高一数学《一元二次方程实数根的分布》教案

江苏省大丰市南阳中学高一数学《一元二次方程实数根的分布》教案

教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等

式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→

−转化图形问题−−→−转化

代数表达式（不等式组）−−→

−计算

参数取值范围。 教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一、问题的提出

若方程0)5()2(2

=++++m x m x

的两根均为正数，求实数m 的取值范围.

变式1：两根一正一负时情况怎样？

变式2：两实根均大于5时情况又怎样？

问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.

方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数2()0(0)f x ax bx c a =++=≠ 的抛物线与x 轴交点的横坐标. 一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较. 二、一元二次方程实根分布 仿上完成下表

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax

实根分布图解

三、练习

1.m 为何实数时，方程02)1(2

=+++m x m x

的两根都在-1与1之间.

2、若方程

0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，

求a 的取值范围.

四、小结

基本类型与相应方法：

设 )0()(2≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：

五作业：

1．关于x 的一元二次方程2

22320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是 （ ）

（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<<

2．方程22

7(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，

12β<<，

那么k 的取值范围是 （ ）

（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解

3．设m 是整数，且方程2

320x mx +-=的两根都大于95-而小于3

7

，则m = .

4.若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取

值范围是m ＝

5. 方程2(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求： （1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值.

第二课时 一元二次方程实数根分布的应用

一复习

填空：

图

二、例子

例1 已知实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪

++=⎨⎪++=⎩

，求a b +的取值范围.

解 由已知得1a b c +=-且

222222()()(1)(1)22

a b a b c c ab c c +-+---===-.

所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c >>问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令()f x =22(1)()x c x c c --+-，有

2212()0(1)4()0

c

c f c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪

⎩

即 22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩，

求得103c -<<，因此4

(1,)3

a b +∈.

例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛) 解： 显然直线AB 的方程为1(04)44

x y

x +=<<即4y x =-，代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.

设2

()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间

有两个不同的交点，即方程2

(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以

2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)3010 4.2

m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪

=->⎪⎪

⎨=--+->⎪

-⎪<<⎪⎩

解得m 的取值范围是17

33

m <<.

例3关于x 的实系数二次方程2

0x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①如果

||2,||2αβ<<，那么2||4a b <+且||4b <；②如果 2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高考题)

证明 ①设2

()f x x ax b =++，由已知，函数()y f x =的图象与x 轴在2-到2之间有

两个不同的交点. 所以

240,(1)22,(2)2(2)420,(3)(2)420.

(4)

a b a f a b f a b ⎧∆=->⎪

⎪-<-<⎪⎨

⎪-=-+>⎪=++>⎪⎩

由(3)、(4)得(4)24b a b -+<<+，所以2||4a b <+.

由(2)，得||4a <，结合(1)得2

416b a <<，所以4b <. 将(3)+(4)得4b >-，因此

44b -<<，即||4b <.

②由于2||4a b <+且||4b <，可得4,2||448b a <<+=，所以||4a <，222

a

-<-<. 即函数()f x 的图象的对称轴2

a

x =-

位于两条直线2x =-，2x =之间. 因为(2)(2)(42)(42)2(4)0f f a b a b b -+=+++-+=+>， 22(2)(2)(42)(42)(4)40f f a b a b b a -⋅=++-+=+-> .

所以(2)0,(2)0f f ->>. 因此函数()f x 的图象与x 轴的交点位于-2和2之间，即

||2,||2αβ<<.

作业

1．已知抛物线2

(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧？

2．已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2

()f x ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 、B. 若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值.