概率论重点及课后题答案2
第2章 条件概率与独立性一、大纲要求（1）理解条件概率的定义.（2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式.（3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.（4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.二、重点知识结构图三、基础知识1.条件概率定义 设有事件 A B 、，且()0P B ≠，在给定B 发生的条件下A 的条件概率，记为(|)P A B ，有()(|)()P AB P A B P B =2．乘法公式定理 若对于任意事件A B 、，都有()0,()0P A P B >> ，则()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==这个公式称为乘法定理.乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.定理 设12,,,n A A A L 为任意n 个事件（2n ≥），且 121()0n P A A A ->L ，则有121121312121()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --=L L L3．全概率公式定理 设12,,B B L 为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有1i i B∞==Ω∑ ()0(1,2,)i P B i >=L则对任一事件A ，有1()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑.4.贝叶斯公式定理 设12,,B B L 为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有1i i B∞==Ω∑ ()0(1,2,)i P B i >=L则对任一具有正概率的事件A ，有1()(|)(|)()(|)k k k j jj P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性定义 若两事件A B 、满足 ，则称A B 、（或B A 、）相互独立，简称独立.定理 若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、；、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义 设12n A A A L ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤L 成立：()()()i j i j P A A P A P A = （共2n C 个）()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A = （共3n C 个）M1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L （共n n C 个）则称 12,,n A A A L 相互独立.定理 设n 个事件12,,n A A A L 相互独立，那么，把其中任意m （1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立.6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的 n 次重复试验，称为n 重独立试验.定理 （二项概率公式）设在一次试验中，事件A 出现的概率为()(01)P A p p =<<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好出现k 次的概率()n P k 为()(0,1,2,,)k k n k n n P k C p q k n -==L式中，1()q p P A =-=四、典型例题例1 掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率.解 同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为6636n =⨯=.若设 A ={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件A 所包含的样本数为2612k =⨯=.设B ={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则AB ={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故121()363P A ==， 5()36P AB =， ()5(|)()12P AB P B A P A == 例2 袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率.解 设 i A ={第i 个人摸到黄球} (1,2)i =，则1202()505P A == 22112111922032()(|)()(|)()4954955P A P A A P A P A A P A =+=⨯+⨯= 例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率.解 设 i A ={第 次命中}， B ={恰有一次命中}，C ={至少有一次命中}，则（1） 123123123()()()()P B P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）123()1()10.60.50.30.91P C P A A A =-=-⨯⨯=例 4 设三次独立试验中事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求事件A 在一次试验中出现的概率.解 由于33319{1}1{0}1(1)27P k P k p ≥=-==--= 解得13p = 例5 掷三枚均匀骰子，设A ={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}， B ={至少有一枚骰子掷出1}，问A B 、是否独立？解 考虑(|)P A B ，若B 发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知B 发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即()(|)P A P A B <.由此可以推出()(|)P A P A B >，故A B 、不独立.例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设(|)0.99P =阳性带菌，(|)0.01P =阴性带菌(|)0.05P =阳性不带菌， (|)0.95P =阴性不带菌设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？解 设A ={某人检出阳性}，1B ={带菌}，2B ={不带菌}由题设知1212()0.83,()10.830.17,(|)0.99,(|)0.05P B P B P A B P A B ==-===，故所求的概率为111121()()(|)(|)()()(|)jj j P AB P B P A B P B A P A P B P A B ===∑0.830.990.980.830.990.170.05⨯==⨯+⨯例7 甲、乙两人独立地对同一个目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率.解 设A ={甲射击一次命中目标}，B ={乙射击一次命中目标}，则所求概率为((()(|(()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB =+-I U U U ）)）=） 0.60.750.60.50.60.5==+-⨯ 例8 已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A ={抽到一名男性}；B ={抽到一名女性}；C ={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯= 1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯= 由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==例9 有两箱相同种类的零件，第一箱装50个，其中10个一等品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任选一个，均不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解 （1）设i A ={在第i 次中取到一等品}（1,2i =） ，i B ={挑到第i 箱}，则111112211181()(|)()(|)()0.452302P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯= （2）由于 1212111222()(|)()(|)()P A A P A A B P B P A A B P B =+191171810.194549229302=⨯⨯+⨯⨯= 故 12211()0.194(|)0.485()0.4P A A P A A P A === 例10 设()0.10,(|)0.90,(|)0.20P A P B A P B A ===，求 (|)P A B解 由于()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+U()(|)()(|)P A P B A P A P B A =+0.100.90(10.10)0.200.27=⨯+-⨯=故 ()()(|)0.100.901(|)()()0.273P AB P A P B A P A B P B P B ⨯==== 例11 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20个，假设各箱有0，1，2个残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4个，如无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回.试求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率α；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率β.解 设A ={顾客买下玻璃杯}，i B ={箱中有i 只残次品}（i =0,1,2） ，由题意可知，012()0.8,()()0.1P B P B P B ===，则441918012442020412(|)1,(|),(|)519C C P A B P A B P A B C C =====（1）由全概率公式，得2012448()()(|)0.810.10.80.10.94319475i i i P A P B P A B α====⨯+⨯+⨯⨯≈∑ （2）由贝叶斯公式，得000()(|)0.81(|)0.848448()475P B P A B P B A P A β⨯===≈ 五、课本习题全解2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=U（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈-- 2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯=U U（3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆U ，所以()()()P AB P A P A B ≤≤U又因为()()()()P A B P A P B P AB =+-U ，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+U当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立；当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立；当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立.2-4 证明 (())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ACBC ==+-U U(()())()()()P A P B P C P AB P C =+-(()()())()P A P B P AB P C =+-()()P A B P C =U()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P AB P C P A B P C ==-所以，A B A B AB -U 、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k =，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+； （2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯= 2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C === 所以 5551015201052530()()(|)C C C P AB P A P B A C C == 2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b c a a b a b c a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++=== 所以 123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =1111112b b c a a b a b c a b cC C C C C C ++++++=g g 2b b c a a b a b c a b c+=+++++g g 2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯=（2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯= （3）136()1()1610P A P A =-= 2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +== （3）117821117821761782(|)2958C P B B C +== 2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=；（2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯=== 2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生}（1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=；（3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+0.66%0.410%0.076=⨯+⨯=2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯ （2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的.2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））= 2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A ===123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++）））））））） 0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯ （2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++L112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++L11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 551()25(|)1()52P AB P B A P A === ； （3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯=2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 0.8639=2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757=（2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭=== 六、自测题及答案1 设A 与B 为两事件，若()0P A >，且(|)()P B A P B = ，则A 与B .2 设事件A 与B 满足()0.5P A =，()0.6P B =，(|)0.8P B A = ，则 ()P A B =U .3 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%和10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ ）.（A ）23 (B) 13 (C) 35 (D)254.每次试验成功的概率为p （01p <<），重复进行试验直到第n 次才取得r （1r n <<）次成功的概率是（ ）（A ）(1)r r n r n C p p -- （B ）11(1)r r n r n C p p ---- （C ）(1)r n r p p -- （D ）111(1)r r n r n C pp ----- 5．设事件A 与B 为互不相容事件，且()0P A > ，()0P B >，则命题正确的是（ ）（A ）()0P AB = （B ）(|)1P B A = （C ）A 与B 独立 （D ）A 与B 不独立6. 设 A B 、为任意两个事件，且 A B ⊂，()0P B > ，则下列成立的是（ ）（A ）()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤（C ） ()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥7.设A B 、 满足(|)1P B A =，则（ ）（A ）A 是必然事件（B ）(|)0P B A =（C ）A B ⊃（D ）()()P A P B ≤8将一枚硬币独立地掷两次，设1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（ ）（A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立9.设A B 、是两事件，且 0()1P A <<，()0P B > ，(|)(|)P B A P B A = ，则必有（ ）（A ）(|)(|)P A B P A B = （B ）(|)(|)P A B P A B ≠（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B ≠10．设(),()P A a P B b == . 试证明：1(|)a b P A B b+-≥ 11．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统B 有效的概率为0.93.在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85.试求：（1）在B 失灵的条件下，A 有效的概率；（2）这两个系统至少有一个有效的概率.12．设有分别来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2份，试求：（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率p ；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率q .13．甲袋中有9个白球和1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地各抽取一球交换放入另一袋中，这样进行了三次，求黑球出现在甲袋中的概率.【答案】1．相互独立2．由()(|),()0.5()P AB P B A P A P A ==得 ()(|)()0.80.50.4P AB P B A P A ==⨯=于是 ()()()()0.50.60.40.7P A B P A P B P AB =+-=+-=U3．A设i A ={抽到i 等品}（i =1,2,3），有 123()0.6,()0.3,()0.1P A P A P A ===，故1311333()()0.62(|)1()10.13()P A A P A P A A P A P A ====-- 4． C 设A ={第n 次才取得r 次成功}；B ={前1n -次试验中有1r -次成功}； C ={第n 次成功}；则 A BC =，又因为B 与C 相互独立，由伯努利公式()(1)k k n k n n P k C p p -=- (0,1,2,,)k n =L ，得11111()()()()(1)(1)r r n r r r n r n n P A P BC P B P C C p p p C p p -------===-=- 5．由于AB =∅，故 ()0P AB =，又因为()()0P A P B >，即()()()P AB P A P B ≠ .因此，A 与 B 一定不独立.又由于 ()()()()0(|)1()()()P AB P A P AB P A P B A P A P A P A --==== 所以应选B 项和D 项.6.由于A B ⊂ ，故AB A =,()1P B ≤,因此有 ()()(|)()()()P AB P A P A B P A P B P B ==≥ 所以应选 B 项.当()1P B =时，A 项不成立；当()1P B <时， C 项和D 项不成立.7.由于(|)1P B A =,即()()P AB P A =,因此，A B ⊂，故()()P A P B ≤,应选D 项.8.由于12341111(),(),(),()2224P A P A P A P A ====且121(),4P A A = 131(),4P A A = 231(),4P A A = 241(),4P A A =123()0,P A A A =所以有 1212()()()P A A P A P A =， 1313()()()P A A P A P A =2323()()()P A A P A P A = ， 2424()()()P A A P A P A ≠123123()()()()P A A A P A P A P A ≠故123,,A A A 两两独立但不相互独立，234,,A A A 不相互独立，更不相互独立，故选C 项. 9. ()()()(|)()(|)(|)()()1()()P AB P AB P AB P A B P B P B A P B A P A P A P A P A =⇒=⇒=- ()(1(|))()()()()()1()()1()P AB P A B P B P AB P B P AB P A P A P A P A --⇒=⇒=-- 从最后一式解出()()()P AB P A P B =,故选C 项.10. 由()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,0()1P A B ≤≤U ,得()()1()P A P B P AB +-≤ 又因为()()()1(|)()()P AB P A P B P A B P B P B +-=≥，故 1(|)a b P A B b+-≥ 11．由于()()()(|)0.851()()P BA P B P AB P B A P A P A -===-，因此 ()()0.85(1())0.930.850.080.862P AB P B P A =-⨯-=-⨯=(1) ()()()0.920.862(|)0.8286;1()0.07()P AB P A P AB P A B P B P B --===≈- (2) ()()()()0.920.930.8620.988P A B P A P B P AB =+-=+-=U12.设 i H ={报名表是第 i 区考生}（i =1,2,3），j A ={第j 次抽到的报名表是男生表}（j =1,2），有1()(1,2,3),3i P H i == 11217(|)(|)10P A H P A H == 12228(|)(|)15P A H P A H ==，132320(|)(|)25P A H P A H == （1）3111137529()()(|)310152590i i i p P A P H P A H =⎛⎫===⨯++= ⎪⎝⎭∑（2） 121377(|)10930P A A H =⨯= 122788(|)151430P A A H =⨯= 1235201(|)25246P A A H =⨯= 32211782061()()(|)310302590i i i P A P H P A H =⎛⎫==⨯++= ⎪⎝⎭∑ 31212117852()()(|)33030309i i i P A A P H P A A H =⎛⎫==⨯++= ⎪⎝⎭∑ 因此 121222()209(|)61()6190P A A q P A A P A ==== 13.设i A ={ i 次交换后黑球出现在甲袋中}（i =1,2,3），i A ={ 次交换后黑球出现在乙袋中} （i =1,2,3），则21211219911()()(|)()(|)0.8210101010P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯= 323223291()()(|)()(|)0.820.180.7561010P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=。
概率论复习题及答案解析
概率论复习题及答案解析1. 什么是概率论中的随机事件？解析：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
它具有不确定性，但可以通过概率来描述其发生的可能性大小。
2. 如何计算两个独立事件同时发生的概率？解析：如果事件A和事件B是独立的，那么它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 什么是条件概率？解析：条件概率是指在某个事件B发生的条件下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。
它表示为P(A∩B) / P(B)，前提是P(B) ≠ 0。
4. 什么是贝叶斯定理？解析：贝叶斯定理是一种用于根据条件概率和先验概率来计算后验概率的方法。
公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
5. 什么是大数定律？解析：大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。
即在大量重复试验中，一个随机事件的相对频率会稳定在其概率附近。
6. 什么是中心极限定理？解析：中心极限定理指出，大量相互独立且同分布的随机变量之和，其分布趋近于正态分布，无论这些变量本身是否服从正态分布。
7. 如何计算二项分布的概率？解析：二项分布的概率可以通过公式P(X=k) = C(n, k) × p^k ×(1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的组合方式数。
8. 什么是泊松分布？解析：泊松分布是一种描述在固定时间或空间内，某事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数为P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!，其中λ是单位时间或空间内事件发生的平均次数，k是事件发生的次数。
9. 什么是正态分布？解析：正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是标准差。
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第三版第2章答案详解
第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1)()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -. (2)0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论课本答案2(龙版)
第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。
4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。
Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。
P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。
778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
《概率论与数理统计》课后习题答案2
1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
（完整版）概率论第二章答案
（完整版）概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719，那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表⽰3个数中的最⼤值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少？解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少？ (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少？ (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少？(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少？解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数，则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。
概率论第二章练习答案解析
《概率论》第二章 练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
⎰==≤412021)21(xdx X P649)43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他 且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+→⎰⎰解之31)(011)(01dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD []32161622=-=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ，则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：4723=-=b a ，6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。