高中数学学案：复数的概念及其运算

高中数学学案:复数的概念及其运算

1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.

2. 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算.

1. 阅读:选修 22 第109～117页.

2. 解悟:①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样,复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积,再与第一个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件,应用待定系数法求复数,是常用的方法之一.

3. 践习:在教材空白处,完成第118～119页习题第2、3、6、12题.

基础诊断

1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 －2 .

解析:由题意得,z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数,所以2＋m ＝0,且2m －1≠0,解得m ＝－2.

2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0,i 为虚数单位),若z ＝z,则m

解析:z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m

2.因为z ＝z,所以3－m 2＝0,解得m ＝±

3.因为m>0,所以m ＝ 3.

3. 已知复数z ＝11＋i

,其中i 是虚数单位,则|z|＝ 2 . 解析:z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）

＝12－12i ,所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＝22.

4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位),则复数z 的实部为 35 .

解析:因为(1＋2i )·z ＝3,所以z ＝31＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5,所以复数z 的实数为35. 范例导航

考向❶ 复数的基本运算

例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ）i 3

； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2

； (3) (－1＋3i )3；

(4) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－i 1＋i 18. 解析:(1) 原式＝(－1＋i )(2＋i )i ＝(－3＋i )i ＝－1－3i .

(2) 原式＝1－i 2i ＋1＋i －2i

＝1－i －1－i 2i ＝－2i 2i ＝－1. (3) 原式＝(－1＋3i )2(－1＋3i )＝－2(1＋3i )·(－1＋3i )＝－2×(－4)＝8.

(4) 原式＝(－i )18＝[(－i )2]9＝－1.

1. 设1＋2i ＝2i (a ＋b i )(i 为虚数单位,a,b ∈R),则a ＋b 的值是 12 .

解析:因为1＋2i ＝2i(a ＋b i)＝－2b ＋2a i,所以⎩⎨⎧－2b ＝1，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，a ＝1，

所以a ＋b ＝1－12＝12.

2. 设1＋i 1－i

＝a ＋b i (i 为虚数单位,a,b ∈R),则ab 的值为 0 . 解析:因为1＋i 1－i

＝i,所以a ＋b i ＝i,所以a ＝0,b ＝1,所以ab ＝0. 3. 设复数z 满足(z ＋i )(2＋i )＝5(i 为虚数单位),则z ＝ 2－2i .

解析:因为(z ＋i )(2＋i )＝5,所以z ＝52＋i

－i ＝2－i －i ＝2－2i . 4. 设复数z i ＝1＋2i (i 为虚数单位),则z ＝ 2－i .

解析:因为z i ＝1＋2i ,所以z ＝1＋2i i ＝2－i .

考向❷ 复数的模与共轭复数

例2 (1) 若复数z ＝1＋2i 3－i

(i 为虚数单位),则z 的模为 2 ； 解析:z ＝1＋2i 3－i ＝（1＋2i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝110＋710i ,所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝22. (2) 复数z ＝a i 1＋2i

(a<0),其中i 为虚数单位,|z|＝5,则a 的值为 －5 ； 解析:z ＝a i 1＋2i ＝a i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2a 5＋a 5

i .因为|z|＝5,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 52＝5,解得a ＝±5.因为a<0,所以a ＝－5.

(3) 若x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数(x,y 是实数),则x ＋y ＝ －34 ；

解析:由题意得⎩⎨⎧－3x ＝x －1，1＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1，

所以x ＋y ＝14－1＝－34. (4) 记复数z ＝a ＋b i (i 为虚数单位)的共轭复数为z ＝a －b i (a,b ∈R),已知z ＝2＋i,则z 2＝ 3－4i .

解析:因为z ＝2＋i,所以z 2＝3＋4i,所以z 2＝3－4i.

考向❸ 复数的实部与虚部

例3 (1) 若复数z ＝(1－i )(m ＋2i )(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 －2 ；

解析:z ＝(1－i )(m ＋2i )＝m ＋2＋(2－m)i .因为复数z 是纯虚数,所以⎩⎨⎧m ＋2＝0，2－m ≠0，

解得⎩⎨⎧m ＝－2，m ≠2，

故实数m 的值为－2. (2) 已知复数z ＝(a －i )(1＋2i )(a ∈R,i 为虚数单位),若复数z 在复平面内对应的点在实轴上,则实数 a ＝ 12

； 解析:z ＝(a －i)(1＋2i)＝(a ＋2)＋(2a －1)i.因为复数z 在复平面内对应的点在实轴上,所以2a

－1＝0,即a ＝12.

(3) 已知i 是虚数单位,则1－i （1＋i ）2

的实部为 －12 .