2017届江苏省徐州市高三第三次质量检测数学试题及答案

徐州市2017届高三第三次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N = ，则=M N ▲ ． 2．已知复数3i 1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ． 4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

5．执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ ．7．已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ． 8．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3na 的前n 项和．若3nn StT =，则实数t 的值为 ▲ ．9．已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin (010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．11．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ． 13．如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD = ，3AE ED =，则BE = ▲ ．14．已知函数1()()ex a f x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第5题图）a（第4题图）（第13题图）ACEB15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ．（1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD 求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分） 如图，在五面体ABCDEF中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．17．（本小题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式*2*219,,1560 1020,540x x xp x x x ⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩N N , ≤≤,　≤≤(日产品废品率=日废品量日产量 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额） （1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；（第16题图）FAC DEB（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（本小题满分16分）如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ． （1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧 12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ． （i ）求11GB EB 的最大值；（ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n nb a b a +=-+，*n ∈N ． （1）求证：数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1pc ，1q c ，1rc 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．徐州市2017届高三第三次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．（第21-A 题） A B PFO E DC·注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。

本试卷满分40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．（1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．23．（本小题满分10分）在数列{}n a 中，已知120a =，230a =，113n n n a a a +-=-(*n ∈N ，2n ≥)． （1）当2n =，3时，分别求211n n n a a a -+-的值，判断211(2)n n n a a a n -+-≥是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n ，使得151n n a a ++为完全平方数．（第22题图）ABC A 1B 1C 1徐州市2017届高三第三次质量检测数学Ⅰ参考答案与评分标准二、解答题 15．（1）由题意知sin cos 0A B ⋅=+=m n ， ………………………………2分又π6C =，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=， ………………………4分即1sin sin 02A A A -+=，即πsin()06A -=， ……………………………6分又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π6A =． …………7分 （2）设BD x = ，由3BD BC = ，得3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以3BA x = ，2π3B =，在△ABD中，由余弦定理，得2222π=(3)23cos 3x x x x +-⨯⨯， ……10分解得1x =，所以3AB BC ==， ………………………12分所以112πsin 33sin 223ABC S BA BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=Δ …………………………14分16．（1）因为//AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以//BC 平面ADEF ， ………………………………3分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =， 所以//BC EF ． ………………………………6分（2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以D E BH ⊥， 又AD ，D E ⊂平面ADEF ，AD DE D = ，H（第16题图） F ACDE B所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………9分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以3BH =， 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以D E AD ⊥，又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，……12分所以三棱锥B DEF-的体积1113113332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． ……14分17．（1）由题意可知，2*3*24219,,152(1)5 1020,.3180x x x x xy x p px x x x x ⎧-∈⎪⎪-=--=⎨⎪-∈⎪⎩N N ,　≤≤,　≤≤ …………………………4分（2）考虑函数2324219,15()5 1020,3180x x x xf x x x x ⎧-⎪⎪-=⎨⎪-⎪⎩,　≤≤,　≤≤当15359x -≤时，'()0f x <，函数()f x 在(1535,9]-上单调减．所以当1535x =-()f x 取得极大值，也是最大值， 又x 是整数，64(8)7f =，(9)9f =，所以当8x =时，()f x 有最大值647．……10分当1020x ≤≤时，225100'()036060x x f x -=-=≤，所以函数()f x 在[10,20]上单调减，所以当10x =时，()f x 取得极大值1009，也是最大值．由于1006497>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．……14分18．（1）由题意知，2(0,1)B ，1(3,0)A -， 所以1b =，3a =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=， ………………………2分易得圆心(M，1A M ，所以圆M的方程为224(3x y +=．…4分（2）证明：设直线1B D的方程为1(y kx k =-<，与直线12A B的方程1y x =+联立，解得点E ， ……………6分 联立22113y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得，22(1+3)60k x kx -=，解得点222631(,)3131k k G k k -++， ……………9分（i）111111)2GEx GB EB x ===-=+-+1=≤，当且仅当k =时，取“=”，所以11GB EB的最大值为． …………………………12分（ii ）直线2B G 的方程为222311131116331k k y x x k kk --+=+=-++，与直线11A B的方程1y =-联立，解得点F ， ……14分 所以E 、F=-故E 、F两点的横坐标之和为定值，该定值为- …………………16分19．（1）因为2n n a b =，所以2n na b =，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分所以11112n n b b +=+， 又13a =，所以123b =，故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为32，公差为12的等差数列， ……4分即1312(1)222n n n b +=+-⨯=，所以22n b n =+． ………………………6分（2）由（1）知2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-， ①当1p =时，11p c c ==，21q c q =-，21r c r =-， 若1pc ，1qc ，1rc 成等差数列，则2112121q r =+--（*）， 因为p q r <<，所以2q ≥，3r ≥，2121q <-，11121r +>-， 所以（*）不成立． …………………………9分②当2p ≥时，若1pc ，1qc ，1rc 成等差数列，则211212121q p r =+---，所以121421212121(21)(21)p q r q p p q --=-=-----，即(21)(21)21421p q r p q ---=--，所以22421pq p qr p q +-=--， (12)分欲满足题设条件，只需21q p =-，此时2452r p p =-+， ………………14分因为2p ≥，所以21q p p =->，224734(1)10r q p p p p -=-+=-+->， 即r q >． …………………………15分综上所述，当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；当2p ≥时，存在21q p =-，2452r p p =-+，满足题设条件．…16分20．（1）212(12)1()2(12)ax a x f x ax a x x +--'=+--=(21)(1)ax x x+-=， ……2分因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >，所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞． …………………4分（2）当0a <时，由()0f x '=，得112x a=-，21x =，①当12a->1，即102a -<<时，()f x 在(0,1)上是减函数，所以()f x 在1[,1]2上的最小值为(1)1f a =-． (6)分②当11122a -≤≤，即112a --≤≤时，()f x 在11[,]22a -上是减函数，在1[,1]2a-上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-． ……………………8分 ③当1122a -<，即1a <-时，()f x 在1[,1]2上是增函数，所以()f x 的最小值为113()ln 2224f a =-+．综上，函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值[]min ()f x =13ln 2, 1,24111ln(2), 1,4211, 0.2a a a a a a a ⎧-+<-⎪⎪⎪-+---⎨⎪⎪--<<⎪⎩≤≤………………………10分（3）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，直线AB 的斜率2212112122112121()(12)()ln ln y y k a x x a x x x x x x x x -⎡⎤==-+--+-⎣⎦-- =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20()k f x '=0012(12)ax a x =+--12122()(12)a x x a x x =++--+，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =， 即211212ln ln 2=x x x x x x ---+， ………………………………13分所以22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+， 令2(1)()ln (1)1t g t t t t-=->+，22214(1)()0(1+t)(1)t g t t t t -'=-=>+， 所以()g t 在(1,+)∞上是增函数，又(1)0g =，所以()0g t >，即2(1)ln 1t t t-=+不成立，所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ． …………………………16分徐州市2017届高三第三次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准B ．选修4-2：矩阵与变换 由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以22,3,c d c d +=⎧⎨+=⎩解得1,4.c d =-⎧⎨=⎩……………………5分所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，所以121331166-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ． ……………………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程由题意知，圆A 的极坐标方程为8cos ρθ=， ………………4分 设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，所以28cos ρθ=，即4cos ρθ=， ………………9分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=≠． ………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲因为2222222[(1)(2)(3)](123)[(1)2(2)3(3)]x y z x y z -+++-++-+++-≥22(236)14x y z =++-=，………8分当且仅当123123x y z -+-==，即0,4x z y ===-时，取等，所以222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． …………………10分22．如图，以{}1,,CA CB CC为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，， 1(1,1,2)AB =- ，1(1,1,2)BA =-． （1）因为111111cos ,CB BA CB BA CB BA ⋅==所以异面直线1BA 与1CB （2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m 则110,0,AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩ 取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；所以二面角1B AB C--平面角的余弦值为． …………………………10分22．（1）记“演出成功”为事件A ， 则事件A 由三个互斥事件构成：6X=，7X =，8X =，因为1113232337C C C C 13(6)C 35P X +===，2121322237C C C C 8(7)C 35P X +===，212337C C 3(8)C 35P X ===．所以24()(6)(7)(8)35P A P X P X P X ==+=+==．所以演出成功的概率为2435．……………………………………………………4分 （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8．因为212337C C 3(4)C 35P X ===，2121322237C C C C 8(5)C 35P X +===． 所以X 的概率分布为………………8分所以43586137883()63535353535E X ⨯⨯⨯⨯⨯=++++=．答：演出节目总数的数学期望为6． ………………………………………10分 23．（1）由已知得370a =，4180a =．所以2n =时，211500n n n a a a -+-=-；当3n =时，211500n n n a a a -+-=-．………2分猜想：211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)． …………………………………………3分下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，结论成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即211500k k k a a a -+-=-， 将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-． 则当1n k =+时，221211(3)k k k k k k k a a a a a a a ++++-=--=22113500k k k k a a a a ++-+=-． 故当1n k =+结论成立，根据①,②可得，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)成立．………………………………5分（2）将113n n n a a a -+=-代入211500n n n a a a -+-=-，得22113500n n n n a a a a ++-+=-，则2115()500n n n n a a a a ++=++，21151()501n n n n a a a a +++=++， 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=， 即[]11()()501n n n n t a a t a a ++-+++=，……………………………………7分又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167，故11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,n n n na a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩所以1251,250,n n t a a +=⎧⎨+=⎩或185,82,n nt a a +=⎧⎨+=⎩由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．所以当3n =时，满足条件． …………………………………10分。