高等数学：第四讲 一阶线性微分方程(1)

dx
方程(2)称为一阶线性齐次微分方程；
非线性的.
02一阶线性齐次微分方程的解法
一阶线性齐次微分方程： dy P( x) y 0 是可分离变量的方程， dx
分离变量得 dy P( x)dx y
两边积分得
dy y
P(
x)dx,
ln y P( x)dx ln C
齐次方程的通解为
y Ce P( x)dx (4)
非齐次方程特解 对应齐次方程通解
04 例题
例 求微分方程 (cos x) y ' (sin x) y 1 的通解．
解 原方程化为 y ' (tan x) y sec x 代入原方程，得
先求 y ' (tan x) y 0 的通解．
C '( x)cos x C( x)sin x
分离变量得 dy tan xdx
y
两边积分，得
ln y ln cos x ln C1 故 y C1 cos x
变换常数，令 y C( x)cos x
则 y ' C '( x)cos x C( x)sin x
C( x)cos x tan x sec x 整理得 C '( x) sec2 x 于是 C( x) tan x C
形如 dy P( x) y Q( x) (1) 方程(3)称为一阶线性非齐次微分方程；
dx
的方程 ，称为一阶线性微分方程.
dy y x2, dx x sin t t2,
dx
dt
1.当 Q( x) 0 方程(1)变为
线性的;
dy P( x) y 0 (2)
yy 2xy 3, y cos y 1,
代入 y C( x)cos x
得到该非齐次方程的通解
y (tan x C )cos x
谢谢
P( x)C( x)e P( x)dx Q( x)
C(x)e P(x)dx Q(x),
积分得
C(x) Q(x)e P(x)dxdx C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C] e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx Ce P(x)dx
一阶线性 微分方程(1)
目录
01
一阶线性微分方程
02 一阶线性齐次微分方程的解法
03
一阶线性非齐次微分方程的解法 --常数变易法
04
例题
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01 一阶线性微分方程
一阶微分方程:
2.当 Q( x) 0 方程(1)变为
y' F(x, y)
一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) (3) dx
03一阶线性非齐次微分方程的解法--常数变易法
常数变易法
作变换
y Ce P( x)dx y C ( x)e P( x)dx y C ( x)e P( x)dx
C( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得
C '( x)e P( x)dx P( x)C ( x)e P( x)dx