平行线经典四大模型典型例题与练习

平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠ 1=∠ 2，则 AB∥ CD（同位角相等，两直线平行）；若

已知∠ 1=∠ 3，则 AB∥ CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠ 1+ ∠4= 180 °，则 AB∥ CD （同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁

内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质 1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质 2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：两直线平行，内错角相等

性质 3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型

模型一“铅笔”模型

点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 内部“铅笔”模型

结论 1：若 AB ∥CD ，则∠ P+∠ AEP +∠PFC =3 60°；

结论 2：若∠ P+∠AEP+∠ PFC = 360°，则 AB ∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M 模型）

点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 内部“猪蹄”模型

结论 1：若 AB ∥CD ，则∠ P=∠ AEP +∠CFP ；

结论 2：若∠ P=∠AEP+∠ CFP ，则 AB ∥CD .

模型三“臭脚”模型

点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 外部“臭脚”模型

结论 1：若 AB ∥CD ，则∠ P=∠ AEP - ∠CFP 或∠ P=∠ CFP - ∠ AEP ；

结论 2：若∠ P=∠AEP- ∠ CFP 或∠ P=∠CFP - ∠ AEP，则 AB∥ CD .

模型四“骨折”模型

点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 外部“骨折”模型

结论 1：若 AB ∥CD ，则∠ P=∠ CFP - ∠ AEP 或∠ P=∠ AEP- ∠ CFP ；

结论 2：若∠ P=∠CFP - ∠ AEP 或∠ P=∠AEP- ∠ CFP，则 AB∥ CD .

巩固练习平行线四大模型证明

（ 1）已知 AE // CF ,求证∠ P +∠ AEP +∠ PFC = 360°

.

（2）已知∠ P=∠ AEP+∠CFP ，求证 AE∥CF ．

（3）已知 AE∥CF ，求证∠ P=∠ AEP- ∠ CFP .

（4）已知∠P= ∠CFP -∠ AEP , 求证 AE //CF .

模块一平行线四大模型应用

例1

（ 1）如图， a∥ b, M、N 分别在 a、 b 上， P 为两平行线间一点，那么∠l+∠ 2+∠ 3=．(2) 如图， AB∥ CD ，且∠ A=25°，∠ C=45°，则∠ E 的度数是．

(3) 如图，已知AB∥ DE，∠ ABC =80°，∠ CDE =140 °，则∠ BCD =.

(4) 如图，射线AC∥BD ，∠ A= 70°，∠ B= 40°，则∠ P=．

练

(1) 如图所示， AB∥ CD ，∠ E=37°，∠ C= 20°，则∠ EAB 的度数为．

(2)（七一中学 2015-2016 七下 3 月月考）

如图， AB ∥ CD，∠ B=30°，∠ O=∠ C．则∠ C=.

例2

如图，已知AB∥DE ， BF、 DF 分别平分∠ ABC、∠ CDE，求∠ C、∠ F 的关系 .

如图，已知AB∥DE ，∠ FBC = 1

∠ ABF，∠ FDC =

1

∠ FDE . n n

(1) 若 n=2, 直接写出∠ C、∠ F 的关系；

(2)若 n=3，试探宄∠ C、∠ F 的关系；

(3) 直接写出∠ C、∠ F 的关系（用含n的等式表示）.

例3

如图，已知AB∥CD ， BE 平分∠ ABC， DE 平分∠ ADC ．求证：∠ E= 2 ( ∠ A+∠ C) .

练

如图，己知AB∥DE ， BF、 DF 分别平分∠ ABC、∠ CDE ，求∠ C、∠ F 的关系 .

例4

如图，∠ 3==∠ 1+∠ 2，求证：∠ A+∠B+∠ C+∠ D= 180 °．

（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥ BC，AE 平分∠ BAD 交 BC 于 E，AE⊥DE ，∠ l+∠ 2= 90°，M 、N 分别是 BA、 CD 的延长线上的点，∠EAM 和∠ EDN 的平分线相交于点 F 则∠ F 的度数为（）．

A. 120°

B. 135°

C. 145° D . 150°

模块二平行线四大模型构造

例 5

如图，直线AB∥CD ，∠ EFA= 30°，∠ FGH = 90°，∠ HMN =30°，∠ CNP= 50 °，则

∠GHM =.

练

如图，直线AB∥CD ，∠ EFG =100 °，∠ FGH =140°，则∠ AEF+ ∠CHG =.