概率论重点及课后题答案2
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第2章 条件概率与独立性
一、大纲要求
(1)理解条件概率的定义.
(2)掌握概率的加法公式、乘法公式,会应用全概率公式和贝叶斯公式.
(3)理解事件独立性的概念,掌握应用事件独立性进行概率计算.
(4)了解独立重复试验概型,掌握计算有关事件概率的方法,熟悉二项概率公式的应用.
二、重点知识结构图
三、基础知识
1.条件概率
定义 设有事件 A B 、,且()0P B ≠,在给定B 发生的条件下A 的条件概率,记为(|)P A B ,有
()(|)()
P AB P A B P B =
2.乘法公式
定理 若对于任意事件A B 、,都有()0,()0P A P B >> ,则
()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==
这个公式称为乘法定理.
乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.
定理 设12,,,n A A A L 为任意n 个事件(2n ≥),且 121()0n P A A A ->L ,则有
121121312121()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --=L L L
3.全概率公式
定理 设12,,B B L 为一列(有限或无限个)两两互不相容的事件,有
1i i B
∞==Ω∑ ()0(1,2,)i P B i >=L
则对任一事件A ,有1()()(|)i i i P A P B P A B ∞
==∑.
4.贝叶斯公式
定理 设12,,B B L 为一系列(有限或无限个)两两互不相容的事件,有
1i i B
∞==Ω∑ ()0(1,2,)i P B i >=L
则对任一具有正概率的事件A ,有
1
()(|)
(|)()(|)k k k j j
j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性
定义 若两事件A B 、满足 ,则称A B 、(或B A 、)相互独立,简称独立.
定理 若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、;、 中有一对是相互独立的,则另外三
对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立,或者都相互不独立.
定义 设12n A A A L ,,,是n 个事件,若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤L 成
立:
()()()i j i j P A A P A P A = (共2n C 个)
()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A = (共3n C 个)
M
1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L (共n n C 个)
则称 12,,n A A A L 相互独立.
定理 设n 个事件12,,n A A A L 相互独立,那么,把其中任意m (1m n ≤≤)个事件相应换成它们的对立事件,则所得的n 个事件仍然相互独立.
6. 重复独立试验,而且这些重复试验具备:(1)每次试验条件都相同,因此各次试验中同一个事件的出现概率相同;(2)各次试验结果相互独立;满足这两个条件的 n 次重复试验,称为n 重独立试验.
定理 (二项概率公式)设在一次试验中,事件A 出现的概率为()(01)P A p p =<<,则在n 重伯努利试验中,事件A 恰好出现k 次的概率()n P k 为
()(0,1,2,,)k k n k n n P k C p q k n -==L
式中,1()q p P A =-=
四、典型例题
例1 掷两颗骰子,在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下,求两枚骰子出现的点数大于8的概率.
解 同时掷两枚骰子,样本空间所包含的样本点数总数为6636n =⨯=.若设 A ={第一枚骰子出现的点数能被3整除},则第一枚骰子出现3点或者6点,此时事件A 所包含的样本数为2612k =⨯=.设B ={两枚骰子出现的点数之和大于8},则AB ={(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},故
121()363P A ==, 5()36
P AB =, ()5(|)()12P AB P B A P A == 例2 袋子有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,现有两人依次随机地从袋子中各取一球,然后不放回,求两人取得黄球的概率.
解 设 i A ={第i 个人摸到黄球} (1,2)i =,则
1202()505
P A == 22112111922032()(|)()(|)()4954955P A P A A P A P A A P A =+=
⨯+⨯= 例3 对一个目标依次进行三次对立的射击,设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4,0.5,0.7,试求:(1)三次射击击中恰好有一次命中的概率;(2)三次射击中至少有一次命中的概率.
解 设 i A ={第 次命中}, B ={恰有一次命中},C ={至少有一次命中},则
(1) 123123123()()()()P B P A A A P A A A P A A A =++
0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(2)123()1()10.60.50.30.91P C P A A A =-=-⨯⨯=
例 4 设三次独立试验中事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率为19/27,求事件A 在一次试验中出现的概率.
解 由于33319{1}1{0}1(1)27P k P k p ≥=-==--= 解得13
p = 例5 掷三枚均匀骰子,设A ={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}, B ={至少有一枚骰子掷出1},问A B 、是否独立?
解 考虑(|)P A B ,若B 发生,则三枚骰子不出现1点,那么只有5种可能性发生(2,3,4,5,6),比不知B 发生时可能取的点数(1,2,3,4,5,6)少了一个,从5个数字取3个(可重复取),其中有两个一样的可能性,应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些,即()(|)P A P A B <.由此可以推出()(|)P A P A B >,故A B 、不独立.
例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时,带菌者未必检出阳性反应,而不带菌者也可能呈阳性反应,假设
(|)0.99P =阳性带菌,(|)0.01P =阴性带菌
(|)0.05P =阳性不带菌, (|)0.95P =阴性不带菌
设某人检出阳性,问:他“带菌”的概率是多少?