图像，画出y≥|x－a|及y≤－|x|＋b表示的区域，如下图，可知，若A∩B≠∅，则b≥a. (2)当b>a时，A∩B表示一矩形区域，各边所在直线方程分别为x－y－a＝0，x－y＋b＝0，x＋y－a＝0，x＋y－b＝0.

矩形两边长分别为d1＝|a＋b|2，d2＝|a－b|2.

∴S矩形＝d1·d2＝|a＋b|2·|a－b|2＝12(b2－a2)， ∴所求面积S＝12(b2－a2)．新课标----最新北师大版 19、解：设初中x个班,高中y个班,则,0,0,12005828,3020yxyxyx 设年利润为s,则yxyxyxs22.16.15.22.1215.04006.060.作出不等式组表示的平面区域,如下图,易知当直线1.2x+2y=s过点A时,s有最大值.由12005828,30yxyx解得

20．解析：设片集甲播映x集，片集乙播映y集，则有 x＋y≥6，21x＋11y≤86，x≥0，y≥0，x，y∈N 要使收视率最高，则只要z＝60x＋20y最大即可．如图所示，作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)， ∴zmax＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播映2集，片集乙播映4集，其收视率最高．

21．解析：方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组

 f0>0，f1<0，f2>0⇔



 b>0，a＋2b＋1<0，a＋b＋2>0.由 a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0

解得A(－3,1)．由 a＋b＋2＝0，b＝0.解得B(－2,0)．

由 a＋2b＋1＝0，b＝0.解得C(－1,0)． ∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．