81010218《最优化算法》教学大纲
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
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• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
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1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
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1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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其他参考书目
最优化教案(两阶段法与大M法)
§4.2 两阶段法与大M法————初始可行基的求法求解线性规划的步骤是：1）已知一个初始基本可行解2）从初始基本可行解出发，写出单纯型表，求出进基离基变量，做主元消去法，求出一个新的基本可行解且使目标函数值得到改善。
3）判断当前基本可行解是否是最优解那末，当观察不出来初始基本可行解时，怎么办？下面介绍的方法是几种求初始基本可行解的方法4.2.1 两阶段法m in cxt s.bAx=x≥0其中A是nm⨯矩阵，b≥0。
若A中有m 阶单位矩阵，则初始基本可行解立即得到。
比如，[]NIAm,=，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0b x x x N B就是一个基本可行解。
若A 中不包含m 阶单位矩阵，就需要用某种方法求出一个基本可行解。
介绍两阶段法之前，先引入人工变量的概念。
设A 中不包含m 阶单位矩阵，为使约束方程的系数矩阵中含有m 阶单位矩阵，把每个方程增加一个非负变量，令 b x Ax a =+ （4.2.2）x ≥0 ，a x ≥0即bx x I A a m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),( （4.2.3）x ≥0 ，ax≥0显然，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b x x a 0是（4.2.3）的一个基本可行解。
向量a x ≥0是人为引入的，它的每个分量成为人工变量。
人变量与前面介绍过的松弛变量是两个不同的概念。
松弛变量的作用是把不等式约束改写成等式约束，改写前后的两个问题是等价的。
因此，松弛变量是“合法”的变量。
而人工变量的引入，改变了原来的约束条件从这个意义上讲，它们是“不合法”的变量。
第一阶段是用单纯形方法消去人工变量（如果可能的话）： m ina Tx et s .b x Ax =+α（4.2.4）x ≥0 ，a x ≥0其中Te )1,,1,1( =是分量全是1的m维列向量，Tm n n a x x x ),,(1++= 是人工变量构成的m 维列向量。
由于b x x a ==,0是（4.2.4）的一个基本可行解，目标函数值在可行域上有下界，因此问题（4.2.4）必存在最优基本可行解。
新疆大学《最优化方法》课程教学大纲
新疆大学《最优化方法》课程教学大纲课程英文名称：Optimization Methods课程编号：C 052829(汉本);C 052828(民本) 课程类型：专业核心课总学时：48+18学时(授课：48，上机：18) 学分：3.5适用对象：信息与计算专业汉（民）本科生先修课程：数学分析、高等代数、Matlab 编程语言使用教材及参考书：教材：施光燕等编著，面向21 世纪教材《最优化方法》，高等教育出版社， 1999年第一版参考书：张可村编著、《工程最优化方法》，西安交大出版社薛嘉庆著、《最优化原理与方法》（修订本），冶金工业出版社袁亚湘，孙文瑜著，《最优化理论与方法》，北京科学出版社一、课程性质、目的和任务《最优化方法》是数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门专业必修课。
最优化是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标的学科，是随着计算机的普遍应用而发展起来的，它已广泛应用于各个领域。
本门课程旨在讲授最优化的基本理论和方法,通过本课程的学习,要求学生能较深刻地理解定量优化的思想和方法，掌握线形规划、非线形规划和多目标规划的基本而常用的优化算法，并能运用优化的观点和方法利用计算机解决实践中遇到的优化问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。
鼓励学有余力的学生在掌握数学规划基本解法的同时，提高自己在建立模型和算法分析方面的水平和能力。
二、教学基本要求牢固地掌握最优化的基本理论，常用算法的构造途径，并能在计算机上实现。
通过各教学环节，本课程应达到下列要求：⑴掌握线性规划问题的基本理论和单纯形方法。
⑵理解非线性规划问题解的概念，掌握凸规划及其性质，掌握无约束优化问题与约束优化问题的最优性条件及其求解方法。
⑶理解多目标规划问题的最优化原理，认识求解整数线性规划问题的困难性，掌握Gomory割平面法和分枝定界法。
⑷掌握几种典型离散优化模型的特征及其相应的求解方法三、教学内容及要求第一章优化模型的分类及MATLAB优化工具箱介绍。
数值最优化教学大纲
数值最优化教学大纲数值最优化是运筹学的一个分支，研究如何对给定的数学模型进行求解，以得到最优的数值解。
这个领域广泛应用于各个学科领域，如经济学、工程学、计算机科学等。
针对这一学科，制定一份全面的教学大纲是非常重要的。
下面是一份关于数值最优化的教学大纲。
一、引言A.数值最优化的概述1.数值最优化的定义和目标2.数值最优化的应用领域B.数值最优化的历史发展1.数值最优化的起源2.数值最优化的发展历程二、数学基础A.数学分析基础1.极值点的求解方法2.优化问题的数学建模B.线性代数基础1.线性方程组的求解方法2.矩阵运算和特征值分解C.高等数学基础1.微积分的基本概念和定理2.多元函数的极值问题三、数值最优化算法A.无约束优化问题1.梯度下降法2.牛顿法和拟牛顿法3.共轭梯度法B.线性规划问题1.单纯形法2.内点法C.非线性规划问题1.一阶优化算法2.二阶优化算法D.整数规划问题1.分支定界法2.分支定价法四、数值最优化软件A.MATLAB和优化工具箱1.MATLAB的基本使用和编程语言2.优化工具箱的使用B. Python和Scipy优化库1. Python的基本使用和编程语言2. Scipy优化库的使用五、应用案例和实践1.实际问题的数值最优化建模和求解2.优化算法的实际应用案例六、补充内容A.其他数值最优化算法1.遗传算法2.粒子群优化算法B.高级数值最优化理论1.线性矩阵不等式优化2.非凸优化问题C.数值最优化的最新研究进展1.特定应用领域的数值最优化研究2.数值最优化算法的优化和改进教学形式：讲座、实验、案例分析、课堂讨论评估方式：平时成绩、作业、实验报告、期末考试通过以上教学大纲的学习，学生将能够掌握数值最优化的基本原理和方法，能够应用数值最优化算法解决实际问题，同时也能够了解数值最优化的应用前沿和最新研究进展。
此外，通过实验、案例分析和课堂讨论等教学形式，学生将培养动手实践和问题解决的能力，提高他们的数学建模和编程技巧。
最优化方法全套教学课件
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 , , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
向量的长 ,
这个公式与一元函数展开到两项的Taylor公式是相对的。
梯度的性质：当梯度 f x 连续时，
第一，若 f x 0 ，则 f x 必垂直于 f x 过点
x 处的等值面；
第二，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
下面以 f x1, x2 x12 x22 1 为例来解释这个性质。
上图是该函数的等值线图。
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
定理1.2
设 f : Rn R1 在点 x0 处可微，则
f x0
p
f
x0
T
e
其中 e 是非零向量 p 方向上的单位，向量。
f x0
p
f
x0
e
cos
f
x0 , p
f x0
p
f
x0
cos
f
x0 , p
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
最优化及最优化方法讲稿ppt
06
最优化算法的鲁棒性分析
最优化算法的鲁棒性定义
鲁棒性定义为：在输入发生改变时，输出在可接受范围内的 变化程度。
鲁棒性是一种衡量算法稳定性的指标，也是算法可靠性的重 要保障。
最优化算法的鲁棒性影响因素
输入数据的质量和分布
01
02
输入数据的不完整、噪声和不准确会影响算 法的鲁棒性。
输入数据的分布会影响算法的稳定性和鲁棒 性。
最优化及最优化方法讲稿ppt
xx年xx月xx日
目录
• 最优化问题概述 • 线性规划问题及其求解方法 • 非线性规划问题及其求解方法 • 动态规划问题及其求解方法 • 最优化算法的收敛性分析 • 最优化算法的鲁棒性分析 • 最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题
01
最优化问题概述
最优化问题的定义与分类
07
最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问
题
最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题
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投资组合优化问题
通过一个投资组合优化问 题，说明如何运用线性规 划进行风险和收益的平衡 。
03
非线性规划问题及其求解方法
非线性规划问题的定义与数学模型
01
02
03
04
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非线性规划问题定义： 非线性规划问题是一类 求最优解的问题，其中 目标函数和约束条件均 为非线性函数。
数学模型：一般形式为 min f(x) s.t. g(x) >= h(x) 其中 x 为决策变量 ，f(x) 为目标函数， g(x) 和 h(x) 为不等式 约束条件。
目标函数和约束条件的数 学表达。
最优化问题的求解方法
最优化方法上海交大课程大纲
最优化方法上海交大课程大纲《最优化方法上海交大课程大纲》一、引言最优化方法是数学和计算机科学领域中一个重要的研究方向，它旨在寻找使某种特定函数达到最优值的方法和算法。
上海交通大学的最优化方法课程，是一门涵盖了理论与实践的全面课程。
本文将对该课程的大纲进行深入分析，并探讨其中涉及的重要概念和方法。
二、基本概念和理论基础1. 最优化问题的定义与分类在最优化方法课程的大纲中，首先介绍了最优化问题的基本定义和分类。
最优化问题可以分为无约束优化和有约束优化，分别涉及到寻找函数在整个定义域或部分定义域上的最优解。
这些概念是最优化方法理论的基础，也是深入理解课程重要性的基础。
2. 数学优化理论数学优化理论是最优化方法课程的核心内容之一。
在课程大纲中，对凸优化、非线性优化、线性规划等理论进行了全面介绍，并对各种理论的解题方法进行了详细讲解。
这些内容为学生提供了理论基础，使他们能够深入理解最优化问题，并能够熟练运用不同的数学优化方法解决实际问题。
三、算法与实践1. 优化算法最优化方法课程的大纲中还包括了各种优化算法的讲解。
如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些算法是将数学优化理论应用到实际问题中的重要工具，通过学习这些算法，学生可以掌握如何选择合适的算法来解决不同类型的最优化问题。
2. 实际应用另外，最优化方法课程还会介绍最优化方法在实际问题中的应用。
比如在机器学习、金融、工程优化等领域中，最优化方法都有着广泛的应用。
通过学习这些应用案例，学生可以更好地理解最优化方法的实际意义和应用场景。
四、个人观点和总结通过对最优化方法上海交大课程大纲的分析，我个人对这门课程有了更深入的了解。
它不仅包含了丰富的数学优化理论，还包括了各种实际应用和算法的讲解，是一门涵盖面广的课程。
我相信通过学习这门课程，我将能够掌握解决各种最优化问题的方法和技巧，为将来的学术研究和实际工作打下坚实的基础。
最优化方法上海交大课程大纲全面而深入地介绍了最优化方法的基本概念、数学理论、算法和实际应用。
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《最优化算法》课程教学大纲
课程编号: 81010218
课程名称：最优化算法
英文名称：Optimization Algorithm
总 学 时：32
学 分：2
适用对象: 信息与计算科学本科专业
先修课程：数学分析（1-3），高等代数（1-2），运筹学
一、课程性质、目的和任务
《最优化算法》课程是信息与计算科学专业的一门主要专业选修课。本课程的目的是使学生理解
最优化理论与方法的基本概念，掌握最优化的基本理论和常见的优化算法，为学习后继课程和解决实
际问题打下扎实的基础，培养学生用数学知识解决实际问题的兴趣、意识，以及分析问题和解决问题
的能力。
二、教学内容、方法及基本要求
1．非线性规划基本概念
教学内容：多元函数极值理论。
基本要求：理解非线性规划问题概念，一般形式，最优解的情况。理解梯度、海赛矩阵等概念，
掌握极值点的必要条件，充分条件。理解凸函数概念，掌握凸函数的判定条件和方法。理解凸规划概
念。
2. 一维搜索
教学内容：一维搜索。
基本要求：掌握求解非线性规划问题搜索法的基本思想。掌握一维搜索的斐波那契方法和0.618
法。
3．求解无约束非线性规划问题的解析法
教学内容：梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法。
基本要求：理解梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法的基本思想，掌握四种方法的迭代
步骤，了解四种方法的收敛定理。
4. 求解无约束非线性规划问题的直接法
教学内容：步长加速法，方向加速法，单纯形法。
基本要求：理解步长加速法，方向加速法，单纯形法的基本思想，掌握三种方法的迭代步骤，了
解三种方法的收敛准则。了解解析法与直接法的优缺点。
5. 求解约束非线性规划问题的逐步线性逼近法
教学内容：逐步线性逼近法。
基本要求：理解约束非线性规划问题一般模型。理解逐步线性逼近法基本思想，掌握逐步线性逼
近法的求解步骤。
6. 求解约束非线性规划问题的拉格朗日乘子法
教学内容：拉格朗日乘子法。
基本要求：掌握等式约束拉格朗日函数构造方法，掌握不等式拉格朗日函数构造方法，掌握拉格
朗日乘子法求解约束非线性规划问题的步骤。
7. 库恩－塔克（Kuhn-Tuker）条件
教学内容：库恩－塔克（Kuhn-Tuker）条件。
基本要求：理解起作用约束，正则点等概念，掌握等库恩－塔克（Kuhn-Tuker）条件。
8. 可行方向法
教学内容：可行方向法。
基本要求：理解可行方向法基本思想。掌握可行方向的条件，函数值下降方向的条件。掌握线性
约束条件下的线性逼近法（FW法），了解收敛定理。掌握非线性条件下的可行方向法（G.Zoutendijk
法），了解收敛定理。
9. 罚函数法
教学内容：惩罚函数法，障碍函数法。
基本要求：理解惩罚函数法基本思想，了解其经济解释。掌握等式约束惩罚函数构造方法，掌握
不等约束式惩罚函数构造方法，掌握惩罚函数法迭代步骤。理解障碍函数法基本思想，掌握障碍函数
构造方法，掌握障碍函数法迭代步骤。理解初始内点的求法。了解惩罚函数法与障碍函数法的优缺点。
三、实践环节的内容、方法及基本要求
序号 实验性质 学时 实验内容 实验要求
1 验证性 2 梯度法 广义牛顿法 共轭梯度法 变度量法 掌握求解无约束非线性规划问题常
见的解析方法，提高编程能力。
2 验证性 2 步长加速法 方向加速法 单纯形法 掌握求解无约束非线性规划问题常
见的直接方法，提高编程能力。
3 验证性 2 可行方向法 掌握可行方向法，提高编程能力。
4 验证性 2 惩罚函数法 掌握惩罚函数法，障碍函数法，提高
编程能力。
四、各教学环节学时分配
教学环节
讲课（包括习
题课、讨论
实验 上机 课外 合计
课程内容 课）
非线性规划基本概
念，一维搜索
6 6
求解无约束非线性
规划问题的解析法
4 2 6
求解无约束非线性
规划问题的直接法
4 2 6
可行方向法 6 2 8
惩罚函数法 4 2 6
合计 24 8 32
五、考核方式
闭卷笔试和上机实验成绩相结合。
六、对学生能力培养的体现
通过启发式教学以及紧密结合实际问题的方法调动学生学习的积极性，培养学生逻辑推理能力，
以及分析问题、解决实际问题的能力。通过上机实验，让学生更好地理解所学知识，期望发现问题，
培养学生利用计算机解决实际问题的能力和创新能力。
七、推荐教材和参考文献
教 材：《运筹学及其在电力系统中的应用》，徐绳军，张国立，牛东晓，水利电力出版社，1995
年。
参考文献：《最优化方法》，何坚勇，清华大学出版社，2007年。
《二次规划--非线性规划与投资组合的算法》，张忠桢，武汉大学出版社，2006年。
《实用最优化方法》，唐焕文，秦学志,大连理工大学出版社，2005年。
《最优化理论与算法》，陈宝林，清华大学出版社，2003年。
《最优化理论与方法》，袁亚湘，孙文瑜，科学出版社，2001年。
《最优化方法》，解可新，韩立兴，天津大学出版社, 2000年。
《最优化方法》，施光燕，董加礼，高等教育出版社，1999年。
《工程最优化方法及应用》，孙德敏，中国科学技术大学出版社，1997年。
《实用最优化方法及计算机程序》，杨冰，哈尔滨船舶工程学院出版社，1994年。
《最优化原理与方法》，薛嘉庆，冶金工业出版社, 1992年。
八、说明
大纲制订人：张国立
大纲审定人：马燕鹏
大纲校对人：王涛
制订日期： 2009.7.15